Mikro_ch6

Общее равновесие и общественное благосостояние.	133

	MRTSX	=	∆K	=	22.5	= 0.5.
			∆L		45
	LK
	9.3. Соединяем указанные точки кривой (см. рис. 9.1).
	9.4. а) См. рис. 9.2.

б)См.рис.9.2.КоординатыточкиI(X1 = 40,Y1 = 30).НахождениевточкеIозначаетнеэффективность,посколькуонанаходится слева от кривой продуктовой трансформации (границы производственныхвозможностей).Приимеющихсявданнойэкономике ресурсах можно достичь более высокого объема выпуска.

в) См. рис. 9.2. Нет, не будет. Переход из точки I в точку F сокращает выпуск блага X. Поэтому, несмотря на то что он переводит экономику из неэффективного состояния

вэффективное, парето-улучшения не происходит.

9.5.MRSXY = MRPTXY = ∆∆XY = 100125 = 0.8.

9.6.Нет, не обеспечат: MRPTXY = PX PX = 4. Отсюда PX = 3.2. PY 4 5

Рис. 9.1. Коробка Эджуорта для производства

134	Часть VI.

Рис. 9.2. Кривая продуктовой трансформации

Решение задачи № 10

10.1.

MRTSX

=

KX

;

MRTSY

=

KY

;

L

LK

LK

L

X

Y

KX

=

2KY

;

L

L

KX

2(100 − KX )

X

Y

=

200K

= 200L − L K

LX

200 − LX

X

X X

X

LX(200

− KX) = 200KX.

Отсюда

200KX

L

=

.

X

200 − K

X

Определяем значения LX при KX = 0, 25, 50, 75 и 100 По имеющимся в условии задачи данным строим короб-

ку Эджуорта для производства, проводим в ней диагональ и по данным таблицы строим контрактную кривую для производства.

Общее равновесие и общественное благосостояние.	135

10.2. Производство блага X капиталоинтенсивно, так как

KX > KT , где KT и LT — общие количества капитала и труда. В

LX LT

коробке Эджуорта этот факт отражен расположением вогнутой контрактной кривой для производства выше диагонали.

Капиталоинтенсивность производства блага X вдвое выше

капиталоинтенсивности производства блага Y. В этом легко

убедиться, рассчитав соответствующие значения LY и KY (см.

таблицу) и сопоставив

KX

и

KY

в любых точках (кроме

LX

LY

крайних). Например,

75

:

25

= 2.

120

80

Решение задачи № 11

11.1. Преобразуем уравнение кривой продуктовой транс-

формации:

9Y2 = 100 − X2;

Y2 =

100 − X2

;

9

Y = 13 (100 − X2)0.5.

Теперь находим предельную норму продуктовой транс-

формации:

MRPTXY = dXdY = 16(100− X2)−0.5(−2X) = − X3 (100− X2)−0.5. 11.2. Для вогнутой по отношению к началу координат

кривой продуктовой трансформации должны соблюдаться

условия: dY < 0; d2Y > 0. dX dX2

136					Часть VI.
	d2Y	=	1	(100 − X2)−1.5	> 0,
	dX2		6

так как по условиям задачи X < 10 во всех точках кривой, кроме точки ее соединения с осью 0Y.

Кривая продуктовой трансформации вогнута, если а) имеет место убывающая отдача от масштаба в производстве обоих благ; б) если нарушается допущение об однородности факторов (например, один из факторов производства имеет убывающую производительность в производстве какого-либо блага); в) при допущении об однородности факторов и постоянной отдаче от масштаба выпуск благ требует использования факторов в различных пропорциях (например, производство одного блага — трудоинтенсивное, другого — капиталоин-

тенсивное, скажем, KX < KY ).

LX LY

11.3.− X3 (100 − X2)−0.5 = − 74;

		X2	(100 − X2)−1 =				16	(100 − X2)−1	=	144
	9					49				49X2
	100 − X2 =			49X2		193X2 = 14 400			X* = 8.64;
				144

Y* = 13 (100 − X2)0.5 = 13 (100 − 8.642)0.5 = 1.68.

Решение задачи № 12

12.1 Выражаем LX и LY через X и Y соответственно и получаем уравнение для кривой продуктовой трансформации:

X2 + 4Y2 = 100.

Крайние точки данной кривой: X = 10, Y = 0; X = 0, Y = 5. Затем находим общий дифференциал данного уравнения:

2XdX + 8YdY = 0,

или

− dXdY = MRPTXY = 4XY .

Общее равновесие и общественное благосостояние.	137

12.2 Условия оптимума (парето-эффективности) предпо-

лагают, что MRPTXY = MRSXY.

MRS

=

MUX

=

Y

.

