УП_Лабы_Оптимизация управления ТП

Лабораторная работа №6 Определение коэффициентов дифференциального уравнения

по экспериментальной кривой разгона для объектов без самовыравнивания

Цель работы: изучение инженерного метода вычисления коэффициентов дифференциального уравнения по экспериментальной или расчетной кривой разгона астатического объекта управления.

1. Общие сведения

Наиболее сложными для управления являются объекты астатического типа или объекты без самовыравнивания. Отличительной чертой таких объектов является наличие интегрирующего элемента, определяющего их специфические динамические свойства.

Выходная величина объекта без самовыравнивания после нанесения входного однократного скачкообразного возмущения неограниченно изменяется с постоянной скоростью, пропорциональной величине входного возмущающего воздействия.

Классическим примером объекта без самовыравнивания является регулирование уровня воды в барабане котла ТЭЦ при постоянном расходе пара на турбину.

Пример объекта без самовыравнивания представлен на рис. 1.17, кривая разгона этого объекта на рис. 1.18.

Рис. 1.17. Астатический объект с запаздыванием

42

Дифференциальное уравнение астатического объекта первого порядка с запаздыванием τЗ в отличие от уравнения статического объекта, см. формулу (1.1) или (1.8), не содержит коэффициента a0:

a1Y ′(t)= X (t −τ З ).

(1.36)

Коэффициент a1 определяется по формуле:

a1 =

1

=

Х (∞)

=

X (∞)

% хода ИМ c

,

,

(1.37)

KОБ

Y ′(∞)

tgα

ед. вых.

величины

где ΔХ(∞) – величина входного скачкообразного возмущающего воздействия, Y΄(∞)=tgα=ΔH/Δt – установившаяся скорость изменения выходного сигнала, см. рис. 1.18.

Рис. 1.18. Кривая разгона астатического объекта с транспортным запаздыванием

Если объект обладает заметным запаздыванием, то при определении коэффициентов дифференциального уравнения следует рассматривать только участок кривой разгона после времени чистого (транспортного запаздывания), которое должно быть учтено затем путем изменения начала отсчета. На рис. 1.17 время транспортного

43

запаздывания определяется длинной LТР и скоростью VТР движения ленты транспортера: τЗ =LТР/VТР. В реальных производственных условиях технологические процессы, как объекты автоматического управления, обладают инерционностью.

Динамические свойства инерционного астатического объекта управления с запаздыванием определяются дифференциальным уравнением:

a2Y ′′(t)+ a1Y ′(t)= X (t −τ З ) .

(1.38)

Для астатических объектов I порядка при Y΄΄(t→∞)=0, получим:

=

Х (t)

=

X

(t)

%

хода ИМ

c

a1

,

.

(1.39)

Y ′(t)

tgα

ед.

вых. величины

Если интегрировать дифференциальное уравнение (1.39) в

пределах от 0 до ∞ получим:

a2

=

a

∞

[Y

′(∞)− Y ′(t)]dt =

a

J

0 .

(1.40)

Y ′(t)∫

Y ′(t)

1

1

0

Значение Y΄(∞) и величина J0 могут быть определены непосредственно по экспериментальной или расчетной кривой разгона. Величина интеграла в формуле (1.40) оказывает влияние на значение а2 только на начальном участке траектории кривой разгона и является величиной постоянной, равной J0.

2. Методика расчета траектории изменения выходного сигнала астатических объектов I и II порядков

Примером астатического объекта второго порядка является регулирование уровня металла в кристаллизаторе МНЛЗ. Если в качестве датчика уровня жидкого металла использовать показания нескольких термопар, размещенных (зачеканенных) по высоте внутренней поверхности (охлаждаемой водой) стенки кристаллизатора. Инерционность самой термопары и инерционность теплообмена между наружным (обращенным к жидкому металлу) и внутренним слоем материала (медь) кристаллизатора можно обобщенно представить инерционным звеном первого порядка.

44

При постоянной скорости разливки (вытягивания литой заготовки из кристаллизатора) структурная схема объекта управления и примерный вид кривой разгона уровня жидкого металла в кристаллизаторе представлены на рис. 1.19.

