Uchebnye_karty_Chast_2
.pdfМинистерство образования Российской Федерации Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова
Кафедра математики
Учебные карты. Часть 2
Интегральное исчисление. Функции многих переменных. Кратные интегралы. Элементы теории поля.
Дифференциальные уравнения. Ряды.
Магнитогорск 2006
Составитель: ст. препод. Н.И. Кимайкина
Учебные карты. Часть 2. Интегральное исчисление. Функции многих переменных. Кратные интегралы. Элементы теории поля. Дифференциальные уравнения. Ряды.
Магнитогорск: МГТУ, 2006.
В настоящем издании дан комплект учебных карт к главам программы по курсу «Высшая математика», которые изучаются во втором семестре. Учебные карты содержат весь существенный материал, составляющий ядро курса. Во введении изложена методика проведения практических занятий, когда в основу его положено введение структурной схемы алгоритмического построения изучаемого материала. Результатом занятия является учебная карта или страница по изучаемой теме.
Рецензент: Алиева Н.Г. к.п.н.
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Введение..................................................................................................................................... |
3 |
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1. |
Таблица производных............................................................................................................ |
4 |
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2. |
Таблица интегралов............................................................................................................... |
5 |
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3. |
Методы интегрирования........................................................................................................ |
6 |
|
4. |
Некоторые интегралы, содержащие квадратный трехчлен. ............................................... |
7 |
|
5. |
Интегралы от некоторых рациональных функций ............................................................... |
8 |
|
6. |
Интегралы, содержащие тригонометрические и показательные функции ....................... |
9 |
|
7. |
Несобственные интегралы .................................................................................................. |
10 |
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8. |
Функции нескольких переменных........................................................................................ |
11 |
|
9. |
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (n=2) ...................... |
12 |
|
10. |
Задачи о массе фигуры ..................................................................................................... |
13 |
|
11.Криволинейный интеграл по длине дуги ........................................................................... |
13 |
||
12. |
Системы координат............................................................................................................ |
14 |
|
13. |
Двойной интеграл............................................................................................................... |
15 |
|
14. |
Тройной интеграл............................................................................................................... |
15 |
|
15. |
Приложения интегралов по фигуре в геометрии ............................................................. |
16 |
|
16. |
Приложение интегралов по фигуре в механике............................................................... |
18 |
|
17. |
Скалярное поле (стационарное) ....................................................................................... |
19 |
|
18. |
Векторное поле. Характеристики векторного поля.......................................................... |
20 |
|
19. |
Дифференциальные уравнения первого порядка ........................................................... |
22 |
|
20. Виды дифференциальных уравнений высших порядков, допускающих понижение |
|
||
порядка ..................................................................................................................................... |
23 |
21.Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с
постоянными коэффициентами .............................................................................................. |
23 |
|
22. |
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка |
с |
постоянными коэффициентами .............................................................................................. |
25 |
|
23. |
Числовые ряды. Основные понятия ................................................................................. |
26 |
24. |
Числовые ряды с положительными членами................................................................... |
27 |
25. |
Знакопеременные числовые ряды.................................................................................... |
28 |
26. |
Функциональные ряды. Основные понятия...................................................................... |
29 |
27. |
Степенные ряды................................................................................................................. |
30 |
28. |
Разложение функции в степенной ряд ............................................................................. |
30 |
29 .Таблица разложений некоторых функций в степенные ряды......................................... |
31 |
|
30. |
Разложение функции в тригонометрический ряд Фурье................................................. |
32 |
2
Введение
В курсе математики практическим занятиям отводится почти половина учебного времени, где студент должен: а) овладеть системой основных понятий; б) обучиться стандартному применению алгоритмов и способов решений различных классов задач; в) овладеть умением обобщать и творчески подходить к решению задач.
Упражнения обеспечивают усвоение, углубление и закрепление учебного материала, формируют умение и навыки. На упражнениях развивается одно из основных умений работать самостоятельно – умение выделять главное в изучаемом материале.
Учебные карты есть результат многолетней работы преподавателей кафедры высшей математики. Для обучения выделению главного в изучаемом материале предусматривается новая методика проведения практических занятий, которая рассчитана на самостоятельное изучение теоретического материала и составление студентами учебной карты или справочной страницы по изучаемой теме, облегчающей решение типовых задач и усвоение теоретического материала. Процесс обучения как бы делится на три этапа.