XY

MU

X

Следовательно,

Y

X

Y

=

;

4Y

X

X2 = 4Y2;

X2 + 4Y2 = 2X2 = 10.

В результате получаем:

X* = 50 = 7.07;

Y*

=

12.5

= 3.535.

Общественная полезность:

U= 7.07 3.535 ≈ 5.66.

12.3.Поскольку:

=

Y*

=

P*

= MRPT ,

MRS

X

XY

X*

P*

следовательно:

XY

Y

P*

=

12.5

=

1

X

.

PY*

2

50

Таким образом, предложенные «аукционистом» цены

обеспечат парето-эффективность.

Ценность выпуска составит

P*X*

+ P*Y = 1 7.07 + 2 3.535 = 14.14.

X

Y

12.4. В таком случае из уравнения X2 + 4Y2 = 100 полу-

чаем, что Y2 = 9 Y = 3. При таких значениях:

U =

8 3 ≈ 4.9;

P*X*

+ P*Y = 1 8 + 2 3 = 14.0.

X

Y

Легко заметить, что в результате отклонения от паретоэффективной комбинации благ общественная полезность и ценность выпуска снизились.

12.5. От подготовки к войне ресурсов не прибавляется, следовательно, граница производственных возможностей и MRPTXY остаются прежними. С ростом «оборонного сознания» меняется только MRSXY.

MRSXY = MUX = 3Y .

MUY X

138									Часть VI.
Отсюда:
	X	=		3Y			;		12Y2 = X2.
	4Y			X
Следовательно:
		12Y2 + 4Y2 = 100;
	Y*	= 2.5;							X* = 8.66.
Соотношение цен:
			P*					X
				X	=				= 0.866.
								4Y
			P*
			Y

Оно говорит нам о росте относительной цены пушки

(если раньше 1 пушка стоила 0.5 одной единицы масла, то теперь приблизительно 7/8 той же единицы масла).

Определим занятость до возникновения напряженности между страной Дураков и страной Баранов. Из условий задачи

находим, что L

= X2; L = 0.5Y2. Из полученных в п. 6.2 зна-

X

Y

чений X*, Y* получаем L

≈ 50, L ≈ 6.25. В условиях подготовки

к войне LW ≈ 75,

LW

≈

X

Y

6.25. Таким образом, изменение заня-

X

Y

тости в производстве пушек ∆LX

= 75 − 50 = 25, а изменение

занятости в производстве масла

∆LY = 6.25 − 12.5 = −6.25.

12.6. Теперь MRS

=

Y

. Отсюда:

XY

3X

X

=

Y

;

4Y2 = 3X2.

4Y

3X

Следовательно:

X2 + 3X2 = 100;

X*

= 5;

Y* ≈ 4.33;

P*

=

X

≈ 0.289.

X

P*

4Y

Y

Очевидно, что цена пушки относительно единицы масла

ниже, чем в предыдущих ситуациях (0.289 < 0.5 < 0.866). В условиях долгосрочного мира занятость распределяется следующим образом: LРX = 25, LРY ≈ 18.75. Таким образом, изменение занятости в производстве пушек ∆LX = 25 − − 75 = −50, а изменение занятости в производстве масла

∆LY = 18.75 − 6.25 = 12.5.

Общее равновесие и общественное благосостояние.	139

Решение задачи № 13

13.1.См. ответ на вопрос 13.6.

13.2.UA = 200, UB = 0.

13.3.Оптимальные значения UA и UB находятся в точке пересечения луча, выходящего под углом 45о из начала

координат (его уравнение UA = UB), с границей возможных полезностей (UA + 2UB = 200). Совместное решение этих двух уравнений дает нам UA = 662/3, UB = 662/3.

13.4.Заметим, что UA + UB достигает максимума в пределах области достижимых полезностей тогда, когда она соединяется с границей возможных полезностей в точке ницшеанского оптимума. Следовательно, UA = 200, UB = 0.

13.5.«Творец политики» находит следующее решение:

L = UА0.5 UB0.5 + λ(200 −UA − 2UB);

∂L

= 0.5

U0.5

− λ = 0 λ = 0.5

U0.5

B

B

;

∂U

U0.5

A

U0.5

A

A

∂L

= 0.5

U0.5

− 2λ = 0 2λ = 0.5

U0.5

A

B

;

∂U

B

U0.5

U0.5

B

A

∂L

= 200 −U

− 2U

= 0 U

= 200 − 2U

.

A

B

A

∂λ

B

Отсюда:

U0.5

U0.5

B

= 0.5

A

;

U0.5

U0.5

A

B

U0.5

= 0.5

(200 −U

)0.5

B

B

;

(200 − 2U

)0.5

U0.5

= 200 − 2UB

B

= 200

B

2UB

4UB

UB = 50, UA = 100.