Рис. 1.19. Структурная схема (а) и вид кривой разгона (б) астатического объекта II порядка

Коэффициент КОБ в данном случае определяет коэффициент масштабирования преобразователя линейного изменения уровня жидкого металла в величины ЭДС термопар, измеряющих температуру стенки кристаллизатора. С учетом масштабного преобразования шкалы измерительного прибора КОБ=1мм/мВ. Рассчитаем траектории изменения выходного сигнала – уровня металла в кристаллизаторе.

Исходные данные для расчета:

−ширина 2200мм и толщина 220мм внутреннего сечения отливаемой заготовки;

−высота кристаллизатора 1100мм;

−нормальный уровень металла в кристаллизаторе от верхнего среза 300-400мм;

−номинальная скорость разливки в один ручей при производительности конвертера 2 млн.т/год (считаем что в году 350 рабочих суток) составит

	2000000	= 3,968	т		= 0,0661	т
	350 24 60
−			мин			с

45

−расход металла из промежуточного ковша в кристаллизатор увеличили на Q*= 0,25т/мин = 250кг/мин = 4.17кг/с;

−постоянная времени используемого косвенного метода определения уровня жидкого металла в кристаллизаторе ТД=8с (инерционность датчика);

−плотность жидкого металла ρ=7860 кг/м3.

−Увеличение объема поступающего в кристаллизатор металла V*:

V* =

Q * K

ОБ =

250 1

м3

см3

ρ

= 0,031807

= 31806,6

.

7860

мин

мин

Внутреннее сечение кристаллизатора S и скорость изменения

уровня жидкого металла в кристаллизаторе L*:

S = 2200 220 = 484000

[мм2 ]= 4840 [см2 ];

L* =

V *

=

31806,6

= 6,5716

см

мм

=1,0953

.

S

4840

мин

с

График относительного изменения уровня жидкого металла в

кристаллизаторе Y(t) и сигнала регистрирующего прибора Z(t) при

увеличении расхода металла из промковша представлен на рис. 1.20:

Рис. 1.20. Расчетные траектории изменения уровня металла

46

Расчет траектории изменения информационного сигнала при КОБ=1мм/мВ по шкале вторичного прибора производится с помощью численного метода Эйлера по формулам:

Z(t +	t)= Z(t)+ Z(t),	Z(t)=	Y(t)− Z(t)		t .	(1.41)
			TД
Результаты расчета представлены в таблице 1.3.
						Таблица 1.3
Расчет траектории выходного информационного сигнала
Время t, c	Y(t), мм	Z(t), мм				ΔZ(t), мм
0	0,000	0,000				0,000
1	1,095	0,000				0,137
2	2,191	0,137				0,257
3	3,286	0,394				0,362
4	4,381	0,755				0,453
5	5,476	1,208				0,533
6	6,572	1,742				0,604
…	…	…				…
41	44,906	36,181				1,090

По (1.41) определяются координаты других точек траектории Z(t). Расчет необходимо производить до достижения постоянной скорости приращения ΔZ, что было достигнуто 41 шаге расчета ΔZ(t=40)=1.090, что практически совпадает со скоростью изменения уровня в кристаллизаторе L*=1,095. Полученная расчетная траектория является искомой траекторией кривой разгона астатического объекта второго порядка. По графику рис. 1.20 определяются:

−величина интеграла J0=8,720мм;

−тангенс угла tgα =1,09 и угол α=47,6°;

−по формулам (1.39), (1.40) определяются коэффициенты дифференциального уравнения

a	=		X	=		4,166	= 3,822
		tgα
1				1,09
a2	=		a1		J0 = 30,433
			Y ′(t)

Уравнение динамики ОУ: 30,433Y ′′(t)+ 3,822Y ′(t)= X (t).

47

В приложении представлена программа для численного решения дифференциального уравнения и построения расчетной траектории Z(t). Точное решение уравнения Z*(t) имеет вид:

		−	t
Z * (t)= L * t + T		еxp TД		−1 .	(1.42)
	Д

3.Порядок выполнения работы

1.Изучить метод определения коэффициентов дифференциального уравнения по экспериментальной кривой разгона астатического объекта управления.

2.Получить у преподавателя исходные данные для расчета динамической характеристики астатического объекта.

3.Рассчитать траекторию изменения выходного сигнала во времени при скачкообразном возмущении на входе инерционного объекта без самовыравнивания.

