Завдання по лабораторній з вишки

Лабораторная работа №1

Дії з матрицями та визначники в середовищі MatLab

Практичне заняття проводиться після вивчення тем «Матриці. Дії над ними», «Визначники n-го порядку».

Мета заняття:

-закріплення теоретичних знань з матричної алгебри;

-вироблення у студентів навичок розв’язання задач матричної алгебри за допомогою середовища MatLab;

-аналіз та осмислення отриманих результатів.

Завдання:
	Визначити в середовищі MatLab матриці A та B розміром 3 3 .
1.	Визначити в середовищі MatLab вектор W як вектор-стовбець.
2.	Обчислити матриці A	B ; A	B ; 3A.
3.	Обчислити матрицю C	AB	BA.

4. Обчислити матрицю A2 та матрицю, що складається з квадратів відповідних елементів матриці A. Порівняти результати.

5.	Перевірити рівність	A B T	BT	AT .
6.	Обчислити вектор-стовпець V , який дорівнює добутку вектора W
та матриці C .
7.	Обчислити вектор Q	5V	3W .

8.Обчислити визначник матриці C .

9.Поміняти місцями перший та другий стовпчики матриці C .

Обчислити визначник отриманої матриці C1. Порівняти визначники матриць C та C1.

10. Елементи другого рядка матриці C помножити на 2 . Обчислити визначник отриманої матриці C2 . Порівняти визначники матриць C та C2 .

11.Порівняти визначники матриць C та CT .

12.Перевірити, чи існує обернена матриця до матриці A, і, якщо існує, знайти її і вивести результат у командне вікно так, щоб елементи оберненої матриці були представлені у вигляді звичайних дробів.

13.Якщо обернена матриця була обчислена, довести, що отриманий результат правильний.

18

Теоретичні відомості з функцій системи MatLab, які можуть бути застосовані для роботи з матрицями при розв’язанні задач курсу "Математика для економістів"

В середовищі MatLab існує дуже велика кількість функцій для розв’язання різноманітних задач лінійної алгебри. У таблиці 2.1 наведені деякі основні функції, що використовуються для роботи з матрицями при розв’язанні задач лінійної алгебри курсу "Математика для економістів".

Таблиця 2.1.

Функції MatLab, що використовуються для розв’язання задач

	матричної алгебри.
Функція			Опис
1			2
	Визначення матриці розміру m n . Рядки відокремлюються
	крапкою з комою, а елементи кожного рядка відокремлюються
	знаком пробелу. Наприклад:
A=[a11 a12 … a1n;…;	>>A=[1 -3 2; 4 3 8; -2 6 1]
am1 am2 … amn]	A =
	1	-3	2
	4	3	8
	-2	6	1
	>>B=[-1;2;6]
	B =
	-1
	2
	6
	Транспонування матриці, яка визначається змінною A.
	Наприклад, стовпець можна визначити як транспонований
	рядок:
	>>B=[-1 2 6]
	B =
A'(апостроф)	-1	2	6
	>>B=B’
	B =
	-1
	2
	6
	Визначається сума двох матриць, які визначені змінними A1 і
A1+A2	A2 (матриці повинні мати однаковий розмір). Наприклад:
	>>A1=[3 4;1 -2;0 -7]

19

	A1 =
	3		4
	1		-2
	0		-7
	>>A2=[2 -5;-9 -6; 8 5]
	A2 =
	2		-5
	-9		-6
	8		5
	>>A1+A2 % сума матриць
	ans =
	5		-1
	-8		-8
	8		-2
	Лінійна комбінація матриці, які визначені змінними A1 і A2
	(матриці повинні мати однаковий розмір),				a і b – це числа.
	Наприклад:
a*A1 b*A2	>>3*A1-2*A2
	ans =
	5		22
	21		6
	-16	-31
	Якщо f(x) – це елементарна функція, то означена операція
	приводить до обчислення матриці того ж розміру, що і матриця
	A, кожний елемент якої дорівнює значенню елементарної
	функції від відповідного елемента матриці				A. Наприклад:
	>>sin(A1)
	ans =
f(A)	0.1411			-0.7568
	0.8415			-0.9093
		0		-0.6570
	>>exp(B)
	ans =
	0.3679
	7.3891
	403.4288
	Поелементний добуток матриць, які визначені матрицями A і
	C. Результатом є матриця того ж розміру, що і матриці A і C.
	Наприклад:
A.*C	>>C=[2 1 0;3 1 3;4 -2 -7];
	>>A.*C
	ans =
	2		-3	0

