Mikro_ch6

Общее равновесие и общественное благосостояние.	123

∂V1/∂Ex1 = Ey1 + 2 − λPx = 0; ∂V1/∂Ey1 = Ex1 + 83 − λPy = 0; ∂V1/∂λ = − ( PxE x1 + Py Ey1) = 0.

Решаем систему уравнений и получаем функции избыточного спроса для индивида 1:

λ = (Ех1 + 83)/Py = (Ey1 + 2)/Px;

− Ex1P1 − Ey1P2 = 0;

Ey1Py + 2Py = Ех1Px + 83Px;

Ex1 = − Ey1Py/Px;

Ey1 = (Ех1Px + 83Px − 2Py)/Py;

Ex1 = − (Ех1Px + 83Px − 2Py)/Px;

Ex1 = Py/Px − 41.5;

Ey1 = 41.5 Px / Py − 1.

Таким образом, избыточный спрос представлен как функции от соотношения цен. Увеличение Px относительно Py уменьшит Ex1 и увеличит Ey1. Увеличение Py относительно

Px увеличит Ex1 и уменьшит Ey1.

Аналогичным образом поступаем с функцией полезности индивида 2.

В итоге решения новой системы уравнений получаем следующие функции избыточного спроса для индивида 2:

		Ex2 = 84 Py /Px − 1;
		Ey2 = Px		/Py − 84.
В соответствии с требованиями «очищения» рынка мож-
но записать:			= 85 Py /Px − 42.5 = 0;
Ех	= Ex1	+ Ex2
Ey	= Ey1	+ Ey2	= 42.5 Px / Py − 85 = 0.
При решении первого из уравнений имеем Py/Px = 0.5, а при
решении второго — Px /Py			= 2, что, как видно, одно и то же.
Подставляем соотношения цен в индивидуальные фун-
кции избыточного спроса и получаем:
Ex1 = − 41;		Ex2 = 82;		Ey1 = 41;	Ey2 = − 82.
Индивид 1 отдает 41 единицу блага X индивиду 2 в
обмен на 82 единицы блага Y.
Следовательно, парето-эффективная комбинация благ:
X1= 37;		X2 = 41;		Y1 = 82;	Y2 = 82.

124	Часть VI.
Решение задачи № 6

6.1. Фиксируем полезность индивида 1 и составляем

соответствующее уравнение Лагранжа:

L = U (X ,Y) + λ[U (X ,Y) – U

] = X2/3 Y

1/3

+ λ[X1/3Y2/3

−U

].

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

Поскольку то, что получает индивид 2, не получает

индивид 1, и наоборот, то, следовательно

X2

= 1000 − X1;

Y2

= 1000 − Y1.

В результате уравнение Лагранжа становится функцией

только двух переменных — X1 и Y1:

L = (1000 − X )2/3 (1000 − Y)1/3

+ λ[X1/3 Y2/3

– U

].

1

1

1

1

1

Условия максимума первого порядка

∂L

= −

1

1000 − Y

2/3

+

2λ

Y

1/3

= 0 ;

1

1

∂X1

3

1000

3

− X1

X1

∂L

= −

2

1000 − X

1/3

+

λ

X

2/3

= 0.

1

1

∂Y2

3

1000 − Y1

3

Y1

Перенося члены с λ в правую часть и производя деление

верхних уравнений на нижние, получаем:

1

1000 − Y

Y

1

=

2

1

,

X1

или

2

1000 − X1

X1

=

4Y1

,

1000 − X

1000 − Y

1

1

что представляет условие эффективности в обмене (равенство

MRS1XY и MRS2XY ).

Теперь можно заполнить таблицу и по значениям X1 и Y1 (или X2 и Y2) построить контрактную кривую (см. рис. 6.1).

6.2. В результате указанного размещения благ индивиды 1 и 2 получают по 500 единиц полезности каждый (точка S в коробке Эджуорта). На контрактной кривой можно найти такую точку (точка О в коробке Эджуорта), где, например,

X1 = 660, Y1 = 327; X2 = 340, Y2 = 673. В этом случае U1 = 522 и U2 = 536.

