линал лекции 1сем

Условие ортогональности прямых

` 0

Угол между прямой, заданной каноническим уравнением

,

и плоскостью, заданной общим уравнением

0,

определяется из формул:

Условие параллельности прямой и плоскости:

0

Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

Подпространства линейных пространств.

1. Понятие подпространства

Определение 1. Подмножество L линейного пространства R называется линейным подпространством, если выполнены следующие два условия:

1.Для любых двух элементов x и у множества L сумма элементов x и y z= x + y принадлежит множеству L.

2.Для любого элемента x множества L и любого действительного числа произведение элемента x на число , z= x принадлежит множеству L.

Линейное подпространство само является линейным пространством.

Примеры.

1.Нулевое подпространство – множество, содержащее только нулевой элемент.

2.Множество, совпадающее со всем пространством

R.

3.R3 R, R2 L

Определение 2. Линейной оболочкой элементов x, y,…,z линейного пространства R назовем множество всех линейных комбинаций этих элементов

x y ... z .

Линейная оболочка является наименьшим подпространством линейного пространства R, содержащим элементы x,y,…,z.

Теорема 1. Если элементы

e1 ,e2 ,...,ek являются базисом k мерного линейного подпространства L n мерного линейного пространства R, то этот базис можно дополнить элементами ek 1 ,ek 2 ,...,en таким образом, что система векторов e1 ,e2 ,...,en составляет базис линейного пространства R.

Доказательство.

Если k n , то найдется элемент ek 1 такой, что элементы e1 ,e2 ,...,ek 1 будут линейно независимыми (в противном случае пространство R было бы k мерным). Если k 1 n , то теорема доказана,

если k 1 n , то найдется элемент ek 2 такой, что элементы e1 , e2 ,..., ek 2 будут линейно независимыми (в противном случае пространство R было бы (k+1) мерным).

Продолжая эти рассуждения, докажем теорему. Теорема 2. Размерность линейной оболочки

L(x, y,..., z) равна числу линейно независимых векторов в системе x, y,..., z .

Доказательство.

Пусть среди векторов x, y,..., z r векторов линейно независимые. Обозначим эти вектора x1 , x2 ,..., xr . Остальные вектора системы являются линейными комбинациями векторов x1 , x2 ,..., xr . Поскольку каждый элемент линейной оболочки является линейной комбинацией векторовx, y,..., z , то каждый элемент оболочки является линейной комбинацией векторов

x1 , x2 ,..., xr . Следовательно, базис линейной оболочки содержит r векторов, размерность линейной оболочки равна r.

Теорема доказана. Теорема 3.

Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) матрицы. Доказательство.

Проведем доказательство теоремы для строк. Пусть ранг матрицы A размера n m равен r. Рассмотрим в линейном пространстве R n оболочку, натянутую на строки базисного минора, содержащего r строк. Любая строка матрицы является линейной комбинацией строк базисного минора. По теореме 2 из линейной независимости строк базисного минора следует, что размерность оболочки равна r. Следовательно, максимальное число линейно независимых строк равно r. Теорема доказана.

2.Прямая сумма подпространств. Определение 3.

Пространство R является прямой суммой двух подпространств R1 и R2 , если каждый элемент x пространства R единственным образом представим в виде суммы

x x1 x2 ,

где x1 R1 , x2 R2 .

R R1 R2

Теорема 4.
Для того чтобы n мерное пространство R было прямой
суммой подпространств R1 , R2 достаточно чтобы
пересечение R1 и R2	было равно 0 и сумма
размерностей R1 , R2	была равна n.
Доказательство.
Пусть e1 , e2 ,..., ek базис в R1 , g1 , g2 ,..., gl базис в R2 .
Тогда e1 , e2 ,..., ek , g1 , g2 ,..., gl базис в R.
Докажем линейную независимость векторов e1 , e2 ,..., ek ,

g1 , g2 ,..., gl . Составим линейную комбинацию и приравняем ее к 0.

1e1	2e2	... k ek	1 g1 2 g2 .... l gl 0 или
1e1	2e2	... k ek	1 g1 2 g2 .... l gl
	Слева стоит элемент, принадлежащий подпространству
	R1 , справа элемент, принадлежащий R2 . Поскольку
	подпространства пересекаются только на нулевом
	элементе, то левая и правая части равны 0,
	следовательно, все коэффициенты равны 0.
	Пусть x R , тогда x x1			x2 x 1e1 2e2 ... k ek 1 g1 2 g2 .... l gl ,
	где
	x1 1e1 2e2		... k ek и x2	1 g1 2 g 2 .... l gl , x x1 x2 .
	Представление произвольного элемента x R
	единственно.
	Предположим противное, что существует другое
	представление x x1			x2	. Тогда
	x1 x2 x1 x2 и
	x1 x1 x2 x2 0 .

Теорема доказана.

3.Преобразование координат при преобразовании базисов.