4.Определить по расчетной динамической характеристике коэффициенты дифференциального уравнения.

5.Решить дифференциальное уравнение численным методом по программе и построить расчетную траекторию, текст рабочей программы см. в приложении В.

6.На том же графике построить траекторию изменения выходного сигнала согласно решению уравнения по (1.42). Сделать выводы о точности используемых методов.

4.Содержание отчета

1.Описание метода определения коэффициентов уравнения по кривой разгона.

2.График расчетной траектории изменения выходного сигнала во времени в соответствии с исходными данными (вариантом).

3.Полученное дифференциальное уравнение астатического объекта. Решение дифференциального уравнения (уравнение Z*(t)).

4.Графики трех траекторий изменения выходного сигнала вместе полученные: методом Эйлера, по программе методом Рунге-Кутта и по уравнению (1.42).

5.Выводы о точности используемых методов и рекомендации по улучшению программы или метода.

48

5. Варианты задания

	Вариант		ТД, с	Q*, т/мин
1		2	9	0,18
3		4	12	0,14
5		6	15	0,12
7		8	5	0,38
9		10	4	0,30
11		12	6	0,10
13		14	8	0,15
15		16	10	0,24
17		18	5	0,26
19		20	12	0,16

Для четных вариантов толщина отливаемой заготовки 250мм, для нечетных – 230мм. Остальные данные для расчета взять из примера.

6.Вопросы для самостоятельной подготовки

1.Чем отличаются дифференциальные уравнения объектов с самовыравниванием и без самовыравнивания?

2.Как определить тангенс угла α и что он характеризует?

3.Если скорость разливки не измениться, через какой промежуток времени произойдет авария (для расчета воспользоваться исходными данными)?

4.В каких единицах измеряется J0 и какой физический смысл имеет этот параметр?

5.Придумайте примеры объектов без самовыравнивания I и II порядков.

49

Лабораторная работа №7 Построение годографа АФЧХ по экспериментальной кривой разгона

для объектов II и III порядков с запаздыванием

Цель работы: изучение частотных характеристик объекта и построение годографа АФЧХ объекта II и III порядков по кривой разгона.

1. Графический метод построения годографа АФЧХ по экспериментальной кривой разгона

для объектов II и III порядков с запаздыванием

Экспериментальную кривую разгона представим в виде ступенчатой линии, см. рис. 1.21. Каждую ступеньку ломаной линии Δyi можно рассмотреть как кривую разгона элементарного звена чистого запаздывания Wi c запаздыванием Δτi.

Рис. 1.21. Преобразование кривой разгона

В этом случае ОУ представляется как сумма множества звеньев чистого запаздывания, включенные параллельно и смещенных друг относительно друга на время Δτi, см. рис. 1.22, а.

n	n
WОУ (p)= ∑Wi	(p)= ∑ yi exp(−τ i p).	(1.43)
i=1	i=1

50

Если на входе каждого звена такой системы создать гармонические колебания с соответствующими амплитудами Δyi и одинаковой для всех частотой ωK, то на выходе каждого звена Wi будут иметь место гармонические колебания той же амплитуды и частоты, но со сдвигом фазы Δφ=τiωK. Выходная функция ОУ будет представлять сумму этих колебаний.

Рис. 1.22. Построение годографа по кривой разгона:

а – структурная схема ОУ, б – построение точки годографа

На комплексной плоскости выходная функция каждого звена

может быть представлена вектором rr

(

y

i

,ω

K

)

и

rr

= y

i

, а вектор

i

r

i

= ∑rri

выходной функции ОУ как сумма векторов RK

. Таким образом,

будет определена одна точка искомого годографа для частоты ωK.

Для простоты геометрического построения ось времени кривой разгона разбивают на n равных отрезков времени Δτi, каждому из которых соответствует определенное приращение выходного сигнала Δyi. Для каждой из частот ωK необходимо, начиная с положительной вещественной оси, последовательно откладывать на комплексной плоскости из конца предыдущего вектора Δyi следующий вектор Δyi+1

под углом αK=57°Δτi·ωK. Первый вектор rr1 откладываем из начала координат, второй вектор rr2 – из конца первого, смещенного на угол αK

51