- •1. Неопределённый интеграл и его свойства
- •1.1. Первообразная и неопределённый интеграл
- •1.2. Свойства неопределённого интеграла. Таблица основных интегралов. Приёмы непосредственного интегрирования
- •1.3. Интегрирование методом замены переменной
- •1.4. Метод интегрирования по частям
- •1.5. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •2. Определённый интеграл
- •2.1. Понятие определённого интеграла. Формулы Ньютона-Лейбница
- •2.2. Основные свойства определённого интеграла
- •2.3. Приложения определённого интеграла
- •2.4. Несобственные интегралы
- •3. Функции нескольких переменных
- •3.1. Понятие функции нескольких переменных. Линии уровня
- •3.2. Частные производные и градиент
- •3.3. Частные производные высших порядков
- •3.4. Экстремум функции двух переменных
- •3.5. Метод наименьших квадратов
- •4. Элементы теории дифференциальных уравнений первого порядка
- •4.1. Основные понятия
- •4.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •4.3. Линейные уравнения первого порядка
- •5. Вопросы к экзамену
- •Библиографический список
- •Содержание
4.2. Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение вида
,
где и- непрерывные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными.
Запишем производную в эквивалентной форме как отношение дифференциалов, тогда
.
Для отыскания решения этого уравнения необходимо разделить в нём переменные. Умножим обе части уравнения на и поделим на, полагая, что, имеем
.
Теперь левая часть уравнения содержит только переменную , а правая – только. Интегрируя обе части этого уравнения, получим
.
Таким образом, найден общий интеграл уравнения .
Пример 26. Найти частное решение дифференциального уравненияпри начальных условиях.
Решение
Перепишем данное уравнение в виде
.
Функция является решением уравнения. Остальные решения найдём, разделив переменные в уравнении и проинтегрировав его:
Так как ранее найденное решение можно получить из последнего соотношения, положив, то
- общее решение.
Из условия находим
.
Частное решение имеет вид
.
4.3. Линейные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид
,
где и- непрерывные функции переменной.
В случае, когда тождественно равна нулю, уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.
Рассмотрим один из способов решения уравнения : будем искать решение в виде .
Одна из неизвестных функций илиможет быть выбрана произвольно, а другая – должна определяться из уравнения .
Найдём . Подставляяи её производную в уравнение , получим
или
.
Найдём какое-либо частное решение уравнения
.
Тогда из уравнения функция является решением уравнения
.
Задача решения линейного дифференциального уравнения свелась к решению двух уравнений с разделяющимися переменными и .
Пример 27. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение
Будем искать решение в виде , тогда
и при подстановке функции и её производной в уравнение имеем
,
или
.
Положим или, откуда
Найдём какое-либо частное решение этого уравнения, например, при .
.
При равенство обратится в уравнение
или
.
Окончательно имеем
.
Пример 28. Найти выражение объёма реализованной продукциии его значение при, если известно, что кривая спроса имеет вид, норма акселерации, норма инвестиций,, а функцияудовлетворяет уравнению [3, гл. 12].
Решение
Подставим значения коэффициентов и функции в дифференциальное уравнение, получаем
.
После упрощения оно принимает вид
или
.
Выполняем разделение переменных
.
Интегрируем почленно это уравнение с разделёнными переменными, получаем
где .
Учитывая, что , получаем.
Подставляем найденное значение и выражаем, имеем
или
.
Найденное значение .
5. Вопросы к экзамену
Неопределённый интеграл и его свойства.
Неопределённый интеграл от основных элементарных функций.
Замена переменной в неопределённом интеграле.
Формула интегрирования по частям.
Определённый интеграл и его свойства.
Вычисление определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
Замена переменной в определённом интеграле.
Интегрирование по частям в определённом интеграле.
Вычисление площадей с помощью определённого интеграла.
Вычисление объёмов тел вращения с помощью определённого интеграла.
Функции нескольких переменных, способы задания и свойства.
Частные производные функций нескольких переменных, их смысл в различных задачах.
Экстремум функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия существования экстремумов.
Условный экстремум. Функция Лагранжа.
Метод наименьших квадратов.
Производная по направлению. Вектор градиент.
Полный дифференциал и полное приращение функций нескольких переменных.
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Условия существования и виды решений уравнений первого порядка.
Уравнения с разделяющимися переменными.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.