2. План-конспект лекционного курса	171

Существует еще ряд важных свойств определенного интеграла, которые подводят нас к формуле для вычисления определенного интеграла. Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница для f(x) непрерывной на [а; b]:

ba∫ f (x)dx = F(b) – F(a),

где F(x) – некоторая первообразная для функции f(x).

Например: ∫1 x2dx – вычислить.

0

Находим первообразную для функции х2, она равна x3/3 + С, произвольную постоянную С приравняем к нулю. Подставим в первообразную х3/3 вначале значение верхнего предела, равного 1, затем значение нижнего предела, равного 0 вместо х.

∫1 x2dx = 1/3 – 0/3 = 1/3.

0

Подробнее см.: 1.

ТЕМА 12 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КОМБИНАТОРИКА

Основные вопросы темы

1.Метод математической индукции.

2.Размещения, перестановки, сочетания.

Математика строит модели целых классов. При построении модели идут в ход понятия, аксиомы, процессы идеализации, обобщения и абстракции, а также интуиция. Доказательство цементирует элементы воедино.

1. Метод математической индукции является одним из наиболее универсальных методов математических доказательств. Суть его заключается в следующем. Допустим, мы хотим доказать, что некоторое утверждение справедливо при любых значениях натурального числа п, содержащегося в формулировке этого утверждения. Например, что для любого натурального п справедливо следующее равенство:

1 + 2 + 3 +... + n =	n(n +1)	.	(1)
2

Легко проверить, что эта формула дает правильный результат при n = 1, 2, 3, 4. Но невозможно ее проверить для всех значений п, так как множество натуральных чисел бесконечно! Как же доказать, что утверждение верно для любых п, не проверяя этого непосредственно? Оказывается, что достаточно:

а) проверить данное утверждение при п = 1;

б) предположив, что оно верно при п = k, доказать, что оно верно при n = k + 1. В этом и заключается метод математической индукции.

172	Информатика и математика

В рассматриваемом примере формула (1) при n = 1 дает 1 = 1(12+1) , т.е.

что сумма из одного слагаемого 1 равна единице. Таким образом, при п = 1 формула верна. Теперь предположим, что она верна при n = k, тогда справедливо равенство:

1 + 2 + 3 +... + k = k(k +1) . 2

Докажем, что формула (1) верна при п = k + 1, т.е.:

	1 + 2 + 3 +... + k + (k +1) =	(k +1)(k + 2)	.
		2

Действительно, используя допущение, получаем

1 + 2 + 3 +... + k + (k +1) =	k(k +1)	+ (k +1) =	(k +1)(k + 2)	,
			2
2

что и требовалось доказать.

Правила произведения и суммы

Правило сложения. Пусть из пункта А в пункт В можно добраться самолетом, поездом и автобусом, причем между этими пунктами существуют 2 авиамаршрута, 1 – железнодорожный и 3 – автобусных. Следовательно, общее число маршрутов между пунктами А и В равно 2 + 1 + 3 = 6. Обобщая этот пример, можно сформулировать правило сложения. Если выбор каждого из объектов a, (i = 1,2,…, k) можно выполнить ni, способами, то выбор «или а1 или а2,… или аk» можно произвести n=∑ni способами.

Правило умножения. Сколькими различными способами можно распределить четыре шара по двум лункам, в которые помещается ровно один шар. Очевидно, первую лунку можно заполнить четырьмя способами, так как при выборе первой лунки имеется четыре шара. Вторую лунку можно заполнить тремя шарами, так как после заполнения первой лунки осталось три шара. Заметим, что с каждым из четырех способов заполнения первой лунки может совпасть любой из трех способов заполнения второй. Поэтому общее число способов распределения двух лунок равно 4x3 = 12.

Запишем теперь правило умножения в общем виде. Если выбор каждого из k объектов ai(i= 1,2,… , k) можно осуществить ni способами, то выбор «и а1 и а2,… , и ак» можно произвести n=n1×n2 ×…×nk способами.

2. Исследуя множества, относящиеся к юридическим проблемным ситуациям, юристу исключительно важно знать свойства пространства вариантов, определяющих ситуацию, т.е. с помощью методов комбинаторики оценивать число размещений, сочетаний и перестановок.

Пусть имеется множество, состоящее из n различных элементов. Перестановками называются различные всех элементов исходного множества, отличающиеся один от другого порядком следования элементов. Число перестановок из n элементов равно:

Pn = n!

2. План-конспект лекционного курса	173

Пример 1. Сколькими способами можно составить расписание вызова подозреваемых на один день из четырех человек: Э(Эдуард), М(Максим), И(Игорь), Ф(Федор) ?

Решение. Исходное множество состоит из четырех различных элементов: Э, М, И, Ф, n = 4 . Различного вида составленное расписание – комбинация из всех четырех имен, например – ЭМИФ, ЭФИМ,…, отличаются комбинации одна от другой только порядком следования элементов. Следовательно, их число – число перестановок из 4: Р4=4!=1×2×3×4=24.

Сочетаниями из n элементов исходного множества по m элементов, называются комбинации, содержащие m элементов исходного множества, отличающиеся одна от другой составом элементов. Число сочетаний из n элементов по m элементов равно:

	Сnm =	n!		.
		m!×(n −m)!

Пример 2. Сколькими способами можно отправить трех оперативников на выезд из группы, состоящей из семи человек: Афанасьев (А), Борисова (Б), Воронов (В), Демина (Д), Исаев (И), Котова (К), Синицын (С)?

Решение. Исходное множество состоит из семи различных элементов: А, Б, В, Д, И, К, С. Группа на выезд – комбинация, состоящая из трех элементов исходного множества, например – АБД, ВДК, …, отличаются комбинации одна от другой составляющими их элементами. Следовательно, их число –

число сочетаний из 7 по 3: С73 =	7!		=	7!	= 1×2×3×4×5×6×7	= 35 .
	3!×(7 −3)!
				3!×4! 1×2×3×1×2×3×4

Размещениями из n элементов исходного множества по m элементов называются комбинации, содержащие m элементов исходного множества, отличающиеся одна от другой порядком следования элементов и их составом. Число размещений из n элементов по m элементов равно:

	Anm =	n!		.
		(n − m)!

Пример 2. Сколькими способами можно составить трехзначное число из нечетных цифр, если все цифры разные?

Решение. Исходное множество состоит из пяти различных элементов: 1, 3, 5, 7, 9. Трехзначные числа из этих цифр – комбинации, состоящие из трех элементов исходного множества, например – 135, 153, 137,…, отличаются комбинации одна от другой и порядком следования элементов, и составом. Следовательно, их число – число размещений из 5 по 3:

А53 = (5 −5!3)! = 52!! = 3 ×4 × 5 = 60.

