- •Численные методы
- •2012 Введение
- •1. Решение нелинейных уравнений
- •Постановка задачи
- •1.2. Основные этапы отыскания решения
- •1.3. Метод половинного деления
- •1.4. Метод простой итерации
- •Приведение уравнения к видудля обеспечения выполнения неравенства
- •1.5. Метод Ньютона (метод касательных)
- •1.6. Видоизменённый метод Ньютона
- •1.7. Метод хорд
- •1.8. Комбинированный метод
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Метод простой итерации
- •2.3. Метод Зейделя
- •3. Решение систем нелинейных уравнений
- •3.1. Постановка задачи
- •3.2. Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений
- •3.3. Метод итерации для нелинейной системы уравнений
- •3.4. Метод скорейшего спуска решения нелинейных систем
- •3.5. Метод скорейшего спуска для случая линейной системы
- •4. Приближение функций
- •4. 1. Метод наименьших квадратов
- •4.2. Построение интерполяционных многочленов
- •Многочлен Лагранжа
- •Многочлен Ньютона с конечными разностями
- •5. Вычисление собственных значений матрицы Методом Данилевского
- •6. Вычисление определённых интегралов. Метод симпсона (метод парабол)
- •7. Численное решение дифференциальных уравнений
- •7.1. Постановка задачи Коши
- •7.2. Метод Эйлера
- •7.3. Модифицированные методы Эйлера
- •7.4. Метод Рунге – Кутта
- •Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка методом прогонки
Приведение уравнения к видудля обеспечения выполнения неравенства
В общем случае получить подходящую итерационную форму возможно, проведя равносильное преобразование исходного уравнения, например, умножив его на коэффициент :. Прибавив затем к обеим частям уравненияи обозначивможно потребовать выполнения достаточного условия. Отсюда определяется необходимое значение. Так как условиедолжно выполняться на всем отрезке, то для выбораследует использовать наибольшее значениена этом отрезке, т.е.
. Это соотношение определяет диапазон значений коэффициента , изменяющий величинув пределах.
Обычно принимают .
На рис. 3–6 показаны четыре случая взаимного расположения линий и и соответствующие итерационные процессы. Рис. 3 и 4 соответствуют случаю, и итерационный процесс сходится. При этом, если(рис. 3), сходимость носит односторонний характер, а если(рис. 4), сходимость носит двусторонний, колебательный характер. Рис. 5 и 6 соответствуют случаю– итерационный процесс расходится. При этом может быть односторонняя (рис. 5) и двусторонняя (рис. 6) расходимость.
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
Погрешность метода. Оценка погрешности была доказана (5).
Критерий окончания. Из оценки (5) следует, что вычисления надо продолжать до выполнения неравенство . Если же, то оценка упрощается:.
Пример 1. Используем метод простой итерации для решения уравнения с точностью . Преобразуем уравнение к виду:
, т. е. .
Нетрудно убедиться, что корень уравнения находится на отрезке . Вычислив значения на концах отрезка, получим: , а, т. е. функция на концах отрезка имеет разные знаки,
поэтому внутри отрезка есть корень. Расположение корня наглядно иллюстрирует рис. 7.
Рис. 7
Подсчитаем первую и вторую производные функции :
.
Так как на отрезке, то производнаямонотонно возрастает на этом отрезке и принимает максимальное значение на правом конце отрезка, т. е. в точке. Поэтому справедлива оценка:
.
Таким образом, условие выполнено, и можно воспользоваться критерием окончания вычислений. В табл. 2 приведены приближения, полученные по расчетной формуле. В качестве начального приближения выбрано значение.
Таблица 2
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
0,8415 |
0,8861 |
0,8712 |
0,8774 |
0,8765 |
Критерий окончания выполняется при ,. Сходимость двусторонняя, качественный характер такой сходимости представлен на рис. 4. Приближенное значение корня с требуемой точностью .
Пример 2. Решить методом простой итерации уравнение на отрезкес точностью 0,025. Для решения исходное уравнение приводится к виду. Для выбора величиныиспользуем приведенную выше формулу . Тогда расчетная формула имеет вид . В качестве начального приближения можно выбрать верхнюю границу заданного отрезка.
|
0 |
1 |
2 |
|
1 |
0,8 |
0,78 |
Так как , то.
1.5. Метод Ньютона (метод касательных)
Метод Ньютона является наиболее эффективным методом решения нелинейных уравнений. Пусть корень , т. е.. Предполагаем, что функциянепрерывна на отрезкеи дважды непрерывно дифференцируема на интервале. Положим. Проведем касательную к графику функции в точке(рис. 8).
Рис. 8
Уравнение касательной будет иметь вид: .
Первое пересечение получим, взяв абсциссу точки пересечения этой касательной с осью , т. е. положив:.
Аналогично поступим с точкой , затем с точкойи т. д., в результате получим последовательность приближений, причем
. (6)
Формула (6) является расчетной формулой метода Ньютона.
Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, для которого .
Сходимость метода. Сходимость метода Ньютона устанавливает следующая теорема.
Теорема. Пусть – простой корень уравненияи в некоторой окрестности этого корня функция дважды непрерывно дифференцируема. Тогда найдется такая малая – окрестность корня, что при произвольном выборе начального приближения из этой окрестности итерационная последовательность, определенная по формуле (6) не выходит за пределы этой окрестности и справедлива оценка:
, (7)
где .
Сходимость метода Ньютона зависит от того, насколько близко к корню выбрано начальное приближение.
Выбор начального приближения. Пусть – отрезок, содержащий корень. Если в качестве начального приближения выбрать тот из концов отрезка, для которого , то итерации (6) сходятся, причем монотонно. Рис. 8 соответствует случаю, когда в качестве начального приближения был выбран правый конец отрезка:(Здесь).
Погрешность метода. Оценка (7) неудобна для практического использования. На практике пользуются следующие оценки погрешности:
. (8)
Критерий окончания. Оценка (8) позволяет сформулировать следующий критерий окончания итераций метода Ньютона. При заданной точности вычисления нужно вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство
.
Пример. Вычислить методом Ньютона отрицательный корень уравнения с точностью до 0,0001. Проведя отделение корня, можно убедиться, что корень локализован на интервале. В этом интервалеи. Так каки, то за начальное приближение можно принять.
|
|
|
|
-11 |
3453 |
-5183 |
0,6662 |
-10,3336 |
307,3 |
4276,8 |
0,0718 |
-10,2618 |
3,496 |
4185,9 |
0,0008 |
-10,261 |
0,1477 |
- |
- |
. Поэтому .