20

	12		3	24
	-8	-12		-7
	Матриці повинні бути одного розміру, інакше буде помилка,
	наприклад:
	>>A.*B
	??? Error using ==> times
	Matrix dimensions must agree.
	Поелементне ділення матриць, які визначені матрицями A і C.
	Результатом є матриця того ж розміру, що і матриці A і C.
	Наприклад:
	>>C=[2 1 0;3 1 3;4 -2 -7];
	>>A./C
A./C	Warning: Divide by zero.
	ans =
	0.5000			-3.0000	Inf
	1.3333			3.0000	2.6667
	-0.5000			-3.0000	0.1429
	Матриці повинні бути одного розміру.
	Кожен елемент матриці, яка визначена змінною A
	підноситься до степеня a.
	>>A.^2%піднесення до степеня 2
	ans =
	1		9	4
	16		9	64
A.^a	4		36	1
	Операція може бути застосована до будь якої прямокутної
	матриці:
	>>A1.^2 % A1-прямокутна матриця
	ans =
	9		16
	1		4
	0		49
	Звичайний добуток матриць, які визначені матрицями A і C.
	Розміри матриць повинні бути узгодженні (кількість стовпців
	першої матриці - множника повинна дорівнювати кількості
	рядків другої матрицімножника). Наприклад:
	>>A*C
A*C	ans =
	1		-6	-23
	49		-9	-47
	18		2	11
	Якщо розміри не узгоджені видається повідомлення про
	помилку:
	>>A1*A2

21

	??? Error using ==> mtimes
	Inner matrix dimensions must agree.
	>>A1*A2’		%розміри узгоджені – результат
			%є добуток матриці A1 та
			%транспонованої матриці A2
	ans =
	-14		-51	44
	12		3	-2
	35		42	-35
	Піднесення матриці, яка визначена змінною A, до степеня
A^n	n(матриця повинна бути квадратною).
	>>A^2 %піднесення до степеня 2
	ans =
	-15		0	-20
	0		45	40
	20		30	45
	Визначення розміру матриці, яка визначена
	змінною A. Наприклад:
	>>size(A)
size(A)	ans =
	3		3
	>>size(B)
	ans =
	3		1
	Звернення до елементу матриці, яка
	визначена		змінною		A, який	розташований в	i-му
	рядку та j-му стовпцю. Наприклад:
	>>A(2,3)
A(i,j)	ans =
	8
	>>B(1)
	ans =
	-1
	Звернення		до	елементів		матриці,	яка
	визначена		змінною		A, які розташовані в i-му рядку
	або j-му стовпцеві. Наприклад:
A(i,:),A(:,j)	>>A(2,:)%2-й рядок
	ans =
	4	3	8
	>>A(:,1)%1-й стовпець
	ans =

22

	1
	4
	-2
	Обчислення визначника (!)квадратної матриці, яка визначена
	змінною A. Наприклад:
det(A)	>>det(A)
	ans =
	75
	Створення прямокутну матриці розміру m				n ,що складається
	з нулів. Наприклад:
	>>zeros(2,3)
zeros(m,n)	ans =
	0	0	0
	0	0	0
	Створення прямокутну матриці розміру m				n ,що складається
	з одиниць. Наприклад:
	>>ones(2,3)
ones(m,n)	ans =
	1	1	1
	1	1	1
	Створення квадратної матриці, у якої на діагоналі стоять
	елементи вектора, що визначається змінною B, а інші
	елементи дорівнюють 0. Наприклад:
	>>diag(B)
diag(B)	ans =
	-1	0	0
	0	2	0
	0	0	6
	Створення одиничної матриці розміру n				n . Наприклад:
	>>eye(3) %
	ans =
eye(n)	1	0	0
	0	1	0
	0	0	1
	Обчислення зворотної матриці,			для матриці, що визначена
	змінною A (визначник повинен не дорівнювати нулю).
	>>inv(A)
	ans =
inv(A)	-0.6000		0.2000	0.4000
	-0.2667		0.0667		0
	0.4000		0	0.2000
prod(x)	Обчислення добутку елементів вектора. Наприклад:
	>>x=[1 3 -3 2 -5 1 8]

23

	x =
	1	3	-3	2	-5	1	8
	>>prod(x)
	ans =
	720
	Обчислення суми елементів вектора:
	>>sum(x)
sum(x)	ans =
	7
	Знаходження мінімального елементу вектора:
	>>min(x)
min(x)	ans =
	-5
	Знаходження максимального елементу вектора:
	>>max(x)
max(x)	ans =
	8
	Сортування елементів вектора за зростанням:
	>>sort(x)
	ans =
	-5	-3	1	1	2	3	8
sort(x)	Для сортування за спаданням,					можна використати наступну
	команду:
	>>-sort(-x)
	ans =
	8	3	2	1	1	-3	-5
	Знаходження середнього значення елементів вектора:
	>>mean(x)
mean(x)	ans =
	1

Приклад виконання завдання

Продемонструємо роботу наведених у табл. 2.1 функцій та операцій для виконання завдання цієї практичної роботи при заданих матрицях A, B і векторі W :

3	1	0	4	5	6
A 6	13	1 ; B	1	0	1 ; W 5 8 0
1	2	1	1	1	2

1. Визначити в середовищі MatLab матриці A та B розміром 3 3 .

>>A=[3 1 0;6 13 1;1 2 1];%визначення матриці А

>>B=[4 5 6;1 0 -1;-1 -1 2];%визначення матриці B

24

>> A, B
A =
3	1	0
6	13	1
1	2	1
B =
4	5	6
1	0	-1
1	-1	2

2.Визначити в середовищі MatLab вектор W як вектор-стовбець.

>>W=[5;-8;0]%визначення вектора-стовпця W

W = 5 8 0

3. Обчислити A B ; A B ; 3A.

>> A+B % обчислення А+В, результат виводиться на екран ans =

7	6	6
7	13	0
0	1	3
>> A-B % обчислення А-В, результат виводиться на екран
ans =
1	-4	-6
5	13	2
2	3	-1

>> -3*A % обчислення -3А, результат виводиться на екран ans =

9	-3	0
18	-39	-3
3	-6	-3

4. Обчислити матрицю C AB BA.

>> C=A*B-B*A %обчислення C=AB-BA, результат виводиться на екран

C =

35	-66	6
34	30	26
12	14	5

Таким чином, дійсно демонструємо, що для матриць AB BA.

5. Обчислити A2 та матрицю, що складається з квадратів відповідних елементів матриці A. Порівняти результати.

>> A*A %обчислення квадрата матриці А

25

ans =
15	16	1
97	177	14
16	29	3

>>A.^2 %обчислення матриці, що складається з квадратів відповідних

	%елементів матриці А.
ans =
9	1	0
36	169	1
1	4	1

Зазначимо, що в результаті отримано дві різні матриці. A2 - це результат множення матриці A самої на себе, а не піднесення кожного елементу до квадрата.

6. Перевірити рівність A B T BT AT .

>> (A*B)’ %обчислення добутку двох матриць та його транспонування

ans =
13	36	5
15	29	4
17	25	6
>> B’*A’ %обчислення добутку транспонованих матриць
ans =
13	36	5
15	29	4
17	25	6
В	результаті	отримали матриці, що співпадають, отже рівність

дійсно виконується.

7. Обчислити вектор-стовбець V , який дорівнює добутку вектора W та матриці C .

>> V=C*W %обчислення вектора V V =

353

70

52

8. Обчислити вектор Q 5V 3W .

>> Q=5*V-3*W

Q=

1750

326

260

26

Дійсно, елемент q1 5 v1 3 w1 5 353 3 5 5 350 1750 , і

подібні рівності виконуються для другого та третього елементів.

9.Обчислити визначник матриці C .

>>det(C)

ans = -1186

10. Поміняти місцями перший та другий стовпчики матриці C . Обчислити визначник отриманої матриці C1. Порівняти визначники матриць C та C1.

>> C1=C;C1(:,1)=C(:,2);C1(:,2)=C(:,1)% поміняно стовпчики місцями C1 =

66	-35	6
30	34	26
14	12	5
>> C % у командне вікно виведено матрицю С
C =
35	-66	6
34	30	26
12	14	5

>> det(C1) % обчислимо визначник матриці С1 ans =

1186

Зазначимо, що від перестановки сусідніх стовпчиків визначник змінює знак на протилежний.

11. Елементи другого рядка матриці C помножити на 2 . Обчислити визначник отриманої матриці C2 . Порівняти визначники матриць C та C2 .

>> C2=C;C2(2,:)=C2(2,:).*2 % помножено елементи 2-го рядка на 2 C2 =

35	-66	6
68	60	52
12	14	5

>>det(C2) ans =

2372

>>2*det(C) ans =

2372

27