Указанные комбинации называются выборками без повторения, так как составляются из различных элементов. Встречаются выборки с повто-

рениями.

174 Информатика и математика

Число размещений с повторениями из n элементов по m элементов равно nm.

Пример 3. Сколько возможных исходов при выбрасывании трех монет? Решение. Исходное множество (результат выпадения одной монеты)

состоит из двух различных элементов: О (орел) и Р (решка), n = 2 . Так как выбрасываются три монеты, то выборочные комбинации содержат три элемента и число повторений одного элемента в выборке может быть до трех раз, m = 3 . Число различных исходов при бросании трех монет равно

23 = 8 :

Ω ={OOO, OOP, OPO, OPP, POO, POP, PPO, PPP}.

Если объект Аможет быть выбран mA способами, объект B – mB способами, то пара (A, B) может быть выбрана mA ×mB способами.

Пример 4. В группе 10 юношей и 8 девушек. Для участия в КВН необходимо выбрать трех юношей и двух девушек. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Трех из десяти юношей можно выбрать C103 способами. Двух из восьми девушек можно выбрать C82 способами. Следовательно, команду

КВН можно создать C103 ×C82 = 310! 7!!× 28!!6! = 3360 способами.

Подробнее см.: 1.

ТЕМА 13

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

Основные вопросы темы

1.События и операции над ними.

2.Определение вероятности, операции с вероятностями.

3.Случайные величины и закон распределения вероятности.

4.Числовые характеристики случайной величины.

1.Методы теории вероятностей и математической статистики позволяют конструировать данные и производить описание моделей юридических ситуаций. Например, в процессе следствия юридическая проблемная ситуация может быть представлена в виде группы случайных событий, где выделяется событие с максимальной вероятностью и предпринимаются дополнительные следственные действия для принятия или отказа от выдвинутой гипотезы (модели). Формула Байеса позволяет уточнить вероятности гипотез по результатам следственного эксперимента.

Под опытом в теории вероятностей понимается набор определенных условий, который можно воспроизвести сколь угодно много раз. Любой факт, который наступает в результате опыта, называется событием. События обозначаются буквами латинского алфавита A, B, C, D, E, F,…

2. План-конспект лекционного курса	175

Пространством элементарных событий называется непустое множе-

ство Ω ={ω} , элементами которого служат все возможные взаимоисключающие один другой неразложимые исходы опыта, которые называются элементарными событиями и обозначаютсяω . Любое случайное событие А, связанное с опытом, является подмножеством Ω , А Ω . Событие называется:

•случайным, если оно может наступить или не наступить в результате данного опыта;

•невозможным, если в результате данного опыта оно произойти не может, А = ;

•достоверным, если оно обязательно наступит в результате данного

опыта, А = Ω .

Суммой двух событий A и B называется событие C, заключающееся в том, что произойдет хотя бы одно из событий A и B, и обозначается C=A+B.

Произведением двух событий A и B называется событие C, состоящее в совместном появлении (одновременно или последовательно одно за другим) событий A и B, и обозначается C=AB.

Пример. Опыт – бросание игральной кости. События: A = «выпадение 6 очков»;

B= «выпадение 3 очков»;

C= «выпадение четного числа очков»; D= «выпадение числа очков не меньше 1»; E= «выпадение 8 очков».

A, B, C – случайныесобытия; D – достоверное; E – невозможноесобытия. Поскольку в теории вероятностей рассматриваются только случайные

события, то слово «случайное» опускают и говорят просто «событие». События называются равновозможными, если есть основания считать,

что ни одно из них не является более возможным, чем другие. Например, появление того или иного числа очков при брошенной игральной кости является равновозможным.

Каждое событие, которое может наступить в испытании, называется элементарным исходом (в предыдущем примере A, B – элементарные события; C, D – составные события, состоящие из нескольких элементарных).

2. Вероятностью события A (обозначается P(A)) называется количественная характеристика возможности наступления этого события. В качестве единицы измерения вероятности естественно принять вероятность достоверного события, а вероятность невозможного события – нулевой (например, в предыдущем примере P(E)=0, P(D)=1). Для произвольного случайного события P(A) [0;1] и вычисляется обычно по формуле непосредственного подсчета вероятности:

	176		Информатика и математика
	P( A) =	m	,
		n

где n – общее число равновозможных элементарных исходов опыта; m – число элементарных равновозможных исходов опыта, благоприятных наступлению события A.

Пример. Монету бросают два раза. Определить вероятность событий: A = «ровно два раза выпал орел», B = «хотя бы раз выпал орел», C = «ни разу не выпал орел».

Решение: Рассмотрим множество всех возможных исходов опыта Ω ={OO,OP, PO, PP}. Значит, общее число возможных исходов n=4. Определим события, благоприятные наступлению A, B, C:

A ={OO}, B ={OO,OP, PO}, C ={PP}.

Тогда по формуле непосредственного подсчета вероятности:

P(A) = 14 , P(B) = 34 , P(C) = 14 .

События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно.

Теорема 1 (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.:

P(A + B) = P(A) + P(B) , если A и B – несовместные события.

Теорема 2 (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух произвольных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения, т.е.:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) .

Говорят, что события А1 , А2 ,..., Аn образуют полную группу, если они несовместны, а их сумма – достоверное событие, т.е. P( A1 + A2 +... + An ) =1.

Противоположными называются два события, образующие полную группу. Вероятность противоположного события (обозначается А ) находится по формуле: P( A) =1 − P(A) .

Условная вероятность. Полная вероятность. Формула Байеса

Событие A называется независимым от события B,если вероятность события A не зависит от того, произошло или не произошло событие B. Вероятность события A, вычисленная при условии, что произошло событие B, причем P(B) ≠ 0 , называется условной вероятностью события A, обозна-

чается P(A / B) , находится в изменившихся условиях опыта и равна

P(A / B) = PP((ABB)) .

Теорема 3 (произведения вероятностей). Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей, т.е.:

P(AB) = P(A) × P(B) , если A и B – независимые события.

2. План-конспект лекционного курса	177

Теорема 4 (произведения вероятностей). Вероятность произведения произвольных событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое произошло, т.е.:

P(AB) = P(A)×P(B / A) или

P(AB) = P(B)×P(A / B) .

Используя теоремы 3, 4, можно рассмотреть другие определения независимости событий, которые являются эквивалентными: событие

Аназывается независимым от события B, если:

1)P(A) = P(A / B) ;

2)P(AB) = P(B) × P(A / B) ;

3)P(A / B) = P(A / B ) .

Событие A называется зависимым от события B, если P(A) ≠ P(A / B) .

Пример. В урне находятся пять белых и семь черных шаров. Произвольным образом извлекаются два шара. Определить вероятность того, что 1) оба шара – белые, 2) хотя бы один шар – белый.

