- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Глава 1. Общие сведения по геодезии
- •1.2. Роль геодезии в народном хозяйстве и обороне страны
- •1.3. Связь геодезии с другими научными дисциплинами
- •Глава 2. Сведения о фигуре земли и системах координат, применяемых в геодезии
- •2.2. Основная уровенная поверхность. Геоид. Эллипсоид.
- •2.3. Расчёт размеров участка сферической (уровенной) поверхности Земли для обобщения её до горизонтальной плоскости
- •2.4. Определение положения точек земной поверхности и применяемые для этого в геодезии системы координат
- •2.4.1. Метод проекций в геодезии. Величины, подлежащие измерению
- •2.4.2. Понятия о плане, карте, профиле линии местности
- •2.4.3. Астрономические и геодезические координаты.
- •2.4.4. Влияние кривизны Земли на определение высот точек
- •2.4.5. Проекция Гаусса – Крюгера*. Зональная и условная
- •2.4.6. Зональная система плоских прямоугольных координат
- •2.4.7. Условная система прямоугольных координат на плоскости
- •Глава 3. Ориентирование линий
- •3.5. Прямая и обратная геодезические задачи на плоскости
- •Глава 4. Элементы теории погрешностей геодезических измерений
- •4.1. Общие сведения об измерениях
- •4.2. Погрешности результатов измерений
- •4.3. Задачи теории погрешностей измерений
- •4.4. Равноточные измерения
- •4.4.1. Вычисление наиболее точного по вероятности значения
- •4.4.2. Оценка точности результатов ряда равноточных измерений.
- •4.4.3. Оценка точности функций измеренных величин
- •4.4.4. Оценка точности результатов ряда двойных равноточных измерений
- •4.4.5. Примеры оценки точности результатов равноточных измерений одной величины и функций независимо измеренных величин
- •4.5. Неравноточные измерения
- •4.5.1. Общая арифметическая середина. Веса результатов измерений
- •4.5.2. Средняя квадратическая погрешность единицы веса
- •4.5.3. Средняя квадратическая погрешность и вес общей арифметической середины
- •4.5.4. Вычисление весов функций независимых аргументов
- •4.5.5. Порядок математической обработки результатов неравноточных измерений
- •Глава 5. Измерения в геодезии
- •5.1.1. Принцип измерения горизонтального угла
- •Основные оси теодолита:
- •Основные плоскости теодолита:
- •5.1.2. Эксцентриситет алидады, исключение его влияния на отсчёт по лимбу
- •5.1.3 Уровни геодезических приборов
- •5.1.4. Зрительные трубы геодезических приборов
- •Основные характеристики зрительных труб
- •Параллакс сетки нитей, его устранение
- •5.1.5. Отсчетные устройства
- •5.1.6 Вертикальный круг.
- •Теория вертикального круга
- •5.1.7. Поверки и юстировка теодолита
- •5.1.8. Измерение горизонтальных углов
- •Измерение одиночного горизонтального угла способом приёмов
- •Собственно измерение горизонтального угла
- •Программа наблюдения направлений
- •Журнал измерения горизонтальных углов
- •Проложение теодолитных ходов
- •Глава 6. Нивелирование
- •6.1. Геометрическое нивелирование
- •Способ геометрического нивелирования - "из середины"
- •Способ геометрического нивелирования - "вперёд"
- •6.2. Поверки и юстировка нивелира с уровнем при трубе
- •6.3. Определение разности пяток нивелирных реек.
- •Глава 7. Линейные измерения
- •7.1. Измерение расстояний нитяным дальномером
- •7.2.1. Компарирование землемерной ленты (рулетки)
- •7.2.2. Обозначение отрезков линий на местности
- •7.2.3. Собственно измерение длин линий.
- •Глава 8. Геодезические работы при изыскании и строительстве автомобильных дорог
- •8.1. Понятие о трассе
- •8.2. Круговые и переходные кривые на трассе
- •8.3. Трассирование
- •8.4. Детальная разбивка кривых
- •8.5. Составление профилей
- •Литература
- •Оглавление
4.4.4. Оценка точности результатов ряда двойных равноточных измерений
Очень часто в практике геодезических и маркшейдерских работ искомую величину определяют по результатам двукратных равноточных измерений этой величины. Например, горизонтальные углы измеряют двумя полуприемами, превышение на станции при геометрическом нивелировании определяется по черным и красным сторонам реек, длины отрезков линий местности находят из результатов измерений этих отрезков в прямом и обратном направлениях.
- 42 -
Возникает задача оценки точности этих результатов. Имеем ряд величин, истинные значения которых равны
. (4 .59)
Пусть каждая из этих величин измерена равно точно дважды и получены результаты:
; (4.60)
, (4.61)
Составим разности между результатами измерений и их истинными значениями:
; (4.62)
, (4.63)
где . Найдем разности уравнений (4.62) и (4.63)
(4.64)
и обозначим . (4.65)
Здесь и- истинные случайные погрешности результатов.
Возведем уравнения (4.65) в квадрат, сложим и разделим на их число
. (4.66)
На основании (4.3) и (4.10) запишем
; ; ,
тогда . (4.67)
Так как измерения равноточные, т.е. , то
- 43 -
, . (4.68)
При двойных равноточных измерениях за окончательное значение принимают среднее арифметическое из результатов отдельных измерений, т.е. ,
тогда или . (4.69)
Формулы (4.68) и (4.69) справедливы лишь в том случае, если разности не содержат систематических погрешностей.
Пусть разности содержат систематическую погрешность , т.е.
. (4.70)
Сложим уравнения (4.70) и разделим на их число
. (4.71)
На основании четвертого свойства случайных погрешностей имеем
, ,
т.е. . (4.72)
Среднее арифметическое из разностей результатов двойных равноточных измерений отлично от нуля и численно равно систематической погрешности этих результатов.
Вычтем из каждой разности величину систематической погрешности, т.е. образуем новые разности
. (4.73)
Сложив равенства (4.73) и поделив их на n, получим
- 44 -
, но , тогда
, (4.74)
т.е. среднее арифметическое из разностей результатов двойных равноточных измерений, свободных от систематических погрешностей, всегда равно нулю.
Разности , как уклонения от простой арифметической середины и обладающие свойством , можно считать вероятнейшими погрешностями разностей . Применяя к ним формулу Бесселя для средней квадратической погрешности, запишем
, (4.75)
а . (4.76)
Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического из результатов ибудет равна
. (4.77)
Вычисление значения числителя подкоренного выражения можно проконтролировать по формуле
. (4.78)
Примечание. Оценку точности по разностям результатов двойных равноточных измерений следует выполнять по формулам (4.68) и (4.69), если разности удовлетворяют условию
, (4.79)
в противном случае, по формулам (4.75) - (4.77).
- 45 -