МАТАН / Formulas (lim)

фокусом, и данной прямой, называемой

директрисой.

Линейное векторное пространство

Линейным векторным пространством будем называть такое множество, которое подчиняется следующим условиям: для любых двух его элементов a,b, называемых векторами данного пространства введены эл-ты a+b, aa, лежащие в этом же множестве, причем операции сложения и умножения на число подчинены следующим аксиомам:

1° В данном множестве существует нулевой элемент, такой что a+0=a

2° В данном множестве существует элемент -a, называемый противоположным к элементу a, такой что a+(-a)=0.

3° a+b=b+a.

4° (a+b)+c=a+(b+c)

5° Если число 1 умножить на элемент a, то получается исходный элемент: 1•a=a.

6° a(a+b)= aa+ab.

7° (a+b)a=aa+ba.

8° b(aa)=(ab)a.

Элементы a₁, ... , a_k линейного векторного пространства будем называть линейно зависимыми, если существуют такие числа l₁, ... , l_k, не все одновременно равные 0, что выполняется равенство l₁a₁ + ... + l_ka_k = 0.

В противном случае элементы a₁, ... , a_k называются линейно независимыми.

(Элементы a₁, ... , a_k линейного векторного пространства называются линейно независимыми, если равенство l₁a₁ + ... +l_ka_k= 0 выполняется только при условии, что числа l₁, ..., l_k, все равны 0.)

Элементы e₁, ... , e_n линейного векторного пространства называются его базисом, если для любого элемента a данного линейного векторного пространства существует такой набор чисел a₁, ... , a_n, что справедливо равенство a=a₁e₁ + ... + a_ne_n.

Если в линейном векторном пространстве существует базис из n элементов, то данное пространство называется n-мерным.

Для того, чтобы элементы e₁, ... , e_n образовывали базис в неком пространстве, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно независимы.

Если дан набор векторов, который принимается за новый базис, то матрица, составленная из этих векторов, называется матрицей перехода к новому базису и новое представление любого вектора находится по формуле

Евклидово пространство.

Линейное векторное пространство называется евклидовым, если в нем для любых двух его элементов и определено число, называемое скалярным произведением, обозначаемое символом , удовлетворяющее следующим условиям:

1°

2°

3°

4°

- норма (модуль) вектора

Ортогонализация базиса.

Элементы и евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0.

Вектор называется нормированным, если его длина равна 1.

Векторы называются ортонормированными, если выполняется следующее условие:

В любом n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Собственные значения и собственные и присоединенные вектора матрицы.

Число l называется собственным значением (собственным числом, точкой спектра) квадратной матрицы A, а ненулевой вектор - соответствующим ему собственным вектором, если выполняется равенство (A-lI)x=0 (или Ax=lx).

Пусть вектор h₁ - собственный вектор, отвечающий кратному собственному значению l. Тогда вектор h₂ будем называть первым присоединенным к вектору h₁, если выполнено равенство (A-lI)h₂=h₁; вектор h₃ будем называть вторым присоединенным к вектору h₁, если выполнено равенство (A-lI)h₃=h₂ и т. д.

Суммарно число собственных и всех присоединенных к ним векторов равно кратности собственного значения l, для которого они строятся.

Правило Лопиталя

Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки x=x₀ и

и , то выполняется равенство

Определенный интеграл.

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] называется предел соответствующей интегральной суммы при условии, что число отрезков разбиения n®¥, а maxDx_i®0, и этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b] на части, ни от способа выбора по одной точке на каждой из частей.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то определенный интеграл от этой функции на этом отрезке существует.

Вычисление площадей и объемов с помощью определенного интеграла.

Площадь сектора плоской фигуры в полярной системе координат:

Объем тела по поперечным сечениям:

В частности, если кривая, заданная уравнением y=f(x) вращается вокруг оси абсцисс, то

Несобственные интегралы.

1. a)

б)

Если данный предел существует, то говорят, что интеграл существует, или сходится. Если предел не существует, то интеграл не существует или расходится.

в)

Если хотя бы один из интегралов в правой части этого равенства расходится, то интеграл в левой части равенства тоже расходится.

2. Между верхним и нижним пределами интегрирования есть точка разрыва подынтегральной функции.

Пусть c - точка разрыва, тогда

Если хотя бы один из пределов не существует, то интеграл не существует.

