Динамический хаос (ИПИС, ФКС)

Решая это уравнение, получим

x 2 x 1 0 ,

	D 1 4 ,
x	1	1	1 4 .
	2

Значит, логистическое отображение (8) имеет две неподвижные точки.

Такие неподвижные точки могут быть, как устойчивыми – тогда их называют аттракторами, так и неустойчивыми – репеллерами.

Неподвижная точка x называется устойчивой (аттрактором), если при выборе начального значения x0 в некоторой окрестности точки x последовательность итераций x0 , x1, x2 , сходится к этой точке.

Неподвижная точка x называется неустойчивой (репеллером), если при выборе начального значения x0 в некоторой окрестности точки x последовательность итераций x0 , x1, x2 , не сходится к этой точке, а, наоборот, с каждой итерацией всё сильнее от неё отклоняется.

Свойство устойчивости или неустойчивости неподвижной точки определяется параметром . Так, например, при0,5 имеем неподвижные точки

x		1		3		2,732	,	x 1	3 0,732	,

причём первая из них является неустойчивой (репеллер), а вторая – устойчивой (аттрактор). На рис. 17 представлена динамика системы с 0,5.

Рис. 17. Динамика системы при логистическом отображении с 0,5 . Левая неподвижная точка – репеллер, правая – аттрактор.

Такой характер динамики системы будет наблюдаться для всех 0 0,75 . Другими словами при 0 0,75 аттрактор системы будет состоять всего лишь из одной точки

x	1	1	1 4 ,	(20)
	2

которую называют циклом периода 1. На рис. 18 представлен график зависимости положения аттрактора от параметра в диапазоне от 0 до 0,75.

Рис. 18. Зависимость положения аттрактора x от параметра в диапазоне от 0 до 0,75.

При переходе через 0,75 динамика системы существенно меняется. При 0,75 неподвижная точка x перестаёт быть устойчивой. Теперь установившийся режим представляет собой чередующуюся последовательность двух чисел: x1, x2 , x1, x2 , , где

x1 f (x2 ) , x2 f (x1 ) ,

или в нашем случае
x1 1 x22 ,	x2 1 x12 . (21)

Решая данную систему уравнений, получим

x1	1 x22
x	1 x 2 ,
2	1

x1 x2 x12 x22 ,

x1 x2 (x1 x2 )(x1 x2 ) , x1 x2 1 ,

x1 1 x12 1 ,

x12 x1 1 1 0 ,

D1 4 1 1 4 3 .

Отсюда видно, что при 0,75 имеется два различных решения этого уравнения

x1	1	1	4 3 ,	x2	1	1	4 3 . (22)
	2				2

Эти точки и образуют аттрактор системы при 0,75 или, как говорят, цикл периода 2.

Таким образом, при переходе через точку 0,75 количество точек в аттракторе удваивается. Такое удвоение точек в аттракторе называют бифуркацией удвоения периода, а само же значение 0,75 называется точкой бифуркации.

На графике зависимости положения аттрактора от параметра наличие бифуркации приводит к разделению линии аттрактора на две ветви (см. рис. 19). График зависимости положений точек аттрактора x от параметраназывают бифуркационной диаграммой.