Общее равновесие и общественное благосостояние.	125

Рис. 6.1. Коробка Эджуорта для «экономики обмена» и контрактная кривая

	1	=	∂U1 /∂X1		=	2Y1	2	=	∂U2 /∂X2		=	Y2
6.3.	MRSXY		∂U /∂Y				и MRSXY		∂U /∂Y				.
						X						2X
			1	1		1			2	2		2

Индивид 1, таким образом, готов отдавать Y за X, а индивид 2 — наоборот. На рис. 6.1 видно, что при перемещении из точки S в точку А приобретает больше X и меньше Y, а индивид 2 — наоборот.

126	Часть VI.
Решение задачи № 7

7.1. Строим квадрат со сторонами 21×21 (рис. 7.1). 7.2. Из условий задачи находим U10 = 3600 и U20 = 16 200.

Легко представить кривые безразличия индивидов 1 и 2,

например, через X1	и X2.
Y1 = 3600/X1;		Y2 = 16 200/X2
Задавая различные значения X1 и X2 в интервале от 0
до 210, можно получить соответствующие им значения Y1
и Y2. Например, X1	= 40, Y1	= 90; X1	= 50, Y1	= 72; X1	= 60,
Y1 = 60; X1 = 80, Y1	= 45; X1	= 90, Y1	= 40; X1	= 100, Y1	= 36.

По данным точкам можно построить кривую безразличия для индивида 1 (U10). Аналогичным образом строится кривая безразличия для индивида 2 (U20) .

Рис. 7.1. Коробка Эджуорта: общее равновесие и паретоэффективность

7.3. Область внутри кривых безразличия индивидов, включая сами кривые от одной точки их пересечения до другой (см. заштрихованную область на рис. 7.1).

Общее равновесие и общественное благосостояние.	127

7.4. Для нахождения уравнения контрактной кривой надо помнить, что в любой точке этой кривой имеет место эффективность в обмене, т. е. MRS1XY = MRS2XY .

1

MUX

∂UX /∂X

Y1

MRSXY

=

=

∂U /∂Y

=

;

MU

X

Y

Y

1

MRS2

=

MUX

=

∂UX /∂X

=

Y2

.

∂U /∂Y

XY

MU

X

Y

Y

2

Далее можно записать следующую систему уравнений:

Y1

=

Y2

;

X

X

1

2

X + X = 210;

1

2

X + X = 210

Отсюда получаем:

1

2

X1(210 − Y1)

Y =

X1Y2

Y =

1

X2

1

(210 − X1)

210 Y1 − X1Y1 = 210 X1 − X1Y1 X1 = Y1

Получили уравнение контрактной кривой (на рис. 6.1 − диагональ квадрата, представляющего коробку Эджуорта).

Аналогичный результат получился бы, если бы записали выражение не для Y1, а для Y2. Контрактная кривая также представляла бы диагональ квадрата (уравнение X2 = Y2).

7.5. Найдем координаты точек, в которых кривые безразличия индивидов 1 и 2, проходящие через точку изначального размещения благ, пересекают контрактную кривую.

Для этого составим следующую систему уравнений:

	X = Y ;
		1	1
			3600
	Y =			.
		1	X1

Получаем Y12 = 3600 Y1 = 60, X1 = 60.

Аналогично:	X = Y ;
		2		2
			=		16 200
	Y					.
		2			X2

− 2λ = 0 X1 = 2λ;

128	Часть VI.
	Отсюда Y2 = 127.3, X2 = 127.3.

7.6. Индивид 1 максимизирует свою полезность при наличии бюджетного ограничения. Используем метод Лагранжа.

L = U1(X1,Y1) + λ(I1 − PX X1 − PY Y1),

где I1 — бюджет индивида 1. Он находится умножением

цен на количество соответствующих благ у индивида 1 при изначальном их размещении. Таким образом: I1 = 1 ∙ 30 +

+ 2 ∙ 120 = 270. ∂L = ∂U1 − λ = 0 Y1 = λ;

∂X1 ∂X1

∂L = ∂U1

∂Y1 ∂Y1

∂∂λL = 270 − X1 − 2Y1 = 0 4λ = 270 λ = 67.5. Отсюда: Y1 = 67.5; X1 = 135.