1 этап. Кроме выдачи обычного домашнего задания по закреплению пройденного материала, преподаватель указывает тему следующего занятия и выдает студентам вопросы, по которым они первично обрабатывают теоретический материал. Эти вопросы ориентируют студентов на отбор основных теоретических понятий, выделению типовых задач, выработку способов их решений. Результатом этого этапа является черновик так называемой учебной карты.
2 этап. На занятии содержание учебной карты обсуждается, уточняется. Окончательно выработанным вариантом студент пользуется в процессе занятия. Появляется возможность составить более краткую справочную страницу по изучаемой теме.
3 этап. Работая дома по закреплению материала, окончательный вариант учебной карты студент заносит в специальную тетрадь и впоследствии по мере надобности пользуется ею.
Комплект учебных карт создается по всему курсу. В сжатой символической форме с необходимыми геометрическими иллюстрациями в них отражен математический аппарат, необходимый для решения задач. Учебная карта – алгоритмическая схема построения изучаемой темы – не обязательно должна иметь застывшую форму. Она-плод совместной работы студентов с преподавателем.
Комплект учебных карт издан к главам программы курса «Высшая математика», включающим материал второго семестра, и может быть рекомендован как наглядное пособие на 2-м этапе занятия и как методическое пособие по организации самостоятельной работы студентов для преподавателей.
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1. Таблица производных
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Элементарные функции |
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Сложные функции |
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1. (xn )′ = nxn−1 |
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а. x′ = 1 |
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(U n )′= nU n−1 U′ |
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1 ′ |
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= − |
1 |
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′ |
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b. |
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1 |
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1 |
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′ |
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|||||||||||||||||
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2 |
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Степенные функции |
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x |
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x |
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= − |
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U |
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U |
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
c. (n |
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)′ = |
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1 |
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U |
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x |
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|||||||||||
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nn xn−1 |
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( U )′ = |
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U |
′ |
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d. ( |
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)′ = |
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2 U |
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x |
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||||||||||
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2 |
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|
x |
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Показательные |
2. (ax )′ |
= ax lna |
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(aU )′ |
= aU ln a U ′ |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции |
а. (ex )′ = ex |
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(eU )′ |
= eU U ′ |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3. (sin x)′ |
= cosx |
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(sinU )′ |
= cosU U ′ |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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4. (cosx)′ |
|
= −sin x |
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(cosU )′ |
= −sinU U ′ |
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Тригонометрические |
5. (tgx)′ = |
|
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1 |
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(tgU )′ = |
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1 |
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U ′ |
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|||||||||||||||||||||||||||
функции |
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cos2 x |
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cos2 U |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||
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6. (ctgx)′ = − |
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1 |
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(ctgU )′ = − |
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1 |
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U ′ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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sin2 x |
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sin2 |
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U |
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7. (log |
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x)′ = |
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a |
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x ln a |
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Логарифмические |
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′ |
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U ′ |
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функции |
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′ |
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1 |
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(lnU ) = |
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a. (ln x) = |
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U |
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x |
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8. (arcsin x)′ = |
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1 |
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1− x2 |
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(arcsinU )′ = |
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1 |
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9. (arccos x)′ = − |
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1 |
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U ′ |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Обратные |
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1− U |
2 |
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1− x2 |
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тригонометрические |
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(arctgU )′ = |
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1 |
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||||||||||||||||||||||
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U ′ |
|||||||||||||||||||
функции |
10. (arctgx)′ = |
|
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1 |
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1+ U 2 |
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1 |
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+ x2 |
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||||||||||||
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11. (arcctgx)′ = − |
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1 |
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+ x2 |
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1 |
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|||||||||||
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12. (shx)′ |
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e |
x |
− e |
−x |
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|
= |
|
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= chx |
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2 |
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||||||
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|||||||
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13. (chx)′ |
|
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|
ex |
|
+ e−x |
|
′ |
|
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= |
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= shx |
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2 |
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|||||||||||
Гиперболические |
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||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||
функции |
|
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|
|
|
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|
|
′ |
|
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|
|
sh x |
|
|
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|
1 |
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|
|
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|
|
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|
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|||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||||||||||||||
|
14. (thx) |
= |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
= |
|
|
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|
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|||||||||||||||||
|
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|
|
|
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|
2 |
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
ch |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch x |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