Решение. Обозначим событие A= «оба шара – белые», разобьем его на элементарные события:

B= «первый вынимаемый шар – белый», C= «второй вынимаемый шар – белый». Событие A наступит только в том случае, если произойдут одно за другим события B и C, значит, оно является их произведением: А = В×С и P(A) = P(B ×C) . События C и B являются зависимыми, поэтому

применима теорема 4: P(B ×C) = P(B) ×P(C / B) .

До извлечения первого шара в урне находится всего 12 шаров, среди которых пять белых, поэтому P(B) = 125 , после наступления события B условия изменятся, в урне будет находиться 11 шаров, среди которых четыре белых, поэтому P(C / B) = 114 . Следовательно, вероятность того, что в ре-

зультате опыта будут извлечены из урны два белых шара, равна

P(A) = P(B) × P(C / B) = 125 ×114 = 335 .

Обозначим событие D= «хотя бы один шар – белый» и разобьем его на более мелкие, несовместные события: A= «оба вынимаемых шара – белые», F= «первый вынимаемый шар – белый, а второй – черный», G= «первый вынимаемый шар – черный, а второй – белый». Тогда:

D = A + F +G, P(D) = P(A + F +G) = P(A) + P(F) + P(G) по теореме 1. Ис-

пользуем обозначения для событий B и C, тогда В = «первый вынимаемый шар – черный», С = «второй вынимаемый шар – черный». Очевидно, что

события F и G представимы в виде F = B ×C , G = B ×C . При этом

P(F ) = P(B ×C ) = P(B) ×P(C / B) = 125 ×117 = 13235 ,

178	Информатика и математика

P(G) = P(B ×C) = P(B ) × P(C / B ) = 127 ×115 = 13235 . Следовательно, вероятность того, что в результате опыта будет извлечен хотя бы один белый шар, равна

P(D) = P(A) + P(F ) + P(G) = 335 + 13235 + 13235 = 1522 .

Теорема 5 (формула полной вероятности). Если событие A может произойти вместе с одним из событий H1 , H 2 ,..., H n – образующих полную

группу событий, называемых гипотезами, то вероятность события A вы-

n

числяется по формуле полной вероятности P(A) = ∑P(Hi ) ×P(A / Hi ) .

i=1

Пример. Продукция трех фабрик ювелирных изделий поступает на продажу в магазин. Вероятность брака на первой фабрике равна 0,2, на второй и третьей фабриках – 0,1. Какова вероятность покупки одного небракованного изделия в магазине, если 30% всей продукции в магазине изготовлено на первой фабрике, 50% – на второй, 20% – на третьей?

Решение. Обозначим событие А = «купленное изделие не имеет брака». Рассмотрим гипотезы: H1 = «купленное изделие изготовлено на первой фабрике», H2 = «купленное изделие изготовлено на второй фабрике», H3 = «купленное изделие изготовлено на третьей фабрике».

Гипотезы H1 , H 2 , H3 являются несовместными событиями, а их сумма – достоверное событие, следовательно, они образуют полную группу собы-

	тий, их вероятности равны P(H1 ) =		30%	= 0,3; P(H 2 ) = 0,5; P(H3 ) = 0,2.
		100%

Проверка: P(H1 ) + P(H 2 ) + P(H3 ) =1.

После наступления каждого из событий H1 , H 2 , H3 определяем вероятность наступления события А, т.е. P(A / Hi ) . Событие «изделие не имеет

брака, если оно изготовлено на первой фабрике» является противоположным событию «изделие первой фабрики с браком», вероятность которого известна по условию задачи и равна 0,2, значит, P(A / H1 ) =1−0,2 = 0,8 . Аналогично P( A / H 2 ) =1 − 0,1 = 0,9; P(A / H3 ) = 0,9 . Тогда по теореме 5 вероятность покупки в магазине одного небракованного изделия равна

P(A) = 0,3×0,8 +0,5×0,9 +0,2×0,9 = 0,87 .

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является так называемая теорема гипотез или формула Байеса.

Теорема 6 (формула Байеса). Пусть имеется полная группа несовместных событий H1 , H 2 ,..., H n . Вероятности этих гипотез до опыта известны и

равны соответственно P(H1 ), P(H 2 ),..., P(H n ) . Произведен опыт, в результате

которого наблюдалось появление некоторого события А. Тогда условная вероятность гипотезы Hi при условии, что А наступило, находится по

формуле:

2. План-конспект лекционного курса	179

= P(H )×P(A/ H ) , P(Hi / A) i P(A) i

где P(A) – полная вероятность события A .

Пример. Из 18 стрелков пятеро попадают в мишень в 80% случаев, семеро – промахиваются в 30% случаев, четверо попадают с вероятностью 0,6, двое – промахиваются с вероятностью 0,5. Произвольно взятый стрелок промахнулся. К какой из четырех групп он принадлежит вероятнее всего?

Решение. Рассматриваемый опыт – выстрел произвольно взятого стрелка. Гипотезы:

H1 – стрелок взят из первой группы; H2 – стрелок взят из второй группы; H3 – стрелок взят из третьей группы; H4 – стрелок взят из четвер-

той группы. Тогда вероятность принадлежности произвольного стрелка какой-либо группе равна:

P(H1 ) =	5	= 0,278; P(H 2 ) =		7	= 0,389;	P(H3 ) =	4	= 0,222;	P(H 4 ) =	2	= 0,111.
			18
18						18			18
Проверка правильности выдвижения гипотез: P(H1 ) + P(H2 ) +P(H3 ) +P(H4 ) =1.
Обозначим событие A –			промах стрелка. Тогда, по условию, вероят-

ность попадания произвольного спортсмена, принадлежащего конкретной группе стрелков, равна:

P(A / H1 ) =	100% −80%		= 0,2;	P(A / H 2 ) =		30%	= 0,3;
	100%				100%
P(A / H3 ) =1 − 0,6 = 0,4;				P( A / H 4 ) = 0,5.

По формуле полной вероятности:

P(A) = 0,278×0,2 +0,389×0,3 +0,222×0,4 +0,111×0,5 = 0,3166 .

А вероятность того, что произвольно взятый стрелок промахнулся, для каждой группы спортсменов равна по формуле Байеса:

	P(H1 / A) =	0,278×0,2	= 0,176;	P(H 2 / A) =	0,389 ×0,3		= 0,369;
		0,3166			0,3166
	P(H3 / A) =	0,222 ×0,4	= 0,280;	P(H 4 / A) =		0,111×0,5	= 0,175.
		0,3166			0,3166

Судя по (наибольшей) величине полученной вероятности, промахнувшийся стрелок принадлежит второй группе спортсменов.

