РГР ТАУ
.docxМинистерство образования и науки Российской Федерации
ФБГОУ ВПО «Магнитогорский государственный технический университет» им. Г. И. Носова
Кафедра Электроники и микроэлектроники
Расчетно-графическая работа
по курсу: «Теория автоматического управления»
Вариант 1.2.3
Выполнил: студент группы АП-10-1 Аркузин И.В.
Проверил: КТН, доцент кафедры ЭиМЭ Пишнограев Р.С.
Магнитогорск 2012
1.Задание
-
Полагая WР(р) = 1 и WОС(р) = 0, привести в общем виде:
WРАЗ(р) – передаточную функцию объекта управления по управляющему воздействию x;
Wf (p) – передаточную функцию объекта управления по возмущающему воздействию f.
-
При известных типах и параметрах W1(p)..W4(p) определить характер устойчивости объекта по управляющему воздействию с помощью любого алгебраического критерия.
-
При WОС(р) = 1 выполнить синтез оптимального регулятора WР(р).
-
Проверить устойчивость полученной системы управления (с учётом регулятора) любым графическим критерием. Показать на графиках и привести значения запаса устойчивости по амплитуде КЗ и фазе φз.
-
Определить We(р) – передаточную функцию объекта управления и регулятора по ошибке регулирования в общем виде. Все необходимые преобразования структурной схемы объекта привести в пояснительной записке. При известных типах и параметрах W1(p)..W4(p) и WР(р) рассчитать коэффициенты ошибок, определить степень астатизма САУ.
Структурная схема САУ представлена на рисунке 1:
Рисунок 1 – Структурная схема САУ заданного варианта
Параметры передаточных функций объекта управления представлены в таблице 1:
Таблица 1 - Параметры передаточных функций объекта управления
Вариант |
Вар. пар. |
W1(p) |
W2(p) |
W3(p) K3 |
W4(p) K4 |
2 |
3 |
K1 =36,4 |
K2 = 9 τ2 = 0,0025 |
K3 = 0,1 |
K4 = 0,05 |
2. Выполнение работы
2.1 Определение передаточной функции объекта по управляющему и возмущающему воздействию
С учетом задания, структурную схему на рисунке 1 можно упростить, убрав цепь обратной связи и регулятор, так как его передаточная функция равна 1. Преобразованная схема представлена на рисунке 2:
Рисунок 2 – Упрощенная схема САУ
Переместим звено W3 за узел 1, полученная схема САУ представлена на рисунке 2:
Рисунок 3 – Схема САУ, с учетом переноса звена W3
При определении передаточной функции объекта по управляющему воздействию, примем значение помехи равной 0. Из схемы на рисунке 3 видно, что сигнал после прохождения через звено W1 идет дальше через цепь положительной обратной связи, состоящей из звеньев W2 и W3. Преобразуем схему. Новая схема представлена на рисунке 4:
Рисунок 4 – Схема САУ, с преобразованием цепи ПОС
И, в итоге, остается один контур с двумя звеньями: одно – цепи прямого усиления сигнала, второе – передаточная функция отрицательной обратной связи. Преобразуем схему на рисунке 4 по формуле цепи с обратной связью. Конечная схема для расчета представлена на рисунке 5:
Рисунок 5 – Преобразованная схема САУ
С учетом всех вышеперечисленных преобразований, получаем передаточную функцию объекта по управляющему воздействию х:
WРАЗ(p) = =
Подставим числовые значения передаточных функций в формулу:
WРАЗ(p) = = =
. (1)
Для нахождения передаточной функции по возмущающему воздействию f, вернемся к рисунку 3. Сигнал помехи проходит вначале через звено W2, следом через положительную обратную связь со звеном W3 и потом через отрицательную обратную связь с передаточной функцией W1(p)W3(p)W4(p). Теперь выведем формулу для получения передаточной функции по возмущающему воздействию f:
Wf (p) = = = (2)
2.2 Определение характера устойчивости объекта по управляющему воздействию, с помощью критерия Гурвица
Для определения устойчивости объекта рассчитываются все диагональные определители матрицы Гурвица. Для того чтобы система была устойчива, определители должны совпадать по знаку с коэффициентом а0 , то есть при а0 > 0 были положительными. МатрицаГурвица в общем виде:
. (3)
Определитель Гурвица – 2 порядка, так как высшая степень знаменателя передаточной функции объекта – двойка. Чтобы использовать критерий Гурвица, необходимо рассчитать передаточную функцию замкнутой системы при Wос(p) = 1:
Wзам(p) = = . (4)
Рассмотрим полином D(p) передаточной функции, коэффициенты в нем равны:
a0 = 0,0025; a1 = 0,1; a2 = 329,238; a3 = 0. (5)
На основании коэффициентов, составим матрицу Гурвица:
. (6)
Диагональные определители матрицы Гурвица (6):
; (7)
(8)
Все диагональные определители матрицы Гурвица больше 0, и совпадают со знаком коэффициента a0, значит можно сделать вывод, что система устойчива.
2.3 Синтез оптимального регулятора
Синтез регулятора произведем по модульному оптимому. Регулятор - пропорционально-интегральный. Его передаточная функция:
. (9) ,
где Кр – коэффициент пропорционального звена регулятора, а - постоянная времени интегратора.
Чтобы найти коэффициент , найдем передаточную функцию замкнутой системы вместе с регулятором. Для этого приведем передаточную функцию разомкнутой системы к следующему виду:
(10)
Тогда:
Wзам(p) = . (11)
Согласно критерию оптимизации, соотношения полиномов числителя и знаменателя следующие:
. (12)
Подставим коэффициенты из выражения (11) в (12), получаем:
= 0. (13)
Из выражения (13) получаем формулу для вычисления коэффициента Кр:
Кр = = . (14)
Чтобы найти нужно знаменатель передаточной функции (10) представить в виде двух множителей вида:
. (15)
Cоставим систему для нахождения коэффициентов a и b:
(16)
Коэффициенты а и b – комплексно-сопряженные и равны:
a = 0,031 + 0,024j, (17)
b = 0,031 – 0,024j; (18)
Для сокращения одного из множителей с числителем передаточной функции регулятора , нужно учесть реальную и мнимую часть коэффициента a (он же . Для этого найдем его модуль и разделим на :
= 0,02767. (19)
= . (20)
Получаем передаточную функцию регулятора:
. (21)
2.4 Проверка устойчивости системы управления (с учетом регулятора), при помощи критерия устойчивости Боде
При использовании критерия Боде нужно рассматривать разомкнутую САУ.
Запасы устойчивости по фазе и амплитуде легко находятся по ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой САУ. ЛАЧХ и ЛФЧХ были построены в среде разработки LabVIEW, которые представлены на рисунках 6 и 7 соответственно: