Министерство образования и науки Российской Федерации
Комитет общего и профессионального образования Ленинградской области
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Ленинградской области
« Ленинградский государственный университет имени А.С.Пушкина »
Экономический факультет
Кафедра прикладной экономики
Контрольная работа по курсу
Эконометрика
Выполнил
Студент 2 курса, гр ЭУС 2-10
Заочного факультета
Специальность Экономист – менеджер
Ф.И.О. Леонтьева А. дата отправления работы_________
Домашний адрес________________
______________________________
Проверил
Преподаватель Кисляков Н.И.
Луга
2012
Контрольная работа.
№ зачетной книжки – 5748
m = 3 ; n = 2
Задание 1Дана зависимостьy=f(x) в табличной форме дляm=3
x |
y |
x |
y |
1 |
46+m |
11 |
70+m |
3 |
59+m |
13 |
81+m |
10 |
64+m |
20 |
124+m |
4 |
48+m |
14 |
92+m |
5 |
49+m |
15 |
95+m |
6 |
59+m |
16 |
100+m |
9 |
78+m |
19 |
98+m |
7 |
59+m |
17 |
90+m |
8 |
71+m |
18 |
105+m |
2 |
45+m |
12 |
77+m |
Требуется:
1. Расположить данные по возрастанию фактора X. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о наличии связиXиY, ее форме и направлении
2. Для характеристики зависимости yотxрассчитать параметры следующих регрессий линейной регрессии без использования программы ЛИНЕЙН пакетаExcel. Оцените тесноту связи по коэффициенту корреляциии детерминациии надежность уравнения поF-критерию Фишера для уровня значимости=0.05. Рассчитайте и постройте линию регрессии на корреляционном поле, вычислите среднюю ошибку аппроксимациии оцените ее величину.
4. С помощью программы «ЛИНЕЙН» пакета Excelрассчитайте параметры и постройте линии регрессии
а) линейной регрессии;
б) параболической,
в) кубической параболы
г) степенной;
д) показательной;
5. Оценить каждую модель по показателям корреляции () и коэффициенту детерминации () и выберите лучшую.
Рассчитайте по лучшему уравнению регрессии прогнозное значение для прогнозного значенияx=1.06и оцените границы доверительного интервала при=0,05
Решение
1. Данная зависимость y=f(x) в упорядоченном поXвиде представлена в таблице 2 а корреляционное поле представлено на рис 1.
таблица 2
x |
y |
x |
y |
1 |
49 |
11 |
73 |
2 |
48 |
12 |
80 |
3 |
62 |
13 |
84 |
4 |
51 |
14 |
95 |
5 |
52 |
15 |
98 |
6 |
62 |
16 |
103 |
7 |
62 |
17 |
93 |
8 |
74 |
18 |
108 |
9 |
81 |
19 |
101 |
10 |
67 |
20 |
127 |
Рис. 1
Рассмотрим построение уравнения прямой:
,
отражающей линейную форму зависимости результата Yот фактораX.
Расчет неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая ее, относительно неизвестных bиm. Для расчета используем систему уравнений и решение по методу Крамера
(1)
|
х |
у |
ху |
х² |
у² |
ŷᵪ |
( у-ŷᵪ)² |
(у-ӯ)² |
(х-ẋ)² |
|
1 |
1 |
49 |
49 |
1 |
2401 |
44,3 |
22,09 |
870,25 |
90,25 |
0,51087 |
2 |
2 |
48 |
96 |
4 |
2304 |
47,9 |
0,01 |
930,25 |
72,25 |
0,011111 |
3 |
3 |
62 |
186 |
9 |
3844 |
51,5 |
110,25 |
272,25 |
56,25 |
0,889831 |
4 |
4 |
51 |
204 |
16 |
2601 |
55,1 |
16,81 |
756,25 |
42,25 |
0,427083 |
5 |
5 |
52 |
260 |
25 |
2704 |
58,7 |
44,89 |
702,25 |
30,25 |