3. Величина, которая в результате опыта может принимать различные значения, называется случайной величиной. Случайные величины обычно обозначают X ,Y , Z,U ,... Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретной случайной величиной называется величина, множество значений которой конечно или счетно. Законом распределения дискретной случайной величины X называется соответствие между возможными зна-

180 Информатика и математика

чениями случайной величины хi и вероятностями pi = P(X = xi ) , с которы-

ми она принимает эти значения. Закон распределения дискретной случайной величины может быть представлен в виде ряда распределения:

X

x1

x2

…

xn

p

p1

p2

…

pn

При этом выполняется равенство:

n

∑pi =1.

i=1

Функцией распределения случайной величины X

называется:

F(x) = P(X < x) .

Если дискретные значения случайной величины расположены в по-

рядке возрастания х1 , х2 ,..., хn , то F(x) можно задать в виде:

0,

если

x ≤ x ,

1

p1 ,

если

x1

< x ≤ x2 ,

p + p

,

если

x

< x ≤ x

,

2

2

(2)

F(x) =

1

3

......................................

+ p2 +... + pn−1 ,

если

xn−1 < x ≤ xn ,

p1

1,

если

x > x

.

n

Свойства функции распределения дискретной случайной величины:

•функция F(x) определена на всей числовой оси, кусочно-постоянна (ступенчатая) и имеет конечное число точек разрыва первого рода;

•функция F(x) является неубывающей функцией своего аргумента,

т.е. при x1 < x2	F(x1 ) ≤ F(x2 ) ;
• lim F(x) = 0,		lim F(x) =1.
x→−∞		x→∞

Математическим ожиданием случайной величины X называют ее среднее значение и обозначают M (X ) . Для дискретной случайной величины математическое ожидание находится по формуле:

n

M (X ) = ∑xi pi .

i=1

M (X ) характеризует центр распределения случайной величины. К ха-

рактеристикам рассеяния отдельных значений случайной величины относительно центра относятся дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

2. План-конспект лекционного курса	181
Модой случайной величины X	называется наиболее вероятное ее зна-
чение.

Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины X от своего математического ожидания, т.е.:

D(X ) = M (X − M (X ))2 .

Для дискретной случайной величины наиболее удобная формула вычисления следующая:

			n
		D(X ) = ∑xi2 pi − (M ( X ))2 .
			i=1
Средним квадратическим отклонением случайной величины X назы-
вается величина:			σ(X ) = D(X ) .
Пример.	Дискретная случайная величина				X задана в виде таблицы
значений:
Х	–3		–1		7	12
p	0,2		0,3		0,4

Найти значение вероятности p4 и записать закон распределения случайной величины. Составить функцию распределения случайной величины X , построить ее график, найти основные числовые характеристики. Вычислить вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше, чем 3.

Решение. В таблице значений случайной величины				отсутствует веро-
ятность принятия случайной величиной X значения 12.				Найдем неизвест-
ную вероятность p4 = P(X =12) , используя свойство вероятности (1):
4
∑pi =1		p1 + p2 + p3 + p4 =1

i=1

p4 =1−( p1 + p2 + p3 ) =1−(0,2 + 0,3 + 0,4) =1−0,9 = 0,1.

Теперь можно составить закон распределения случайной величины X в виде ряда распределения:

X	–3		–1			7		12
P	0,2		0,3			0,4		0,1
По формуле (2) составим функцию распределения X :
			0,	если х ≤ −3;
				если −3 < x ≤ −1;
		0,2,
				если		−1 < x ≤ 7;
	F (x) = 0,5,
			0,9,	если		7 < x ≤12;
			1,	если		x >12.

182	Информатика и математика

К основным числовым характеристикам относятся математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода. Найдем эти числовые характеристики:

4

M (X ) = ∑xi × pi = x1 p1 + x2 p2 + x3 p3 + x4 p4 =

i=1

= (−3)×0,2 +(−1)×0,3 +7×0,4 +12×0,1 = −0,6 −0,3 + 2,8 +1,2 = 3,1 .

Mo(X ) = 7 , так как именно для этого значения случайной величины наибольшая вероятность.

4

D(X ) = ∑xi2 pi −(M (X ))2 = (−0,3)2 ×0,2 +(−1)2 ×0,3 +72 ×0,4 +122 ×0,1−(3,1)2 =

i=

=0,018 + 0,3 +19,6 +14,4 −9,61 = 24,708 ,

σ(X ) = D(X ) = 24,708 = 4,971.

Определим вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше, чем 3, т.е. P(X < 3) . Так как случайная величинаX дискретна, принимает только значения {-3;1;7;12}, а среди них только

{–3;1} меньше, чем 3, то

P(X < 3) = P(X = −3 или X =1) = P(X = −3) + P(X =1) = 0,2 + 0,3 = 0,5.

Случайная величина называется непрерывной, если существует неотрицательная функция f (x) такая, что при любых х функцию распределения случайной величины Х можно представить в виде:

F (x) = P(X < x) = ∫x	f (t)dt,	x,t R.
−∞
Свойства функции распределения F(x)		непрерывной случайной вели-

чины (н.с.в.):

•функция F(x) определена, непрерывна и кусочнодифференцируема на всей числовой прямой;

•функция F(x) является неубывающей функцией своего аргумента,

т.е. при x1 < x2 выполняется		F(x1 ) ≤ F(x2 ) ;
•	значения функции принадлежат отрезку [0,1]
		0 ≤ F(x) ≤1 и
	lim F(x) = 0, lim F(x) =1.
	x→−∞	x→+∞
Плотностью распределения непрерывной случайной величины Х на-
зывается первая производная функции распределения:
		′
		f (x) = F (x) .
Свойства плотности распределения:
•	плотность распределения неотрицательна, т.е. f (x) ≥ 0 ;

2. План-конспект лекционного курса	183

• несобственный интеграл от плотности распределения по всей чи-

словой прямой равен единице: +∞∫ f (x)dx =1

−∞

(геометрически это свойство означает, что площадь бесконечной фигуры, ограниченнойплотностьюраспределенияиосьюОХ, конечнаиравнаединице).

Непрерывная случайная величина считается заданной, если задана ее функция распределения или плотность распределения вероятностей. При этом функция распределения F(x) называется интегральным законом рас-

пределения, а плотность распределения f (x) – дифференциальным законом распределения.

Вероятность того, что случайная величина Х примет значения из интервала (α, β), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной

функцией f(x), осью ОХ, прямыми х =α, х = β , и находится по формуле

P(α < X < β) = F(β) − F(α)	или
β
P(α < X < β) = ∫ f (x)dx .
α

Так как вероятность принять конкретное значение для непрерывной случайной величины равна нулю – P( X = x0 ) = 0 , то интервал для возможных зна-

ченийнепрерывнойслучайнойвеличиныХможетбытьизамкнутым, т.е.