ch x |
′ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
15. (cthx) |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||
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2 |
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|||||||||||||||||||||||||||
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|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
(C)′ = 0 |
|
|
|
|
|
|
(U ± V )′ = U ′ ± V ′ |
(CU )′ = C U ′ |
|
|
|
|
|
|
(U V )′ =U ′ V + V ′ U |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Правила |
U |
|
′ |
|
|
|
′ V −V ′ U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференцирования |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
(U V ) |
= VU V −1 U |
′ + U V lnV V ′ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
4
2. Таблица интегралов
|
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|
Элементарные функции |
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|
|
|
|
Сложные функции |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1. |
∫xαdx = |
|
|
xα+1 |
|
+ c, α≠−1 |
|
|
1. |
∫U αU′dx = ∫U |
|
αdU = |
U α+1 |
|
+ c |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
α +1 |
|
|
|
α +1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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α≠−1 |
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|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
а. |
∫dx = x + c, |
|
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|
|
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|
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|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
Степенные |
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|
|
dU |
|
|
|
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|
|
U′dx |
|
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|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
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|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
b. |
|
|
= |
|
|
|
|
= − |
|
+ c |
|
|
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|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= − |
|
|
+ c , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫U 2 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
U 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ x2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
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|
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|
d. ∫ |
|
U′ |
|
|
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|||||||||||||||
|
|
∫ |
|
dx |
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
dx = 2 |
U |
|
+ c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
c. |
|
= 2 |
|
|
|
|
x + c. |
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
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|
U |
|
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|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||
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|
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|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
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|
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|
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|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2. ∫axdx = |
|
|
ax |
|
+ c , |
|
|
2. ∫aU U′dx = |
aU |
|
|
|
|
+ c |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Показательны |
|
|
lna |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
е функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lna |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∫exdx = ex + c. |
|
|
a. ∫eU U′dx = eU + c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3. |
∫cosxdx = sin x + c |
|
|
3. |
∫U′cosU dx = sinU + c |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тригонометри |
4. |
∫sin xdx = −cos x + c |
|
|
4. |
∫U′sinU dx = −cosU + c |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ческие |
5. |
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
= tg x + c |
|
|
5. ∫ |
|
|
|
|
|
dx = tgU + c |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции |
|
cos |
2 |
x |
|
|
|
cos |
2 |
U |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
6. |
∫ |
|
|
dx |
|
= −ctg x + c |
|
|
6. |
∫ |
|
U′ |
dx = −ctgU + c |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin2 x |
|
|
sin2 U |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Логарифмичес |
|
∫ |
|
dx |
|
|
= ln |
|
|
|
+ c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7a. ∫ |
U′ |
|
|
|
|
= ln |
|
|
|
|
|
|
+ c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
кие функции |
7. |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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dx |
|
U |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|||||||||||||
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|
|
|
|
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|
|||||||
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|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
8. |
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= arcsin x + c |
|
|
8. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
U′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = arcsin |
U |
+ c |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 −U 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
9. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
= arcsin |
x |
+ c = −arccos |
x |
+ c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
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|
|
||||||||||||||||
Обратные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||
|
|
|
|
a2 − x2 |
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||
тригонометрич |
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
еские функции |
10. ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= arctg x + c = −arcctg x + c |
10. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
1 |
arctg |
U |
+ c |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ x |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
+U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|||||||||||||||||||
|
11. ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= |
1 |
|
arctg |
x |
+ c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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2 |
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2 |
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a |
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+ x |
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a |
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a |
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12. ∫ch xdx = sh x + c |
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18. ∫ |
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dx |
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= ln |
x + |
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x2 ± k |
+ c |
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13. ∫sh xdx = ch x + c |
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x2 ± k |
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a + x |
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Гиперболичес |
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dx |
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1 |
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14. ∫ |
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dx |
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= th x + c |
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19. ∫a2 − x2 = |
2a ln |
a − x |
+ c |
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кие функции |
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2 |
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ch x |
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20. ∫ |
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dx |
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= ln |
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tg |
x |
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+ c |
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dx |
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15. |
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= −cth x + c |
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sin x |
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2 |
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∫sh2x |
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21. ∫ |
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dx |
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π |
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x |
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16. ∫tg xdx = −ln |
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= ln |
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+ |
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+ c |
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Правила |
cos x |
+ c |
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tg |
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дифференцир |
17. ∫ctg xdx = ln |
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cos x |
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4 |
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2 |
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sin x |
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+ c |
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ования |
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∫ f (x)dx = F(x)+ c, где F′(x)= f (x)
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3. Методы интегрирования
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1. Непосредственное интегрирование |
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2. Замена переменной (подстановка) |
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3. Интегрирование по частям |