Индивид 2 также максимизирует свою полезность при наличии бюджетного ограничения. Используем метод Лагранжа.

количество соответствующих благ у индивида 2 при изначальном
их размещении. Таким образом: I2 = 1 ∙ 180 + 2 ∙ 90 = 360.
				∂L		= ∂U2 − λ = 0 Y = λ;
				∂X2
						∂X2
							2
			∂L		=	∂U2 − 2λ = 0 X = 2λ;
			∂Y2			∂Y2	2
	∂L	= 360 − X − 2Y = 0 4λ = 360 λ = 90.
	∂λ					2	2
Отсюда: Y2 = 90; X2							= 180.
В итоге получаем X1							+ X2 = 257.5 и Y1 + Y2 = 157.5. Таким
образом, благо X окажется в дефиците, а благо Y — в избытке.
Заказанная комбинация благ не будет эффективной, так
		L = U2(X2,Y2) + λ(I2 − PX X2 − PYY2),
где I2 — бюджет индивида 2. Он находится умножением цен на

как не лежит на контрактной кривой. Уравнение контрактной кривой X1 = Y1 (X2 = Y2) предполагает, что количество единиц блага X в распоряжении любого из индивидов должно быть равно находящемуся в его же распоряжении количеству единиц блага Y.

Общее равновесие и общественное благосостояние.	129
7.7. Проводим аналогичные расчеты при PX	= 2.
Индивид 1 максимизирует свою полезность при наличии
бюджетного ограничения. Используем метод Лагранжа.

L = U1(X1,Y1) + λ(I1 − PX X1 − PY Y1),

где I1 — бюджет индивида 1. Он находится умножением цен на

количество соответствующих благ у индивида 1 при изначальном
их размещении. Таким образом: I1 = 2 ∙ 30 + 2 ∙ 120 = 300.
				∂L		=	∂U1	−2λ = 0 Y = 2λ;
				∂X			∂X
								1
				∂L1		=	∂U11− 2λ = 0 X = 2λ;
			∂Y1
							∂Y1	1
	∂L	= 300 − 2X − 2Y = 0 300 = 4X .
	∂λ
							1	1	1

Отсюда: X1 = 75, Y1 = 75.

Индивид 2 также максимизирует свою полезность при наличии бюджетного ограничения. Используем метод Лагранжа.

L = U2(X2,Y2) + λ(I2 − PX X2 − PYY2),

где I2 — бюджет индивида 2. Он находится умножением цен на

количество соответствующих благ у индивида 2 при изначальном
их размещении. Таким образом: I2 = 2 ∙ 180 + 2 ∙ 90 = 540.
				∂L		=	∂U2	− 2λ = 0	Y = 2λ;
				∂X			∂X
									2
				∂L2		=	∂U22− 2λ = 0 X = 2λ;
			∂Y2
							∂Y2		2
	∂L	= 540 − 2X − 2Y = 0 4X = 540.
	∂λ						2	2	2
Отсюда: X2 = 135, Y2								= 135.
В итоге получаем X1								+ X2 = 210 и Y1 + Y2 = 210. Таким

образом, нет ни избытка, ни дефицита. Рынок «расчищается», и обеспечивается общее экономическое равновесие. Одновременно заказанные комбинации благ находятся на контрактной кривой, следовательно, достигается парето-эф- фективная комбинация благ.

В последнем легко убедиться, обратившись к условию эффективности в обмене:

130 Часть VI.

1

MUX

Y1

2

MUX

Y2

MRSXY

=

=

= MRSXY

=

=

= 1.

MU

X

MU

X

Y

1

Y

2

Это равенство MRS1XY и MRS2XY

на рис. 7.1 представлено

в точке касания кривых безразличия U* и U* .

1

2

При ценах, заданных «секретарем рынка» в п. 7.7:

1

1

P*

X

MRSXY

= MRSXY =

= 1 = p*,

P*

P*

Y

где

X

= p * — относительная равновесная цена. На рис.

P*

Y

7.1 луч, представляющий эту цену, проходит через точку

касания кривых безразличия U*

и U* .