P(α < X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α < X ≤ β) = P(α ≤ X ≤ β) .

4. Средним значением или математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х называется значение интеграла:

M (x) = +∞∫xf (x)dx .

−∞

Дисперсией непрерывной случайной величины Х называется значение интеграла:

+∞	+∞
D(X ) = M (X − M (X ))2 = ∫(x − M (X ))2 f (x)dx = ∫x2 f (x)dx − (M (X ))2 .
−∞	−∞

Средним квадратическим отклонением непрерывной случайной вели-

чины Х называется величина:

σ(Х) = D(X ) .

Модой непрерывной случайной величины М0 ( Х) называется такое

значение этой величины, плотность вероятности которого максимальна. Медианой непрерывной случайной величины Me(X ) называется такое

ее значение, при котором выполняется равенство P(X < Me) = P(X > Me) = 12 .

184 Информатика и математика

Пример. Непрерывная случайная величина

Х

задана функцией рас-

пределения:

0,

если

х ≤1,

F(x) =

1

×(х2 + х−2),

если

1 ≤ х ≤ 4,

18

1,

если

х ≥ 4.

Необходимо найти

плотность

распределения

f (x) , математическое

ожидание М(Х) и дисперсию D(X )

непрерывной случайной величины, оп-

ределить вероятности попадания в интервалы:

P(2 < X ≤12),

P(X < 3), P(X ≥ 0) .

Решение. Плотность распределения равна производной функции рас-

пределения, т.е.:

0,

если х <1,

f (x) =

′

1

×(2x +1),

если

1 < x < 4,

=

F (x)

18

0,

если

х > 4.

Математическое ожидание и дисперсию вычислим, разбивая интервал интегрирования в соответствии с интервалами задания плотности распределения:

M (X ) = +∞∫x × f (x)dx = ∫1 x ×0dx + ∫4 x ×																															1				×(2x +1)dx + +∞∫x ×0dx = 0 +
																													18
					−∞												−∞						1																												4
	1		4			2										1					x	3					x	2					4				1											64							16					1			2		1				11			.
			∫(2x				+ x)dx +0
+														=				× 2		×				+										=							× 2×											+							−			×		+				=
	18		1													18					3						2						1				18												3							2				18			3			2			4
D(X ) = +∞∫x2 × f (x)dx −(M (X ))2 = ∫1 x2 ×0dx + ∫4 x2 ×																																																1			×(2x +1)dx + +∞∫x2 ×0dx −
																																														18
					−∞																			−∞																	1																					4
	11			2				1		4															121									1										x	4						x		3				4		121
														3				2
										∫(2x					+ x				)dx
−					= 0 +															+0 −											=						×				2		×					+										−				=
								18																	16									18										4								3							16
	4									1																																															1
	1						256				64					1			2		1						121									33						121							11					.
=			×		2×				+					−				×		+					−									=						−						=
	18						4					3				18					3						16										4						16						16
																			4
Тогда среднее квадратическое отклонение																																																σ(X ) =											D(X ) =							11		=			11		.
																																																																	16				4

Определим вероятности попадания случайной величины Х в интервал, достраиваяпринеобходимостиинтервалдостандартноговидасдвумяграницами:

	P(2 < X ≤12) = P(2 < X <12) = F (12) − F (2) =1				−		1	×(22 + 2 −2) =1− 2					=	7	,
						18								9
												9
	P(X < 3) = P(−∞ < X < 3) = F (3) − F (−∞) =		1	×	(32 +3 −2) −0				=	10	=	5 ,
		18								18
												9

2. План-конспект лекционного курса							185
P(X ≥ 0) = P(0 ≤ X < +∞) = P(0 < X < +∞) = F (+∞) − F(0) =1−						1	×(2 ×02 +
					18
	2		10
+ 0 − 2) =1 +		=		.
18		9

Некоторые виды распределения дискретных случайных величин. Распределения Бернулли, Пуассона и геометрическое распределение

1. Биномиальное распределение (распределение Бернулли).

Рассмотрим схему, состоящую из n независимых повторных испытаний Бернулли. Некоторое событие A появляется в каждом отдельном опыте с вероятностью p и не появляется с вероятностью q =1− p . Случайная величина X – число появлений события A в серии опытов. Тогда X распределена по биномиальному закону и подчиняется формуле Бернулли:

P(X = k) = Cnk pk qn−k .

Для биномиального закона M (X ) = np, D(X ) = npq, σ(X ) = npq .

Пример. Игральная кость брошена два раза. Составить закон распределения числа выпадений цифры 5. Показать, что M (X ) = np. Найти

P(X > 0,5) .

Решение. Рассмотрим серию из двух одинаковых независимых опытов: выбрасывание игральной кости. При каждом броске событие A – появление

цифры 5 – встречается с вероятностью 16 . Обозначим случайную величину

X – число выпадений цифры 5 в серии опытов. Тогда случайная величинаX распределена по биномиальному закону, ее возможные значения – 0,1,2.

	P(X = 0) = p1	0		p	0		q		2				5	2			=			25			,
		= C2									=									36
													6
	P( X =1) = p2	= C21 p1q1 =										2!				×	1			×		5	=				10	,
																	6
											1!×1!									6					36
		2				2				0			1	2						1
	P(X = 2) = p3	= C2		p				q			=						=							.
																				36
													6
	Получим закон распределения случайной величины X :																																				2
	X															0													1
	P															25														10							1
														36															36					36
	Найдем числовые характеристики случайной величины X :
											3																			1
		M (X ) = ∑xi pi = 0× 25																							+1×10 + 2×						= 12	= 1 .
										i=1										36					36				36		36	3
	С другой	стороны,											np = 2×										1			= 1 , что			и		подтверждает						формулу
M (X ) = np.																							6		3
Определим вероятность P(X >0,5) =P(X =1 или X =2) =P(X =1)+P(X =2) =																																		10	+		1		=	11	.
																																					36
																																		36						36

186	Информатика и математика

2. Распределение Пуассона.

Если в схеме повторных испытаний Бернулли n велико ( n → ∞), а p малó̀( p → 0 ) (обычно np ≤10 ), то имеет место асимптотическая формула

Пуассона Pn (m) ≈ e−a am , где a = np – параметр распределения Пуассона. m!

Иногда в задачах сообщается заранее, что дискретная случайная величина X распределена по закону Пуассона. Это означает, что дискретная случайная величина принимает только целые значения 0, 1, 2,… и подчиняется закону Пуассона:

P(X = k) = ak e−a .

(3)

k!

Для дискретной случайной величины подчиняющейся закону Пуассо-

на, M (X ) = a, D(X ) = a, σ(X ) = a .

Пример. Завод изготавливает 5000 доброкачественных изделий и отправляет их потребителю. Вероятность порчи изделий в пути 0,002. Найти дисперсию числа испорченных изделий у потребителя. Какова вероятность того, что испорченных изделий будет меньше трех?