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Выполняется: |
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Применяется: |
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∫UdV = UV − ∫VdU |
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1. По таблице интегралов и свойствам: |
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1. При интегрировании некоторых классов функций: |
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а) |
∫ |
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F |
( |
x dx = |
∫ |
dF |
( |
x |
) |
= F |
x |
) |
+ c |
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f (x)dx = |
x = ϕ(t) |
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f [ϕ(t)]ϕ′(t)dt . |
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eBx |
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Pn (x)=U |
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dU = Pn′(x)dx |
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|
) |
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( |
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∫ |
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= |
∫ |
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1. |
∫Pn (x) |
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= |
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dx = ϕ′(t)dt |
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cosBx |
dx |
eBxdx = dV |
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V = |
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∫ |
eBx dx |
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∫[αf (x)± βϕ(x)]dx = α∫ f (x)dx ± β∫ϕ(x)dx |
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б) |
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2. При наличии дифференциальной связи: |
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sin Bx |
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∫ f (ax + b)dx = |
1 |
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F(ax + b)+ c |
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U(x) |
= t |
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ln x |
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dU = U |
′dx |
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в) |
a |
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∫ f (U )U ′dx = |
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= ∫ f (t)dt |
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2. |
∫Pn (x) |
ln x |
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U = |
arctg x |
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V = |
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∫ |
P |
(x)dx |
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2. С использованием преобразований: |
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U ′dx |
= dt |
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arctg x |
dx = |
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arcsin x |
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n |
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arcsin x |
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(за новую переменную принимают функцию, от которой в |
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а) почленное деление; б) выделение целой части; |
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dV = Pn (x)dx |
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подинтегральном выражении есть дифференциал) |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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в) применение тригонометрических тождеств г) выделение полного квадрата |
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4. Стандартные приемы и подстановки при интегрировании некоторых классов функций |
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а) рациональные дроби |
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б) тригонометрические выражения |
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в) иррациональные выражения |
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1. Простейшие дроби |
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(x + a)−k+1 |
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Универсальная подстановка |
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1. Линейная иррациональность |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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dx |
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dx |
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x |
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2dt |
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||||||||||||||||||||||
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m |
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K |
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|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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I. |
∫ |
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= ln |
x |
+ a |
+ c . |
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II. |
∫ |
|
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|
= |
|
|
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|
|
|
|
+ c . |
|
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|
tg |
|
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= t, |
|
dx = |
|
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∫R x, |
|
(ax + b) |
|
,..., |
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(ax + b) |
|
dx |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
x |
+ a |
|
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(x |
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|
k |
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1− k |
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1+ t |
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
+ a) |
|
|
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1. |
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|
2 |
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Ax + B |
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∫R(sin x,cos x)dx = |
|
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|
2t |
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|
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|
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1− t |
2 |
|
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ax + b = t p |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
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Ax + B |
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2 |
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
III. |
|
∫ |
x |
2 |
+ px |
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
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|
|
|
|
IV. |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
dx , D = p |
|
− 4q < 0 . |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
sin x = |
+ t |
2 |
, cos x = |
1+ t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
- наименьший общий |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
|
|
|
|
|
+ q |
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
(x2 + px + q) |
|
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|
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
p−1 |
|
, где |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
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Частные случаи: |
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dx |
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t |
|
|
dt |
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Алгоритм преобразования дробей вида III и IV: |
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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1.1. ∫R(sin x,cos x)dx = |
cos x = t, − sin xdx = dt |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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+ px + q = |
+ |
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p |
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+ a |
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x =1− t |
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знаменатель |
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k |
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1) Выделить полный квадрат: |
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x |
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x |
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sin |
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,..., |
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R(−sin x,cos x) = −R(sin xcos x) - нечетная относительно « sin x » |
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m |
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r |
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2. Квадратичные иррациональности. |
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2) Применить подстановку: x + |
= t x = t − |
, |
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dx = dt. |
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1.2. ∫R(sin x,cos x)dx = |
sin x = t, cos xdx = dt |
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2.1. |
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cos2 |
x =1− t2 |
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3) Разложить на два интеграла вида: 7а, 11 (табличные). |
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x = asint |
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R(sin x,−cos x) = −R(sin xcos x) |
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4) Для дроби вида IV применить формулу: |
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- |
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∫R x, |
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a |
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− x |
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dx |
= dx = acost dt |
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= ∫r(t)dt |