1

2

7.8. U* = 75 ∙ 75 = 5625; U*

= 135 ∙ 135 = 18 225. При

1

2

изначальном размещении благ U0 = 3600, U0

= 16 200.

1

2

Отсюда: ∆U1 = 5625 − 3600 = 2025; ∆U2 = 18 225 – 16 200 =

= 2025. Очевидно, что это изменение является парето-улуч- шением (оба индивида повысили свое благосостояние).

Суммарная полезность индивидов в п. 7.7 составляет U1* + U2* = 23 850. Суммарная полезность в исходном состоянии U10 + U20 = 19 800. Следовательно, общий прирост полезности ∆U = 23 850 – 19 800 = 4050.

Полезность, полученная в п. 7.7, отвечает парето-эффек- тивному состоянию «экономики обмена». Это означит, что ее нельзя повысить за счет изменения размещения благ.

Решение задачи № 8

8.1. Находим, что

1

MUX

∂UX /∂X

Y1

MRSXY

=

=

∂U /∂Y

=

;

MU

X

Y

Y

1

MRS2

=

MUX

=

∂UX /∂X

=

Y2

.

MU

∂U /∂Y

XY

X

Y

Y

2

Условие парето-эффективности:

10 − Y1

MRS1XY = MRS2XY

Y1

=

Y2

Y1

=

.

X1

X1

X2

10 − X1

Общее равновесие и общественное благосостояние.	131

После перемножения получаем:

10Y1 − Y1X1 = 10X1 – X1Y1 X1 = Y1.

Отсюда: U1 = X10.5X10.5 = X1 U1 = 10 − X2.

Аналогично можно показать, что U2 = X2. В результате получаем уравнение границы возможных полезностей:

U1 = 10 − U2

Эта граница представлена на рис. 8.1

Рис. 8.1. Граница возможных полезностей

8.2. U10 = 20.5 20.5 = 2; U20 = 80.5 80.5 = 8.

Легко догадаться, что уравнение контрактной кривой

есть X1 = Y1, или, что то же самое, X2 = Y2.

См. рис. 8.2. Диагональ квадрата (коробки Эджуорта) 0102 есть контрактная кривая. Точка А — точка изначального размещения благ.

	1	2		Y1		Y2		PX		*
8.3.	MRSXY	= MRSXY	=		=		=		= p		= 1.
				X		X		P
				1		2		Y

Следовательно, относительная равновесная цена (p*) есть

любой луч, пересекающий контрактную кривую под прямым углом. На рис. 8.2 эти лучи проведены через точку А и точку желаемого «секретарем рынка» размещения (точку В), где индивид 1 имеет X1 = 6, Y1 = 6; индивид 2, в свою очередь, обладает X2 = 4, Y2 = 4. Исходя из заданных нам функций полезностей индивидов можно заметить, что в точке В U1 = 6, U2 = 4 (что и нужно «секретарю рынка»).

132	Часть VI.

Используя рис. 8.2, нетрудно заметить, что для достижения нового распределения полезностей между индивидами «секретарю рынка» надо передать индивиду 2 от индивида 1 либо 8 единиц Y1, либо 8 единиц X1. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно из точки А провести прямые горизонтальную и вертикальную линии до соединения с лучом, представляющим относительную равновесную цену и пересекающему под прямым углом контрактную кривую в точке В. После указанного перераспределения относительная равновесная цена (р*) обеспечит автоматический переход в точку В — к желаемому «секретарем рынка» распределению полезностей.

Рис. 8.2. Коробка Эджуорта и перераспределение

Решение задачи № 9

9.1.См. рис. 9.1.

9.2.a) Точка I не является точкой оптимума, так как она не является точкой касания изоквант. Напротив, изокванты

X1 и Y3 пересекаются в точке I. В точках касания изоквант соблюдается условие парето-эффективности для производства

|(MRTSXLK = MRTSYLK ).

б) 22.5 + 25 = 47.5. Отсюда ∆K = 70 − 47.5 = 22.5 50LY отвечает 10LX. Следовательно, ∆L = 55 − 10 = 45.