4. Примеры решения задач

4.1. Отражение волны, падающей по направлению нормали, от границы с несовершенным диэлектриком

Условия задачи. Плоская электромагнитная волна частотой 100 МГц падает из вакуума на диэлектрическую плоскость с ε₂ = 4, μ₂ = 1, σ₂ = 0.1 См/м. Определить коэффициенты отражения и прохождения при нормальном падении.

Решение. Для решения задачи о нормальном падении необходимо использовать формулы для перпендикулярной поляризации, положив в них угол падения φ = 0. Так как волна падает из вакуума для расчета модулей и фаз коэффициентов отражения и преломления можно использовать формулы (3.11) - (3.14).

Для правильного выбора наиболее простых формул расчета остальных параметров необходимо определиться с тем, к какому классу - диэлектрикам, полупроводникам или проводникам - относится среда 2. Для этого по формуле (2.1) необходимо рассчитать tg δ:

Этот результат показывает, что вторая среда является полупроводником и для расчета волнового сопротивления необходимо пользоваться общими формулами. Входящие в них действительную и мнимую части волнового сопротивления второй среды определим по формулам (3.8) и (3.9).

Для расчета составляющих волнового сопротивления необходимо по формулам (3.4) и (3.5) определить модуль и аргумент абсолютной диэлектрической проницаемости. Однако мы уже рассчитали tg δ. Поэтому формулу (3.4) необходимо преобразовать, вынеся абсолютную диэлектрическую проницаемость из-под корня и оставив электрическую постоянную вакуума в виде сомножителя. Смысл последнего действия станет понятен позже.

Следующим шагом является расчет модуля волнового сопротивления по формуле (3.7). При этом также необходимо оставить магнитную постоянную в виде сомножителя:

То, что мы оставили постоянные в виде сомножителей, позволило выразить волновое сопротивление второй среды в долях волнового сопротивления вакуума. Это разумно потому, что волновое сопротивление вакуума будет использоваться при вычислении коэффициентов отражения и преломления. Предпринятые действия позволяют избежать необходимости многократного умножения и деления на электрическую и магнитную постоянные.

Далее необходимо рассчитать действительную и мнимую части волнового сопротивления:

Таким образом, данные, необходимые для расчета коэффициентов отражения и прохождения получены. Их модули и аргументы необходимо рассчитать по формулам (2.11) - (2.14). При этом надо учесть, что угол падения φ = 0. Это в соответствии с формулой (2.2) приводит к тому, что и угол прохождения также равен нулю: ψ = 0. То есть косинусы углов φ и ψ равны 1. Кроме того, необходимо учесть тот факт, что Z₁ = Z₀. В результате получим:

Задача решена.

4.2. Отражение волны, падающей из вакуума, от границы с диэлектриком при наклонном падении и параллельной поляризации

Условия задачи. Электромагнитная волна частотой 100 МГц падает из вакуума на диэлектрическую плоскость с ε₂ = 2.25, μ₂ = 1, σ₂ = 0 под углом 45˚. Определить коэффициенты отражения и прохождения при параллельной поляризации падающей волны.

Решение. Для расчета коэффициентов отражения и прохождения необходимо определить волновые сопротивления сред и угол прохождения.

Для решения последней задачи необходимо определить волновые числа сред 1 и 2. Так как волна падает из вакуума, волновое число первой среды необходимо определить по формуле (3.12):

Так как во втором законе Снеллиуса используется отношение волновых чисел, дальше рассчитывать не целесообразно.

Волновое число второй среды необходимо определять по формуле (3.14):

Далее можно вычислять угол прохождения. Однако в формулы для коэффициентов отражения и прохождения входит не угол прохождения, а его косинус. Поэтому представляется целесообразным преобразовать формулу (2.2) и уже затем проводить вычисления:

Далее необходимо вычислить волновое сопротивление Z₂ так как Z₁ известно и равно Z₀. Для этого воспользуемся формулой (3.13):

Все данные, необходимые для расчета модулей и фаз коэффициентов отражения и прохождения получены. Можно приступать к вычислениям. Однако предварительно вычислим cos φ = cos 45˚ = 0.707. Кроме того, необходимо учесть действительный характер обоих волновых сопротивлений, то есть отсутствие сдвигов фаз при отражении и прохождении. Поэтому для расчета коэффициентов отражения и прохождения используем формулы (2.15) и (2.16), заменив в них комплексные величины действительными:

Задача решена.