Решение. Обозначим X – число испорченных изделий, полученных от завода-изготовителя в партии из 5000 изделий ( n = 5000). Тогда случайная величина X дискретна и (теоретически) может принять любое целое зна-

чение от 0, 1, 2,… до 5000.

Проверка на качество каждого изделия приводит нас к схеме Бернулли. Для каждого отдельного изделия вероятность быть испорченным в пути p = 0,002 и остаться качественным q =1− p = 0,998 . В силу того, что n велико, а p мало̀, получаем, что случайная величина X подчиняется закону Пуассона (3) с параметром a = np = 5000 ×0,002 =10 , тогда ее закон распреде-

ления имеет вид

P(X = k) =

10k

e−10

, а ряд распределения имеет вид:

k!

X

0

1

2

…

k

…

5000

P

e−10

10e−10

50e−10

…

10

k

e−10

…

10

5000

e−10

k!

5000!

Дисперсия числа испорченных изделий D(X ) = a =10 , и количество испорченных изделий вероятнее всего принадлежит интервалу (0;20).

Вероятность того, что испорченных изделий будет больше двух, находим с помощью противоположного события по формуле:

P(X < 3) = P(X = 0 или X =1 или X = 2) = P(X = 0) + P(X =1) + P(X = 2) = = e−10 +10e−10 + 50e−10 = 61e−10 = 61×0,00004 = 0,00244 .

3. Геометрическое распределение.

Рассмотрим неограниченные испытания Бернулли. Обозначим X – порядковый номер испытания, в котором событие А впервые наступило. Вероятность наступления и ненаступления события А в каждом отдельном

2. План-конспект лекционного курса	187

опыте равна соответственно p и q . Тогда закон распределения дискретной случайной величины называется геометрическим распределением и имеет вид:

P(X = k) = qk −1 p

(k =1,2,3,...) .

Числовые характеристики геометрического распределения:

M (X ) =	1	, D(X ) =	q	,	σ(X ) =	q	.
	p		p2
						p

Пример. Стрелок стреляет по мишени до первого попадания. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. Построить ряд распределения для числа выстрелов. Найти основные числовые характеристики. Определить вероятность того, что прозвучит не менее трех выстрелов.

Решение. Рассмотрим серию выстрелов (их число теоретически неограниченно), при каждом отдельном выстреле событие А – поражение мишени происходит с вероятностью p = 0,7 и не происходит с вероятностью

q =1− p = 0,3 . Обозначим

X –число прозвучавших выстрелов.

Очевидно,

что X принимает значения 1, 2 и т.д., случайная величина X распределена

по геометрическому закону:

P(X = k) = qk−1 p = (0,3)k−1 ×0,7

(k =1,2,3,...) .

Тогда

P(X =1) = (0,3)0 ×0,7 = 0,7,

P(X = 2) = (0,3)1 ×0,7 = 0,21,

P(X = 3) = (0,3)2 ×0,7 = 0,063,...

P( X = k) = (0,3)k−1 ×0,7,... ,

а ряд распределения имеет вид:

X

1

2

3

…

k

…

P

0,7

0,21

0,063

…

(0,3)k −1 0,7

…

Основные числовые характеристики будут равны

M (X ) =

0,3

=

3

,

D(X ) =

0,3

=

30

,

σ(X ) =

30

=

30

.

0,7

7

(0,7)2

49

49

7

Вероятность

того,

что

прозвучит не менее

трех

выстрелов:

P(X ≥ 3) =1− P(X < 3) =1− (P(X =1) + P(X = 2)) =1− (0,7 + 0,21) = 0,09 .

Нормальное

распределение

непрерывной

случайной

величины

(распределение Гаусса)

называется нор-

Распределение непрерывной случайной величины X

мальным, если плотность вероятности имеет вид:

1

×е−

( х−а)2

,

f (x) =

2σ 2

σ

2π

где

а, σ

–

параметры

нормального

распределения,

а = М(Х), σ =σ(Х) = D(X ) .

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (или кривой Гаусса).

Свойства кривой f (x) :

• функция определена и положительна на всей числовой прямой;

188 Информатика и математика

•	ось ОХ является асимптотой графика и lim f (x) = 0 ;
	x→±∞
•	функция возрастает при x < a , убывает при x > a , точка x = a яв-
ляется точкой максимума функции;
•	график функции симметричен относительно прямой x = a ;
•	точки x = a ±σ являются точками перегиба функции.

Функция распределения для нормального закона имеет вид:

1

x

(t −a)2

F(x) =

∫e−

dt .

2σ 2

σ

2π −∞

попадет в интервал

Вероятность того, что случайная величина

X

(α; β), находится по формуле:

β − a

α − a

,

P(α < X < β) = Φ

− Φ

σ

σ

1

х

t 2

где значения функции Лапласа

Φ(x) =

∫e−

dt .

2

2π

0

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной нормально распределенной величины X от своего математического ожидания M (X ) = a меньше положительного числа δ , равна:

	P(		X − a					< δ )=	δ
									2Φ ,
									σ
и, в частности, при a = 0 справедливо равенство:
	P(				X				δ
						< δ )= 2Φ .
									σ
Числовые характеристики нормального распределения: математиче-
ское ожидание M (X ) = a ,	дисперсия								D(X ) = σ 2 , среднее квадратическое
отклонение σ(X ) = σ , мода	Mo = a , медиана Me = a .

Для нормального распределения выполняется «Правило трех сигм»:

Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения, т.е.:

P(X − a < 3σ )≈1 или P(X − a ≥ 3σ )≈ 0 .

Пример. Аппарат штампует корпус для настенных часов. Контролируется случайная величина X – диаметр корпуса, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектный диаметр), равным 50 см, и средним квадратическим отклонением 2 см. Записать функцию плотности вероятности распределения, построить ее график и определить вероятность того, что случайная величина X примет значение из интервала

(47; 54).

Решение. Итак, для нормально распределенной случайной величины X – диаметр корпуса часов, M (X ) = a = 50 , σ(X ) = σ = 2 , тогда плотность

2. План-конспект лекционного курса	189

нормального распределения с параметрами a = 50, σ = 2 примет вид:

1

e−

( x−50)2

f (x) =

.

8

2π

2

Вероятность попадания случайной величины X в интервал (47; 54):

54 −50

47 −50

= Φ(2) − Φ(−1,5) .

P(47 <

X < 54) = Φ

− Φ

2

2

По таблице значений функции Лапласа находим Φ(2) = 0,4772, Φ(1,5) = 0,4332 , учитывая, что функция Лапласа является нечетной, т.е. Φ(−1,5) = −Φ(1,5) = −0,4332 , получаем

P(47 < X < 54) = 0,4772 − (−0,4332) = 0,9104 .