Пусть e1 , e2 ,..., en , g1 , g2 ,..., gn два произвольных базиса n мерного пространства. Тогда

g1 a11e1	a12 e2			... a1n en
g2 a21e1	a22 e2			... a2n en	(*)
……………………………..
gn an1e1	an2 e2			... ann en
Переход от базиса e1 , e2 ,..., en к базису					g1 , g2 ,..., gn
осуществляется с помощью матрицы:
a	a	12	...	a
11				1n
a21	a22 ...			a2n
A	. .
.				.
	an2 ...
an1				ann

Обратный переход от базиса g1 , g2 ,..., gn к базису e1 , e2 ,..., en осуществляется с помощью матрицы A 1 .

Докажем это. Умножим равенства (*) на алгебраические дополнения элементов j го столбца Aij и сложим их:

A1 j g1 A2 j g 2 ... Anj g n n	ei (a1i A1 j a2i A2 j ... ani Anj )
i 1
Учитывая, что сумма произведений i го столбца на
соответствующие алгебраические дополнения j го

столбца равно 0 при i j и определителю матрицы при i j , получаем

A1 j g1 A2 j g2 ... Anj gn e j

или

e j 1 ( A1 j g1 A2 j g 2 ... Anj g n ) .

x, y R1

g1 , g2 ,..., gn

Что и требовалось доказать. Пусть x произвольный элемент x R Тогда

x x1e e1 x2e e2 ... xne en

x1g g1

x2g g 2 ... xng g n .

Подставим выражения ei

x xe

(

A11

g

A21

g

...

An1

g

)

1

1

2

n

xe (

A12

g

A22

g

...

An2

g

)

2

1

2

n

………………………………………

xne (

A1n

g1

A2n

g2

...

Ann

gn )

x g g

1

x g g

2

... x g g

n

1

2

n

В силу единственности разложения по базису,

x g

A11

xe

A12

xe

...

A1n

xe

1

1

2

n

x g

A21

xe

A22

xe ...

A2n

x e

2

1

2

n

………………………………….

x g	An1	xe	An2	xe ...	Ann	xe
n		1		2	n

Переход от координат базиса e1 , e2 ,..., en к координатам в базисе осуществляется с помощью матрицы транспонированной к матрице обратной к матрице A . 4.Изоморфизм линейных пространств.

Определение 4.

Два линейных пространства R1 , R2 называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно поставить взаимно однозначное соответствие таким образом, что если элементам

x .

соответствуют элементы x , y R2 , то x y соответствует x y , а x соответствует

Теорема 5.

Любые два n мерных пространства изоморфны. Доказательство.

Зафиксируем в R1 базис e1 , e2 ,..., en , а в R2 базис g1 , g2 ,..., gn . Поставим в соответствие элементу x x1e1 x2 e2 ... xn en

элемент x x1 g1 x2 g 2 ... xn g n . Указанное соответствие является взаимно однозначным, и при этом выполняются условия определения 4.

Теорема доказана.

Линейные пространства и линейные операторы .

1. Понятие линейного пространства

Определение 1. Множество R называется линейным пространством, если выполнены следующие три условия:

1.Любым двум элементам x и у множества R ставится в соответствие третий элемент z этого множества R, называемый суммой элементов x и y

z= x + y.

2.Любому элементу x множества R и любому действительному числу ставится в соответствие элемент z множества R, называемый произведением элемента x на число , z= x.

3.Указанные операции удовлетворяют следующим восьми аксиомам:

1)x+y=y+x (переместительное свойство суммы);

2)(x+y)+z = x+(y+z) (сочетательное свойство суммы);

3)В R существует нулевой элемент 0 такой, что x+0=x;

4)Для любого элемента x существует противоположный элемент ( x) такой, что x+( x)=0;

5)1x=x;

6)( x) ( )x (сочетательное свойство);

7)( )x x x (распределительное относительно числовых множителей свойство);

8)(x y) x y (распределительное относительно суммы свойство).

Примеры.

1.Множество векторов на плоскости.

2.Множество положительных действительных чисел. Сумму элементов x и y определим как произведение вещественных чисел xy, произведение элемента x на число как возведение числа x в степень .

3.Rn множество, элементами которого являются упорядоченные совокупности n действительных чисел. Элементы множества x (x1 , x2 ,...xn ) .

x y (x1 y1 , x2 y2 ,...xn yn )

x ( x1 , x2 ,..., xn ) .

Теорема 1. В линейном пространстве существует единственный нулевой элемент, для каждого элемента x существует единственный противоположный элемент.

Теорема 2. В линейном пространстве нулевой элемент равен произведению любого элемента пространства на число 0. Для каждого элемента x противоположный ему элемент равен произведению числа 1 на элемент x.

Доказательство. Пусть x –произвольный элемент линейного пространства, y – противоположный ему элемент, тогда

0x=0x+0=0x+(x+y)=(0x+x)+y=(0x+1x)+y=(0+1)x+y=x+y=0.

Докажем, что противоположный x элемент равен ( 1)x.

Действительно x+( 1)x=1x+( 1)x=(1 1)x=0x=x.

Т.д.