0,683673 |
6 |
6 |
62 |
372 |
36 |
3844 |
62,3 |
0,09 |
272,25 |
20,25 |
0,025424 |
7 |
7 |
62 |
434 |
49 |
3844 |
65,9 |
15,21 |
272,25 |
12,25 |
0,330508 |
8 |
8 |
74 |
592 |
64 |
5476 |
69,5 |
20,25 |
20,25 |
6,25 |
0,316901 |
9 |
9 |
81 |
729 |
81 |
6561 |
73,1 |
62,41 |
6,25 |
2,25 |
0,50641 |
10 |
10 |
67 |
670 |
100 |
4489 |
76,7 |
94,09 |
132,25 |
0,25 |
0,757813 |
11 |
11 |
73 |
803 |
121 |
5329 |
80,3 |
53,29 |
30,25 |
0,25 |
0,521429 |
12 |
12 |
80 |
960 |
144 |
6400 |
83,9 |
15,21 |
2,25 |
2,25 |
0,253247 |
13 |
13 |
84 |
1092 |
169 |
7056 |
87,5 |
12,25 |
30,25 |
6,25 |
0,216049 |
14 |
14 |
95 |
1330 |
196 |
9025 |
91,1 |
15,21 |
272,25 |
12,25 |
0,211957 |
15 |
15 |
98 |
1470 |
225 |
9604 |
94,7 |
10,89 |
380,25 |
20,25 |
0,173684 |
16 |
16 |
103 |
1648 |
256 |
10609 |
98,3 |
22,09 |
600,25 |
30,25 |
0,235 |
17 |
17 |
93 |
1581 |
289 |
8649 |
101,9 |
79,21 |
210,25 |
42,25 |
0,494444 |
18 |
18 |
108 |
1944 |
324 |
11664 |
105,5 |
6,25 |
870,25 |
56,25 |
0,119048 |
19 |
19 |
101 |
1919 |
361 |
10201 |
109,1 |
65,61 |
506,25 |
72,25 |
0,413265 |
20 |
20 |
127 |
2540 |
400 |
16129 |
112,7 |
204,49 |
2352,25 |
90,25 |
0,576613 |
итого |
210 |
1570 |
18879 |
2870 |
132734 |
|
870,6 |
9489 |
665 |
7,67436 |
среднее значение |
10,5 |
78,5 |
943,95 |
143,5 |
6636,7 |
|
|
|
|
|
дисперсия |
х |
у |
ху |
х² |
у² |
|
|
474,45 |
33,25 |
|
СКО |
|
|
|
|
|
|
|
21,7818 |
5,76628 |
|
Расчетные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений yиx, вошли,,, а также их итоговые значения, средние, среднеквадратические отклонения и дисперсии дляyиx(табл. 3)
Таблица 3
Значения определителей
∆ = n∑x² - (∑x)² = 20·2870-210² = 13300
∆ m= n∑xу - ∑x∑у = 20·18879-210·1570=377580-329700=47880
∆b=∑x²∑у - ∑x∑xу= 2870·1570-210·18879=4505900-3964590=541310
Расчет параметров уравнения регрессии дает следующие результаты
b= ∆b/ ∆ = 541310 / 13300 = 40,7
m= ∆m/ ∆ = 47880 / 13300 = 3,6
Теоретическое уравнение регрессии:
ŷᵪ = 40,7 + 3,6 · х
В уравнении коэффициент регрессии означает, что при увеличении фактораxна 1 переменнаяуувеличиваетсяединиц. (от своей средней) Свободный член уравнения= 40,7 оценивает влияние прочих факторов.
Относительную оценку силы связи дает общий (средний) коэффициент эластичности:
Ȳ= ƒ'(x) ẋ/ӯ =b· ẋ/ӯ = 3,6·10,5 / 78,5 = 0,48
2.2. Средний коэффициент эластичностипоказывает, что на 0,48 процента, в среднем по совокупности, изменится результатуот своей средней величины при изменении фактораxна 1% от своего среднего значения
2.3. Дисперсии xиyопределяются по формулам
143,5-(10,5)2 = 33,25
6636,7 - ( 78,5 ) = 474,45
Среднеквадратические отклонения
=5,76628,21,7818
2.4. Для оценки тесноты линейной связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции: для линейной регрессии:
= - коэффициент (индекс) детерминации:
Линейный коэффициент парной корреляции =0,953 указывает на достаточно тесную линейную связь между x и y. Коэффициент детерминации устанавливает, что 90,83% вариации y обусловлено вариацией x. Остальные 8,17% обусловлены ролью остальных случайных факторов.
