Динамический хаос (ИПИС, ФКС)

Выделим в фазовом пространстве (x, y, z) некоторую область, ограниченную поверхностью S , и определим, что происходит с её объёмом V с течением времени. Вообще говоря, с течением времени точки, образующие поверхность S , будут менять своё положение в фазовом пространстве, согласно уравнению (134). Т.е. с течением времени поверхность S эволюционирует, её форма изменяется, а значит, может измениться и объём V фазового пространства, ограниченный этой поверхностью. Определим, с какой скоростью изменяется объём V .

Для	этого рассмотрим сначала элемент поверхности
dS	(см. рис. 67).

Рис. 67. Изменение фазового объёма при движении

системы: dV dS dh dS d x cos dS d x .

За время dt все точки элемента поверхности dS сдвинутся на расстояние

dx x dt F dt .

Следовательно, изменение фазового объёма, обусловленного перемещением элемента dS , будет равно

dV dS d x F dS dt ,

где dS n dS , n – единичный вектор внешней нормали к поверхности S . Тогда изменение фазового объёма, обусловленного движением всей поверхности S , будет равно

dV F dS dt .

S

Значит, скорость изменения фазового объёма может быть определена по формуле

dVdt S F dS ,

или, учитывая теорему Остроградского-Гаусса

F dS div F dV ,

		S		V
окончательно имеем
dV			divF dV			N	F
dt							i dV , (136)
							x
		V			V	i 1	i

где N – размерность фазового пространства (x1, x2 , , xN ) .

В нашем случае дивергенция поля F (135) равна

divF	F			Fy			F				(137)
		x			y			z 1 b D .
	x						z
Учитывая,		что	параметры и						b положительны,		видим,
что div F		принимает				постоянное			отрицательное	значение
( D 0 ).		Это позволяет						определить закон, по		которому
изменяется объём					V . Согласно (136),
		dV				D dV DV ,
			dt			V

V V0 exp(Dt)
.	(138)

Таким образом, с течением времени, объём некоторой области фазового пространства системы Лоренца уменьшается по экспоненциальному закону (138), стремясь к

нулю. Так, при	«классических»	значениях	параметров
10 , b 8 3	, показатель в	(138) D	13,67 , т.е.
за единицу времени объём фазового пространства
уменьшится в e13,67	862000 раз. Значит, система Лоренца

является диссипативной системой. С течением времени все точки, принадлежащие изначально области с объёмом V0 , сконцентрируются на некотором множестве нулевого объёма

– аттракторе системы Лоренца. В соответствии с выводами предыдущего пункта, этот аттрактор должен располагаться в ограниченной области фазового пространства.

4. Неподвижные точки

Найдём неподвижные точки системы уравнений Лоренца. Это такие точки, положение которых в фазовом пространстве не изменяется с течением времени, а значит, производные всех динамических переменных по времени в этих точках равны нулю. Приравнивая правые части уравнений Лоренца к нулю, получаем систему алгебраических уравнений:

( y x) 0
r x y xz 0 .		(139)
	bz x y 0

Из первого уравнения находим, что y x, тогда оставшиеся уравнения перепишутся в виде

x(r 1 z) 0
	z x2	.
		b

Подставляя второе уравнение в первое, окончательно имеем

x(r 1 x2 b) 0 .

Отсюда видно, что есть две возможности:

x 0 ,

либо

r1 x2 b 0 , x b(r 1) ,

Однако, последнее решение существует, только если r 1 .

Таким образом, если r 1 , то существует только одно состояние равновесия, расположенное в начале координат:

x 0 , y 0 , z 0 . (140)

Если же r 1, то существует три состояния равновесия:

x 0	y 0		z 0
,		,	;

x b(r 1) , y b(r 1) , z r 1; (141)

x b(r 1) , y b(r 1) , z r 1 ,

которые в дальнейшем будет обозначать, соответственно, O,

O1 и O2 .