Динамический хаос (ИПИС, ФКС)

Можно дать наглядную физическую интерпретацию полученным результатам. Ранее было показано, что система уравнений Лоренца позволяет описать динамику различных систем: конвекцию жидкости, вращение водяного колеса, генерацию излучения лазером. Соответственно, на языке этих систем первая неподвижная точка O в (141) соответствует состоянию покоя – конвекционное движение отсутствует, водяное колесо не вращается, лазер не генерирует. Две другие неподвижные точки O1 и O2 описывают некоторые стационарные движения – конвекционное вращение жидкости против и по часовой стрелке, вращение водяного колеса в ту или иную сторону с постоянной скоростью, генерацию лазером излучения с постоянной и независящей от времени интенсивностью.

Нетрудно заметить, что неподвижные точки O1 и O2 обладают
симметрией, рассмотренной выше в п.		1, а именно, точки
O и O переходят друг в друга	при	замене переменных
x1 2x , y y . Точка же	O	при такой инверсии

координат переходит сама в себя, т.е. также удовлетворяет указанной симметрии. Таким образом, отмеченная выше симметрия уравнений Лоренца относится не только к фазовым траекториям и аттрактору, но и к неподвижным точкам.

5. Анализ неподвижных точек на устойчивость

Рассмотрим теперь вопрос о том, при каких значениях параметров , b , r найденные неподвижные точки являются устойчивыми или неустойчивыми.

Пусть (x0 , y0 , z0 ) – интересующая нас неподвижная точка, r которую нужно исследовать на устойчивость. Будем искать

решение уравнений Лоренца (110)

	x ( y x)
		(110)
y r x y xz
	z bz x y

вблизи неподвижной точки (x0 , y0 , z0 ) в следующем виде

x(t) x0 x(t)

y(t) y0 y(t)

z(t) z0 z(t)

,

,

(142)

,

где добавки x , y и z – являются малыми величинами. Подставляя соотношения (142) в уравнения (110) и пренебрегая квадратами и произведениями малых добавок, получим

y

x ( y y0 x x0 )

r (x x0 ) ( y y0 ) (x x0 )(z z0 ) ,

z b(z z0 ) (x x0 )( y y0 )

y

x ( y x) ( y0 x0 )

r x y xz (r x0 y0 x0 z0 ) x0 z z0 x .

z bz x y ( bz0 x0 y0 ) x0 y y0 x

Учитывая, что для неподвижной точки должны выполняться уравнения (139), т.е.

	( y0 x0 ) 0
r x0 y0 x0 z0 0 ,
	bz	0	x	y 0
			0	0

в результате получим

			( y x)
		x
		r x y x0 z z0 x ,
y
				y x
	z bz x y
			0	0

y

x x y

(r z0 ) x y x0 z . (143)

z y0 x x0 y bz

Получили линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Решения такой системы ищут в виде x, y, z exp( t) . Тогда уравнения (143) принимают вид задачи на собственные значения матрицы 3 3 . Действительно,

	x x y
y (r z0 ) x y x0 z ,
	z y x	x y bz
	0	0