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= |
∫ |
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dt |
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= |
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1 |
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1 |
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+ |
1 |
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2k − 3 |
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нечетная относительно « cos x » |
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Ik |
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Ik−1 . |
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a2 |
− x2 |
= acost |
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2a2 (k −1) |
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a2 |
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dt |
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2 |
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2 |
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k |
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2 |
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2 |
k−1 |
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2k − 2 |
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(t |
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+ a |
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) |
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(t |
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+ a |
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) |
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tg x |
= t, |
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dx = |
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+ t |
2 |
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Pm (x) |
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1.3. ∫R(sin x,cos x)dx = |
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2. Рациональные дроби вида |
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t |
2 |
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1 |
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x = atg t, |
dx = |
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a |
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Qn (x) |
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2 |
x = |
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2 |
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= |
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dt |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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sin |
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, |
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cos |
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x |
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cos2 t |
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1+ t |
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1+ t |
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∫R x, |
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a |
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+ x |
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dx |
= |
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= ∫r(t)dt |
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Алгоритм интегрирования: |
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R(−sin x,−cos x)= R(sin xcos x) |
- четная в совокупности. |
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a2 + x2 |
= |
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a |
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1. Если дробь неправильная (m > n) , то выделить целую часть. |
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cost |
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2. ∫sinm x cosn xdx , где m и n четные, m,n Z |
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2. Разложить знаменатель Qn (x) |
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на простые множители: |
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2.3. |
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k |
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2 |
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Применить формулы понижения: |
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a |
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asint |
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Qn (x) = (x − x1 )(x − x2 ) ...(x |
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+ px |
+ q). |
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x = |
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, |
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dx = |
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dt |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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1 |
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1 |
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|
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|
cos t |
|
cos |
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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|
|
2 |
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2 |
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(1 |
− cos2x), cos |
2 |
|
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|
(1+ cos2x), |
|
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|
t |
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∫r(t)dt |
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3. Правильную дробь разложить на сумму простейших дробей |
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sin |
|
x = |
|
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x |
= |
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sin x cos x = |
|
sin2x |
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∫R x, |
|
x |
|
− a |
|
dx |
= |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
asint |
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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f (x) |
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A |
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B1 |
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B2 |
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Bk |
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Cx + D |
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x |
2 |
− a |
2 |
|
= |
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||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||
|
(x − x1 )(x − x2 )k ...(x2 + px + q) |
= |
x − x1 |
+ |
x − x2 |
|
+ |
|
|
(x − x2 )2 |
+ ...+ |
(x − x2 )k |
+ ...+ |
x2 + px + q |
(*) |
3. |
∫sin mx cosnxdx = |
1 |
∫[sin(m − n)x + sin(m + n)x] dx |
|
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|
Ax + B |
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|
cost |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
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Привести |
|
правую |
часть |
|
равенства |
(*) |
к общему |
знаменателю |
и уравнять |
|
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2 |
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|
3. ∫ |
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|
|
dx |
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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∫[cos(m − n)x − cos(m + n)x]dx |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
числители левой и полученной правой частей |
|
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|
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|
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|
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|
∫sinmx sinnxdx = |
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|
x2 + px + q |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
2 |
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|
Смотри алгоритм интегрирования дроби вида III. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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5. Найти коэффициенты A, B, B |
|
,...,C, D , применив к целому выражению: |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Сводится к интегралам 1, 9, 18 таблицы №2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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а) метод частных значений (x = x1, x = x2 ,...) ; |
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∫cosmx cosnx dx = |
1 |
∫[cos(m − n)x + cos(m + n)x] dx |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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4. ∫ |
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dx |
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|
, |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
б) метод сравнения коэффициентов при одинаковых степенях; |
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2 |
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(x − a) |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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4. ∫tgn xdx , ∫ctgn xdx |
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|
x2 |
+ px + q |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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6. Проинтегрировать простейшие дроби. |
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1 |
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1 |
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1 |
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||||||
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Применяется: tg2x = |
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− 1, ctg2x = |
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- обратная подстановка. |
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cos2 t |
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sin2 x |
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4. Некоторые интегралы, содержащие квадратный трехчлен.