Подробнее см.: 1.

ТЕМА 14

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Основные вопросы темы

1.Генеральная совокупность.

2.Выборочное исследование.

3.Статистические гипотезы.

1.В юридической практике важную роль играет математическая статистика, умение правильно обрабатывать информацию, сделать достоверный вывод или прогноз на основании имеющегося статистического материала. Ценность специалиста юриспруденции существенно возрастет, если он умеет делать это.

Генеральная совокупность – все множество имеющихся объектов. Выборка – набор объектов, случайно отобранных из генеральной со-

вокупности.

Объем генеральной совокупности N и объем выборки n – число объек-

тов в рассматриваемой совокупности.

Виды выборки: повторная – каждый отобранный объект перед выбором следующего возвращается в генеральную совокупность; бесповторная – отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

Замечание. Для того чтобы по исследованию выборки можно было сделать выводы о поведении интересующего нас признака генеральной совокупности, нужно, чтобы выборка правильно представляла пропорции генеральной совокупности, т.е. была репрезентативной (представительной). Учитывая закон больших чисел, можно утверждать, что это условие выполняется, если каждый объект выбран случайно, причем для любого объекта вероятность попасть в выборку одинакова.

Пусть интересующая нас случайная величина Х принимает в выборке

k

значение х1 п1 раз, х2 – п2 раз, …, хk – пk раз, причем ∑nk = n, где п – объем

i=1

190	Информатика и математика

выборки. Тогда наблюдаемые значения случайной величины х1, х2,…, хk называют вариантами, а п1, п2,…, пk – частотами. Если разделить каждую

частоту на объем выборки, то получим относительные частоты wi = nni .

Последовательность вариант, записанных в порядке возрастания, называют вариационным рядом, а перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот – статистическим рядом:

xi	x1	x2	…	xk
ni	n1	n2	…	nk
wi	w1	w2	…	wk

Пример. При проведении 20 серий из 10 бросков игральной кости число выпадений шести очков оказалось равным

1,1,4,0,1,2,1,2,2,0,5,3,3,1,0,2,2,3,4,1. Составим вариационный ряд: 0,1,2,3,4,5.

Статистический ряд для абсолютных и относительных частот имеет вид:

xi	0	1	2	3	4	5
						1
ni	3	6	5	3	2
						0,05
wi	0,15	0,3	0,25	0,15	0,1

Если исследуется некоторый непрерывный признак, то вариационный ряд может состоять из очень большого количества чисел. В этом случае удобнее использовать группированную выборку. Для ее получения интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько равных частичных интервалов длиной h, а затем находят для каждого частичного интервала ni – сумму частот вариант, попавших в i-й интервал. Составленная по этим результатам таблица называется группи-

рованным статистическим рядом:

Номера интервалов	1	2	…	k
Границы	(a, a + h)	(a + h, a + 2h)	…	(b – h,
интервалов				b)
Сумма частот	n1	n2		nk
вариант, попавших в			…
интервал

Полигон и гистограмма

Для наглядного представления о поведении исследуемой случайной величины в выборке можно строить различные графики. Один из них – полигон частот: ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами

2. План-конспект лекционного курса	191

(x1, n1), (x2, n2),…, (xk, nk), где xi откладываются на оси абсцисс, а ni – на оси ординат. Если на оси ординат откладывать не абсолютные (ni), а относи-

тельные (wi) частоты, то получим полигон относительных частот. По аналогии с функцией распределения случайной величины можно задать некоторую функцию, относительную частоту события X < x.

2. Выборочной (эмпирической) функцией распределения называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X < x. Таким образом:

F * (x) = nnx ,

где пх – число вариант, меньших х; п – объем выборки.

Замечание. В отличие от эмпирической функции распределения, найденной опытным путем, функцию распределения F(x) генеральной сово-

купности называют теоретической функцией распределения. F(x) опреде-

ляет вероятность события X < x, а F*(x) – его относительную частоту. При достаточно больших п, как следует из теоремы Бернулли, F*(x) стремится по вероятности к F(x).

Из определения эмпирической функции распределения видно, что ее свойства совпадают со свойствами F(x), а именно:

•0 ≤ F*(x) ≤ 1;

•F*(x) – неубывающая функция;

•если х1 – наименьшая варианта, то F*(x) = 0 при х≤ х1; если хк – наибольшая варианта, то F*(x) = 1 при х > хк .

Для непрерывного признака графической иллюстрацией служит гистограмма, т.е. ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высотами – от-

резки длиной ni /h (гистограмма частот) или wi /h (гистограмма относительных частот). В первом случае площадь гистограммы равна объему выборки, во втором – единице (см. рис. 14).

ni

h

Рис. 14. Гистограмма частот

Характеристики генеральной совокупности. Выборочные средняя и дисперсия

Для оценких х математического ожиданиях исследуемой случайной вели-

1 2

чины генеральной совокупности служит выборочное среднее. Для оценки рассеяния значений генеральной совокупности служат выборочные дис-

192	Информатика и математика

персия и среднее квадратическое отклонение, а также исправленная дисперсия и исправленное среднее квадратическое отклонение.

Выборочным средним называется среднее арифметическое значений случайной величины, принимаемых в выборке:

	хВ	=	х1 + х2 +... + хп	=	n1 x1 + n2 x2 +... + nk xk
			п		n

где xi – варианты, ni – частоты.

Выборочной дисперсией называется

		n		k
	DB =	∑(xi − xB )2		∑ni (xi − xB )2
		i=1	=	i=1
		n		n

k

∑ni xi

=	i=1		,
		n

,

а выборочным средним квадратическим отклонением σВ =

DB .

Справедлива также следующая формула для вычисления выборочной

дисперсии:

D =

x2

−(x)2 .

Пример 1. Найдем числовые характеристики выборки, заданной ста-

тистическим рядом:

7

xi

2

5

8

ni

3

8

7

2

хВ =

2 ×3 + 5×8 + 7 ×7 +8×2

= 5,55;

DB =

4 ×3 + 25×8 + 49 ×7 + 64 ×2

−5,552 = 3,3475;

20

20

σB = 3,3475 =1,83.

Другими характеристиками вариационного ряда являются:

• мода М0 – варианта, имеющая наибольшую частоту (в предыдущем примере М0 = 5);

• медиана те – варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Если число вариант нечетно ( n =

2k + 1 ), то me = xk+1, а при четном n =2k те = xk + xk +1 . В частности,

2

в примере 1 me =	5 +	7	= 6.
	2

Получив статистические оценки параметров распределения (выборочное среднее, выборочную дисперсию и т.д.), нужно убедиться, что они в достаточной степени служат приближением соответствующих характеристик генеральной совокупности. Определим требования, которые должны при этом выполняться.