2.5. По уравнению регрессии рассчитаем теоретические значения результата (), по ним строим теоретическую линию регрессии (см. рис.2) и определим среднюю ошибку аппроксимации
=7,67436% < 10%
Следовательно, качество уравнения регрессии достаточно хорошее.
Линейный ряд
у
у
R
х х
2.6. F-тест - оценивание качества уравнения регрессии - состоит в проверке гипотезыо статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи.
:a=b==0
Для этого выполняется сравнение фактического и критического (табличного)значенийF-критерия Фишера.определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:
где n- число единиц совокупности;m- число параметров при переменных х.
Критерий показывает, что факторная вариация результата в 178,2 раз больше остаточной вариации, сформировавшейся под воздействием случайных факторов.
- это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости. Уровень значимости, это вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Принимаем=0,05.FÒàáë(a;k1;k;)=FÒàáë(0,05;m;n-m-1)=FÒàáë(0,05;1;18)=4,41. Здесьm= 1 – число параметров приx.
Поскольку <, то- гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.
3. Рассчитаем прогнозное значение результата f, если прогнозное значение фактора (x) составит 1,06 от среднего уровня .
ŷᵪ = b + m·1,06·ẋ =40,7 + 3,6 · 1,06·10,5=80,768.,
То есть прирост фактора на 6 % приводит к приросту результата =80,768-78,5=2,268, что составит есть 2,268/78,5= 0,02889 или 2,889%.
Рассчитаем интегральную ошибку прогноза ,которая формируется как сумма двух ошибок: из ошибки прогноза как результата отклонения прогноза от уравнения регрессиии ошибки прогноза положения регрессии. То есть
В нашем случае S²Ỹ= ∑(у - ŷᵪ)2 /n – m – 1 = 870.6 / 20 – 1 – 1 = 48,367.
m– число факторов в уравнении, которое в данной задаче равно 1,n- число пар (x,y)
Ошибка положения регрессии составит:
μỸ = SỸ 1/n+ (X~ – Х ¯)2 / ∑(X – Х¯)2 = 48,367 · 1/20 + (1,06·10,5-10,5)2/665=1,555
Интегральная ошибка прогноза составит:
EỸ = 48,367 + 1.5552 = 7,126
Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 95% возможных реализаций прогноза, составит: ∆ Ỹ=tу EỸ=tу( 0,05 ; 18)EỸ = 2,1009·7,126=14,97
Табличное значение t-критерия для уровня значимостиа= 0,05 и для степеней свободы иd.f.=11-1-1=9 составит 2.26 (см. табл. приложения 2). Следовательно, ошибка большинства реализаций прогноза не превысит± 14,97.
Это означает, что фактическая реализация прогноза будет находиться в доверительном интервале у = Y±.
Верхняя граница доверительного интервала составит:
== 80,768 + 14,97=95,738.
Нижняя граница доверительного интервала составит:
== 80,768-14,97=65,798.
Относительная величина различий значений верхней и нижней границ составит:
Dy=/= 1.45
Это означает, что верхняя граница превышает нижнюю в 1,45 раза.
3.Выберем оптимальную форму уравнения регрессий с использованием программы «ЛИНЕЙН» пакетаExcelдля расчетов.
3.1. Результаты расчета линейной регрессиивExcelпредставлены в таблицу 4
таблица 4
3,6 |
40,7 |
0,269688 |
3,230637 |
0,908252 |
6,954615 |
178,1888 |
18 |
8618,4 |
870,6 |
Обозначения параметров расшифрованы в таблице 5
таблица 5
Угловой коэффициент |
|
3,6 |
Постоянная линейной регрессии |
b |
40,7 |
Уравнение регрессии |
|
ŷᵪ = 40,7 + 3,6 · х |
Стандартные значения ошибок для коэффициентов m1 |
|
0,269688 |
Стандартное значение ошибки для постоянной b |
3,230637 | |
Коэффициент детерминированности r2 |
r2 |
0,908252 |
Стандартная ошибка для оценки y. |
6,954615 | |
F-статистика |
F |
178,1888 |
Степени свободы |
18 | |
Регрессионная сумма квадратов |
8618,4 | |
Остаточная сумма квадратов |
870,6 |
Коэффициент корреляции 0,953
График представлен на рис 2
Оценить каждую модель через коэффициент детерминации .