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Обозначение: X = ax2 + bx + c, |
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= 4ac − b2 |
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arctg |
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2ax |
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b |
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+ c, для |
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> 0 |
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1. ∫ |
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X |
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2ax + b − |
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+ c, для |
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= |
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2ax + b |
+ |
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2a |
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dx |
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+ c (см. 1). |
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xdx |
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+ c (см. 1). |
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X |
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4. ∫ |
xdx |
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= − |
bx + 2c |
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− |
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b |
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∫ |
dx |
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+ c (см. 1). |
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X |
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5. ∫ |
x2dx |
= |
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x |
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− |
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b |
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+ |
b2 |
− 2ac |
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∫ |
dx |
+ c (см. 1). |
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ln |
X |
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X |
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a |
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6. ∫ |
x2dx |
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= (b2 − 2ac)x + bc + |
2c |
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∫ |
dx |
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+ c (см. 1). |
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2 |
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arcsin |
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< 0. |
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b (2ax + b) |
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X − |
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+ c (см. 8). |
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X |
X |
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5b2 − 4ac |
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2 |
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x |
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dx = |
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X |
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+ c (см. 8). |
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x2 |
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dx = |
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X + |
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+ c (см. 8). |
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X |
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x |
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3 |
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2 |
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2 |
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2 |
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2 |
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2 |
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2 |
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2 |
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2 |
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2 |
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15. |
∫x |
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x |
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± a |
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dx = |
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(x |
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± a |
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x |
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± a |
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± a |
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ln |
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± a |
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∫ |
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||||||||||||||||||
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|
a2 − x2 dx = |
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a2 |
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− x2 |
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+ a2 arcsin |
+ c . |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16. |
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x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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4 |
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a |
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||||||||||||
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x |
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a2 |
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|
|
|
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|
|
x |
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|
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|||||||||||||||
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|
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3 |
|
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|||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
17. |
∫x2 |
|
|
|
|
|
a2 |
− x2 dx = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a2 |
|
|
− x2 ) |
+ |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
a2 |
− x2 |
|
|
+ a2 |
arcsin |
|
|
|
+ c . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
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|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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7 |
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5. Интегралы от некоторых рациональных функций
|
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|
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|
|
|
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|
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|
|
Обозначение: |
|
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|
= b f − a q . |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
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|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. ∫ |
ax + b |
dx = |
ax |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
fx + q |
|
|
+ c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
fx + q |
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2. ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fx + q |
|
|
|
+ c, ( ≠ 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(ax + b)(fx + q) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax + b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
ln |
ax + b |
|
|
− |
ln |
fx + q |
|
|
+ c , |
( ≠ 0). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(ax + b)(fx + q) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fx + q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ c, ( ≠ 0). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(ax + b) (fx + q) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax + b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax + b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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− |
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a |
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a + x |
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+ c , (a ≠ b). |
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(a |
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2 |
(a − b)(b + x) |
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2 |
b + x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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+ x)(b + x) |
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(a − b) |
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6. ∫ |
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dx |
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= |
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1 |
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+ |
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1 |
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+ |
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2 |
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a + x |
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+ c , (a ≠ b). |
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ln |
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(a |
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2 |
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2 |
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(a |
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2 |
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+ x |
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b |
+ x |
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3 |
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b + x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
+ x) (b + x) |
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− b) |
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a |
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(a − b) |
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7. ∫ |
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xdx |
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= |
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1 |
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a |
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+ |
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b |
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+ |
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a + b |
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a + x |
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+ c , (a ≠ b). |
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ln |
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(a |
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2 |
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2 |
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(a |
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2 |