13.6. См. ниже рис. 13.1.

Решение задачи № 14

14.1. «Творец политики» находит следующее решение

L = YA0.5 + YB0.5 + λ(100 − YA − YB);

140	Часть VI.

Рис. 13.1. Социальные оптимумы:

() 1 — ницшеанский и утилитаристский оптимумы, () 2 — роулсианский оптимум, () 3 — оптимум Бернулли–Нэша.

	∂L	=		0.5	− λ = 0		0.5	= λ;
	∂Y			Y0.5			Y0.5
	A			A			A
	∂L	=		0.5	− λ = 0		0.5	= λ.
	∂Y			Y0.5			Y0.5
	B			B			B

Отсюда YA = YB = 50.

14.2. Теперь «творец политики» находит следующее решение

L = Y0.5

+ Y0.5 + λ(100 − 2Y − Y );

∂L

A

B

A

B

=

0.5

− 2λ = 0

0.5

= 2λ

1

= 4λ2

;

∂Y

Y0.5

Y0.5

4Y

A

A

A

A

∂L

=

0.5

− λ = 0

0.5

= λ

1

= λ2.

∂Y

Y0.5

4Y

Y0.5

B

B

B

B

Общее равновесие и общественное благосостояние.	141

Отсюда YB = 4YA YB = 80, YA = 20.

Решение задачи № 15

15.1. Представим функцию общественного благосостоя-

ния как W =

1

y1−e +

1

y1−e. Тогда dW =y−edy +y−edy =0.

1

−e

1−e 1

2

1 1 2 2

Отсюда наклон кривой равного общественного благосостоя-

y

e

dy

= −

ния

2

2

.

dy1

dW=0

y1

y

e

15.2. −

2

= −1 при e = 0, что отвечает утилитарист-

y1

скому критерию.

15.3. Функция Лагранжа для «творца политики»:

L =

1

y1−e

+ y1−e

− λ[y + y −1],

1 − e

1

2

1 2

и тогда условия первого порядка (кроме ресурсного ограничения):

∂∂L = yi−e − λ = 0, i = 1.2. yi

Следовательно, y−e								= y−e , что предполагает y = y . Значе-
				1			2							1		2
ние e в данном случае не влияет на оптимальное решение.
15.4. Теперь функция Лагранжа для «творца политики»
L =			1		y1−e + y1−e					− λ[αy + y −1],
	1
			− e				1		2			1		2
и условия первого порядка:
				∂L				= y−e	− λa = 0;
				∂y1			1
				∂L				= y−e	− λ = 0;
				∂y2			2
				∂L		= 1 − αy − αy = 0.
				∂λ					1			2
Избавляясь от λ, получаем ye												= αye		и y = 1 − αy . Решая
										2		1		2		1
эти уравнения, получаем y									=	1		1			и y =1−	1			.
													e				e
							1			α		1+α		2		1+α
													1−e				1−e

142	Часть VI.

Отсюда можно заключить, что рост α снижает y1 и увеличивает y2, тогда как рост e, напротив, увеличивает y1 и снижает y2. Это можно интерпретировать следующим образом: α измеряет, во что обходится (сколько стоит) перераспределение в пользу индивида 1 (чем выше затраты на него, тем меньше доход индивида). С другой стороны, e измеряет неприятие неравенства «творцом политики»; при α > 1 перераспределение в пользу индивида 1 становится дороже, но неприятие неравенства «творцом политики», напротив, направляет перераспределение в пользу индивида 1. Следовательно, при выработке оптимального решения «творец политики» будет взвешивать затраты на перераспределение, с одной стороны, и «ценность» перераспределения с точки зрения его этических установок — с другой.

Решение задачи № 16

16.1.Набор достижимых аллокаций {(x, y): x + y ≤ 100}.

16.2.Если (x, y) такие, что x + y < 100, то от «пирога» после раздела остается 100 − x − y и это может быть передано Адаму, Еве или же им обоим для увеличения их полезности.

Однако в таком случае раздел пирога не является паретоэффективным. В результаты можно заключить, что {(x, y): x + y = 100} — набор парето-эффективных аллокаций.

16.3.Так как x — это полезность и доход Адама, а y —

полезность и доход Евы, то свобода от зависти предполагает, что x ≥ y и что y ≥ x, а это соблюдается только тогда, когда

x = y. В таком случае набор всех достижимых свободных от зависти аллокаций {(x, y): x = y и x + y ≤ 100}. Следовательно, некоторые свободные от зависти аллокации достижимы, но не являются парето-эффективными.

16.4.Учитывая особые функции полезности, которые линейны по отношению к доходу, предельные полезности дохода обеих индивидов постоянны и равны 1 независимо