3.2. Параболическая регрессия. Результаты расчетов по программе ЛИНЕЙН для массивовпредставлены в таблице 6. В качестве аргументов берем,,и используем линейную регрессию
таблица 6
0,075757576 |
2,0090909 |
43,53333333 |
0,0507883 |
1,0980144 |
5,006551795 |
0,918870015 |
6,7294018 |
#Н/Д |
96,27014186 |
17 |
#Н/Д |
8719,157576 |
769,84242 |
#Н/Д |
2. Кубическая регрессия. В качестве аргументов берем ,,и используем линейную регрессию
таблица 7
= |
= |
= |
y | |
1 |
1 |
1 |
49 |
1 |
2 |
4 |
8 |
48 |
2 |
3 |
9 |
27 |
62 |
3 |
4 |
16 |
64 |
51 |
4 |
5 |
25 |
125 |
52 |
5 |
6 |
36 |
216 |
62 |
6 |
7 |
49 |
343 |
62 |
7 |
8 |
64 |
512 |
74 |
8 |
9 |
81 |
729 |
81 |
9 |
10 |
100 |
1000 |
67 |
10 |
11 |
121 |
1331 |
73 |
11 |
12 |
144 |
1728 |
80 |
12 |
13 |
169 |
2197 |
84 |
13 |
14 |
196 |
2744 |
95 |
14 |
15 |
225 |
3375 |
98 |
15 |
16 |
256 |
4096 |
103 |
16 |
17 |
289 |
4913 |
93 |
17 |
18 |
324 |
5832 |
108 |
18 |
19 |
361 |
6859 |
101 |
19 |
20 |
400 |
8000 |
127 |
20 |
таблица 8
0,002031351 |
0,01177 |
2,559790257 |
42,45407637 |
0,010429616 |
0,3326681 |
3,045084175 |
7,568003034 |
0,919061912 |
6,9283003 |
#Н/Д |
#Н/Д |
60,56065352 |
16 |
#Н/Д |
#Н/Д |
8720,978479 |
768,02152 |
#Н/Д |
#Н/Д |
Для нахождения степенной регрессии логарифмируем
и используем программу ЛИНЕЙН для массивов
таблица 9
0,3312595 |
3,580587018 |
0,0389488 |
0,088029769 |
0,8007417 |
0,137977373 |
72,335014 |
18 |
1,3770963 |
0,3426796 |
Потенцируем а=35,894605. Следовательно,
таблица 10
y |
lnx |
lny | ||
1 |
49 |
0 |
3,8286414 |
35,8946 |
2 |
48 |
0,693147181 |
3,8066625 |
45,1594 |
3 |
62 |
1,098612289 |
4,0775374 |
51,6512 |
4 |
51 |
1,386294361 |
3,871201 |
56,8156 |
5 |
52 |
1,609437912 |
3,8918203 |
61,1744 |
6 |
62 |
1,791759469 |
4,0775374 |
64,9829 |
7 |
62 |
1,945910149 |
4,0775374 |
68,3874 |
8 |
74 |
2,079441542 |
4,2626799 |
71,4803 |
9 |
81 |
2,197224577 |
4,3567088 |
74,3243 |
10 |
67 |
2,302585093 |
4,1588831 |
76,9642 |
11 |
73 |
2,397895273 |
4,2484952 |
79,4329 |
12 |
80 |
2,48490665 |
4,3438054 |
81,7557 |
13 |
84 |
2,564949357 |
4,3944492 |
83,9525 |
14 |
95 |
2,63905733 |
4,5217886 |
86,0389 |
15 |
98 |
2,708050201 |
4,5538769 |
88,0279 |
16 |
103 |
2,772588722 |
4,6051702 |
89,9302 |
17 |
93 |
2,833213344 |
4,4998097 |
91,7544 |
18 |
108 |
2,890371758 |
4,6539604 |
93,5083 |
19 |
101 |
2,944438979 |
4,5849675 |
95,1981 |
20 |
127 |
2,995732274 |
4,8202816 |
96,8295 |
Для нахождения экспоненциальной регрессии логарифмируем и используем программу ЛИНЕЙН для массивов
0,0487549 |
3,769864264 |
0,0034082 |
0,040827749 |
0,9191498 |
0,08789017 |
204,63388 |
18 |
1,5807316 |
0,139044276 |
Потенцируем а=43,374177.Следовательно,
Наибольшее значение коэффициента детерминации у полиномиальной и экспоненциальной регрессии =0,9191