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+ x |
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b |
+ x |
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3 |
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b + x |
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+ x) (b + x) |
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− b) |
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a |
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(a − b) |
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x2dx |
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−1 |
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a2 |
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b2 |
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2ab |
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a + x |
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8. ∫ |
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|
= |
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+ |
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+ |
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ln |
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+ c , (a ≠ b). |
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2 |
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2 |
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2 |
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3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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(a |
+ x) (b + x) |
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(a |
− b) |
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a |
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+ x |
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b |
+ x |
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(a − b) |
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|
b + x |
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. ∫ |
|
|
dx |
= ± |
|
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|
1 |
|
|
|
ln |
|
|
|
|
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(a ± x)2 |
|
|
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|
|
+ |
|
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|
1 |
|
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|
|
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|
arctg |
2x M |
a |
+ c. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
3 3 |
|
|
|
2 |
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
2 |
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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± x |
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6a |
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M ax + x |
|
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3 |
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a 3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
∫ |
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xdx |
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= ± |
1 |
|
|
|
ln |
|
a2 M ax + x2 |
|
± |
|
|
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|
1 |
|
|
|
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|
|
arctg |
|
2x M a |
+ c. |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
± x |
3 |
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|
6a |
|
|
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2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
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a 3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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(a ± x) |
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a 3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
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dx |
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= |
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1 |
|
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x3 |
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+ c . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
11. |
x(a3 ± x3 ) |
|
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ln |
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3a3 |
a3 ± x3 |
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∫ |
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dx |
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1 |
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1 |
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∫ |
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xdx |
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||||||||||||||||||||||||||
12. |
x2(a3 ± x3)= − |
|
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|
M |
|
|
|
|
|
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+ c. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a3x |
a3 |
a3 ± x3 |
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
xdx |
|
|
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1 |
|
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|
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x2 |
|
|
|
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|
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||||||||||||||
13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ c. |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
4 |
+ x |
4 |
|
|
|
2a |
2 |
|
a |
|
2 |
|
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|
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|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
14. |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
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1 |
|
|
|
|
|
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|
ln |
|
x2 + ax |
2 |
|
+ a2 |
+ |
|
|
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1 |
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
ax 2 |
|
+ c . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
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|
3 |
|
|
|
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|
|
|
|
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|
2 |
|
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|
|
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2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
+ x |
|
|
|
4a |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
− ax 2 + a |
|
|
|
2a |
|
|
2 |
a |
− x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
a + x |
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
+ c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
arctg |
x |
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
4 |
4 |
|
|
|
4a |
3 |
|
|
|
|
|
|
2a |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
a − x |
|
|
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|
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|
a |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16. |
∫ |
|
|
xdx |
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
ln |
|
|
|
a2 + x2 |
|
|
+ c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
4 |
− x |
4 |
|
|
|
4a |
2 |
|
|
|
a |
2 |
|
− x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
17. |
∫ |
|
x2 dx |
|
= |
|
1 |
|
|
ln |
|
a + x |
|
|
|
|
|
− |
|
|
1 |
|
|
arctg |
|
x |
|
+ c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
− x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
4a |
a |
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Интегралы, содержащие тригонометрические и показательные функции
1.∫xcos pxdx =
2.∫xsin pxdx =
|
1 |
cos px + |
x |
sin px + c . |
||
|
p2 |
|
|
|||
|
|
|
p |
|||
|
1 |
sin px − |
x |
cos px + c . |
||
|
p2 |
|
||||
|
|
p |
2 |
2x |
x2 |
2 |
|
||||
3. ∫x cos pxdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
||||
p |
2 |
cos px + |
p |
3 |
sin px + c. |
|||
|
|
|
|
p |
|
|
|
∫x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
|
sin pxdx = |
|
|
|
|
|
2 sin px + |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
p |
|
|
|
p |
3 |
|
|
cos px + c. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
6x |
|||||||||||||||||||||||||||
5. |
∫x |
|
cos pxdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
p |
4 cos px + |
|
|
p |
3 |
sin px + c . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
6x |
||||||||||||||||||||||||||||
|
∫x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6. |
|
sin pxdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
− |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
p |
4 |
|
|
sin px |
|
p |
3 cos px + c . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
7. |
∫eax cos pxdx = |
|
|
|
|
|
eax |
|
|
|
|
|
(acos px − psin px)+ c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
8. |
∫eax sin pxdx = |
|
|
|
|
|
eax |
|
|
|
|
(asin px − pcos px)+ c . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
+ p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
9. |
∫shaxcos pxdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(achaxcos px + p shaxsin px)+ c . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
2 |
|
+ p |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
10. |
∫shaxsin pxdx = |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(achaxsin px − p shaxcos px)+ c . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
2 |
+ p |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
11. |
∫chaxcos pxdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(ashaxcos px + pchaxsin px)+ c . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
2 |
+ p |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
12. |
∫chaxsin pxdx = |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(a shaxsin px − pchaxcos px)+ c . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
2 |
+ p |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
∫xe |
px |
|
|
x |
|
|
|
|
|
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
px |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||
13. |
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− |
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e |
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+ c . |
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2 |
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dx = |
p |
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p |
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∫x |
2 |
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px |
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x2 |
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2x |
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2 |
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px |
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14. |
e |
dx = |
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− |
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+ |
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e |
+ c. |
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p |
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p |
2 |
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p |
3 |
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