Пусть Θ* – статистическая оценка неизвестного параметра Θ теоретического распределения. Извлечем из генеральной совокупности несколько выборок одного и того же объема п и вычислим для каждой из них оценку параметра Θ: Θ1* , Θ*2 ,..., Θ*k . Тогда оценку Θ* можно рассматривать как слу-

2. План-конспект лекционного курса	193

чайную величину, принимающую возможные значения Θ1* , Θ*2 ,..., Θ*k . Если

математическое ожидание Θ* не равно оцениваемому параметру, мы будем получать при вычислении оценок систематические ошибки одного знака (с избытком, если М( Θ*) >Θ, и с недостатком, если М(Θ*) < Θ). Следователь-

но, необходимым условием отсутствия систематических ошибок является требование М(Θ*) = Θ.

Статистическая оценка Θ* называется несмещенной, если ее матема-

тическое ожидание равно оцениваемому параметру Θ при любом объеме выборки: М(Θ*) = Θ.

Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Однако несмещенность не является достаточным условием хорошего приближения к истинному значению оцениваемого параметра. Если при этом возможные значения Θ* могут значительно отклоняться от среднего значения, т.е. дисперсия Θ* велика, то значение, найденное по данным одной выборки, может значительно отличаться от оцениваемого параметра. Следовательно, требуется наложить ограничения на дисперсию.

Статистическая оценка называется эффективной, если она при заданном объеме выборки п имеет наименьшую возможную дисперсию.

При рассмотрении выборок большого объема к статистическим оценкам предъявляется еще и требование состоятельности.

Состоятельной называется статистическая оценка, которая при п→∞ стремится по вероятности к оцениваемому параметру (если эта оценка несмещенная, то она будет состоятельной, если при п→∞ ее дисперсия стремится к 0).

Выборочное среднее является не только несмещенной, но и состоятельной оценкой математического ожидания. В отличие от выборочного среднего выборочная дисперсия является смещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности. Можно предложить другую оценку дисперсии –

исправленную дисперсию s², вычисляемую по формуле:

					k
	s2 =	n		DB =	∑ni (xi − xB )2	.
					i=1
		n −1			n −1

Такая оценка будет являться несмещенной. Ей соответствует исправ-

ленное среднее квадратическое отклонение

k

∑ni (xi − xB )2

s = s2 =	i=1		.
		n −1

3. При обработке статистического материала всегда возникает вопрос: насколько точно полученные результаты отражают реальную ситуацию? Поскольку статистическому обследованию подвергается не вся совокупность объектов (генеральная совокупность), а только ее часть (вы-

194	Информатика и математика

борка), то любое суждение о генеральной совокупности, сделанное на основании выборки, является приближенным, или, лучше сказать, предположительным. Такие предположения называются статистическими гипоте-

зами.

Поставленный выше вопрос можно сформулировать так: насколько можно доверять статистической гипотезе? Покажем, какой ответ на этот вопрос содержится в теории вероятностей.

Пример. В городском управлении внутренних дел обработали данные о карманных кражах в общественном транспорте в течение года. Среднее число краж составило 12,1 в день. В то же время среднее число краж за ноябрь оказалось 11,9 при среднем квадратическом отклонении S = 0,64. Можно ли считать, что данные за ноябрь занижены по сравнению с данными за год?

Пусть гипотеза состоит в том, что разница между средними несущественна, т.е. она зависит в основном от каких-то случайных факторов, влиянием которых можно пренебречь. Влияние этих факторов мы оценим величиной 5%. По-другому можно сказать, что уровень нашего доверия к гипотезе составляет 95%. Пользуясь терминологией теории вероятностей,

мы скажем, что доверительная вероятность р равна 0,95.

Нам нужно сравнить отклонение средних а = 12,1 – 11,9 = 0,2 с так называемым критическим отклонением k, которое находят из равенства:

k = Stn , Ф(t) = 2p ,

где Ф, как и выше, – функция Лапласа. В нашем примере 2p = 0,475, п –

число наблюдений в ноябре – равно числу дней, т.е. п = 30.

Как видно из таблицы, Ф(2) = 0,4772 ≈ 0,475, следовательно, приближенно можно считать, что t = 2.

Так как S = 0,64, n = 30 = 5,48, то

k =	0,64×	2	= 0,23 .
	5,48

Критическое отклонение получилось больше, чем отклонение средних – 0,2. Следовательно, гипотеза принимается, т.е. при уровне доверия 95% данные за ноябрь можно считать незаниженными.

Примечание. Если число наблюдений п меньше 30, то вместо функции Лапласа Ф пользуются другой функцией, которая дает более точные результаты.

Подробнее см.: 1.

ТЕМА 15

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Основные вопросы темы

1. Алгебра высказываний. Формулы.

2. План-конспект лекционного курса	195

2. Формулы логики предикатов.

Важную роль при исследовании юридических проблемных ситуаций играет алгебра логики, где применимы методы многозначной и двухзначной логики, а также мощный аппарат математической логики.

1. Основным объектом изучения алгебры высказываний, алгебры логики или Булевой алгебры являются высказывания.

Будем понимать под высказыванием такое утверждение, о котором можно сказать: истинно оно или ложно. Когда суждение, являющееся содержанием какого-либо высказывания, истинно, то и высказывание истинно, и наоборот, если суждение ложно, то и высказывание ложно. В традиционном исчислении высказываний исследуются высказывания, которые или истинны или ложны, и ни одно высказывание не может быть истинным и ложным одновременно.

Например:

•20 > 5;

•Москва – столица России;

•Берлин – один из крупнейших городов Франции;

•Сколько Вам лет? – это не высказывание.

Любое высказывание будем рассматривать с точки зрения их истинности или ложности (их логического значения).

В логике высказываний применяется искусственный язык, с помощью которого обозначаются высказывания, формулируются законы логики данной дисциплины и частные правила действий с высказываниями. Каждое высказывание мы будем обозначать заглавными латинскими буквами, и определим формальные правила обращения с высказываниями. Считая, что если А = 0 , то высказывание ложно, и наоборот. Однозначность построения формул и определения порядка действий будем достигать использованием скобок () – это технические знаки.

Высказывание, обозначенное с помощью одной какой-либо буквы латинского алфавита, будем называть элементарным или атомарным высказыванием. Оно рассматривается как неразложимая единица, т.е. никакое другое высказывание не входит в него в качестве его части.

Единственное свойство элементарного высказывания, изучаемое в алгебре логики, – это его истинностное значение. Никакого другого конкретного содержания элементарное высказывание не имеет.

Заметим, что выражения типа: «В том году был хороший урожай хлебов» и «Целое число n является простым» не могут считаться высказываниями, поскольку о них нельзя сказать, истинны они или ложны.