- •1. Неопределённый интеграл и его свойства
- •1.1. Первообразная и неопределённый интеграл
- •1.2. Свойства неопределённого интеграла. Таблица основных интегралов. Приёмы непосредственного интегрирования
- •1.3. Интегрирование методом замены переменной
- •1.4. Метод интегрирования по частям
- •1.5. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •2. Определённый интеграл
- •2.1. Понятие определённого интеграла. Формулы Ньютона-Лейбница
- •2.2. Основные свойства определённого интеграла
- •2.3. Приложения определённого интеграла
- •2.4. Несобственные интегралы
- •3. Функции нескольких переменных
- •3.1. Понятие функции нескольких переменных. Линии уровня
- •3.2. Частные производные и градиент
- •3.3. Частные производные высших порядков
- •3.4. Экстремум функции двух переменных
- •3.5. Метод наименьших квадратов
- •4. Элементы теории дифференциальных уравнений первого порядка
- •4.1. Основные понятия
- •4.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •4.3. Линейные уравнения первого порядка
- •5. Вопросы к экзамену
- •Библиографический список
- •Содержание
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
МАГНИТОГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Г.И. НОСОВА
КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ЭКОНОМИКЕ
ИНТЕГРАЛЫ. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Методические указания к работе №2 для студентов заочной формы обучения экономических специальностей
Магнитогорск
2008
Составители: О.С. Андросенко,
Т.Г. Кузина
Интегралы. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения: Методические указания к работе №2 для студентов заочной формы обучения специальностей. Магнитогорск: МГТУ, 2008. 51 с.
Рецензент: Т.В. Морозова
© Андросенко О.С., Кузина Т.Г., 2008
1. Неопределённый интеграл и его свойства
1.1. Первообразная и неопределённый интеграл
В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции найти её производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию, зная её производную(или дифференциал). С такой задачей мы встречаемся и в экономике, например, при нахождении функции оборотных средств по известной скорости формирования оборотных средств.
Функция называетсяпервообразнойдля функциина интервале, если для любоговыполняется равенство
.
Например, первообразной функции , является функция, действительно. Первообразными будут также функции(- постоянная), которые также удовлетворяют условию .
Если первообразная для, то выражение, где- произвольная постоянная, называетсянеопределённым интеграломот функциии обозначается символом, где- подынтегральная функция,- подынтегральное выражение,- переменная интегрирования.
Таким образом,
.
Например, .
Нахождение первообразной по её производной или отыскание неопределённого интеграла по данной подынтегральной функции называется интегрированиемданной функции. Интегрирование – операция, обратная дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, надо взять производную от полученного результата и убедиться, что получена подынтегральная функция.
1.2. Свойства неопределённого интеграла. Таблица основных интегралов. Приёмы непосредственного интегрирования
Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.
;.
Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная, т.е.
.
Постоянный множитель можно вынести из под знака неопределённого интеграла, т.е.
.
Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых, т.е.
.
Приведём таблицу основных интегралов
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Справедливость формул проверяется дифференцированием.
Вычисление интегралов с помощью таблицы основных интегралов и простейших приёмов называется непосредственным интегрированием.
Пример 1. Найти.
Решение
Применив свойства и, имеем
=
= .
Далее находим интегралы с использованием табличных формул:
;
;
;
.
Таким образом,
=++
+.
Обычно, все произвольные постоянные суммируют, результат обозначают одной буквой, поэтому
=++
+.
Пример 2. Найти интегралы, разложив подынтегральную функцию в сумму функций:
а) ;
б) ;
в) .
Решение
а) Применяя формулу сокращенного умножения и умножая почленно, преобразуем подынтегральную функцию в сумму:
.
б) Разделим почленночислитель на знаменатель, применим свойства,и табличные интегралыIII,IV.
.
в) Для разложения подынтегральной функции в сумму функций разделимчислитель на знаменатель «углом».
|
|
|
|
| |
|
|
|
Следовательно, , тогда
.
1.3. Интегрирование методом замены переменной
Метод замены переменной (или метод подстановки) позволяет упростить подынтегральное выражение и свести интеграл к линейной комбинации табличных интегралов. Метод основан на применении следующей формулы:
,
где - непрерывно дифференцируемая функция на рассматриваемом промежутке.
Пример 3. Найти интегралы:
а) ; б); в); г).
Решение
а) Чтобы избавиться от иррациональности, выполним замену переменной .
.
Возвращаясь к , получим
.
б)
.
в)
.
г)
.
При вычислении интегралов б, в, г была использована линейная подстановка . В общем случае справедлива формула
,
Формулу применяют также в обратном направлении
.
В этом случае говорят о наличии дифференциальной связи.
Пример 4. Найти интегралы, используя наличие дифференциальной связи:
а) ; б); в); г).
Решение
а)
.
б)
.
в)
.
г) .
В первом из интегралов выполним замену
.
,
значит
.