Если a-точка разрыва, то

Если b- точка разрыва, то

1. 1 и 2 замечательные пределы.

2. Теорема Ролля и ее геометрический смысл.

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема в каждой внутренней точке этого отрезка и на его концах обращается в нуль, то внутри отрезка [a;b] найдется такая точка x, что f ‘(x)=0.

Если функция y=f(x) удовлетворяет на отрезке [a;b] всем условиям теоремы Ролля, то на графике функции найдется такая точка, касательная в которой параллельна оси абсцисс.

3. Теорема Лагранжа и ее геометрический смысл.

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема в каждой внутренней его точке, то внутри отрезка [a;b] найдется такая точка x, что выполняется равенство

f(b)-f(a)=f ‘(x)(b-a).

Если функция y=f(x) на отрезке [a;b] удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа, то на дуге, являющейся графиком этой функции, найдется такая точка, касательная в которой будет параллельна хорде, стягивающей эту дугу.

4. Точки разрыва функции. Их классификация.

Точка x=x₀ называется точкой разрыва функции y=f(x), если эта функция не является непрерывной в этой точке.

Точка x=x₀ называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существует предел слева и справа от этой функции.

Точка x=x₀ называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из пределов слева и справа не существует.

5. Выпуклость. Вогнутость.

График функции y=f(x) называется выпуклым [вогнутым] в точке (x₀;f(x₀)), если в этой точке существует касательная к этому графику, которая в некоторой окрестности этой точки расположена выше [ниже] этой кривой.

График функции y=f(x) называется выпуклым [вогнутым] на интервале (a;b), если он выпуклый [вогнутый] в каждой точке этого интервала.

6. Точки перегиба. Достаточное условие.

Точка (x₀;f(x₀)) называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если в этой точке существует касательная и если она отделяет интервал выпуклости от интервала вогнутости.

Пусть функция y=f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x=x₀, и в точке (x₀;f(x₀)) существует касательная к графику этой функции. Если при переходе через точку x=x₀ вторая производная меняет знак, то точка (x₀;f(x₀)) является точкой перегиба графика функции.

7. Асимптоты кривой. Вертикальные, наклонные. Условия их существования.

Асимптотой данной кривой называется такая прямая, что расстояние от точки на кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.

Вертикальные асимптоты - асимптоты, параллельные оси ординат. Если функция f(x) в точке x₀ имеет бесконечный разрыв, то уравнение x=x₀ есть уравнение вертикальной асимптоты графика этой функции.

Наклонные (невертикальные) асимптоты - асимптоты, не параллельные оси oy. Кривая, заданная уравнением y=f(x) имеет невертикальную асимптоту, определяемую уравненем y=kx+b, тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы

и

(или соответственно при x®-¥)

8. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Их основные свойства.

Функция a(x) называется бесконечно малой в точке x=x₀, если предел a(x) при x®x₀ равен 0.

Свойства:

1. Сумма бесконечно малых есть бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малых есть бесконечно малая.

3. Произведение бесконечно малой на ограниченную функцию есть бесконечно малая. (Функция f(x) называется ограниченной в точке x=x₀, если найдется такое число M и такая d-окрестность, что для всех x из d-окрестности выполняется неравенство ½f(x)½<M.)

Функция f(x) называется бесконечно большой в точке x=x₀, если для любого положительного M найдется такая d-окрестность этой точки, что для всех x из этой d-окрестности выполняется неравенство ½f(x)½>M.

Если f(x) - бесконечно большая в точке x=x₀, то функция a(x)=1/f(x) будет бесконечно малой в этой точке.

Если функция a(x) - бесконечно малая в точке x=x₀, то функция f(x)=1/a(x) будет бесконечно большой в этой точке.

9. Определение функции и ее графика. Способы задания функции.

Если каждому значению x из некоторого числового множества E сопоставлено одно определенное значение переменной величины y, то говорят, что y является функцией независимой переменной x.

Графиком функции y=f(x) в данной прямоугольной системе координат xOy называется геометрическое место точек плоскости, координаты (x;y) которых удовлетворяют соотношению y=f(x).

Способы задания функции:

1. Аналитический.

2. Графический.

3. Табличный.

10. Определение дифференциала. Его геометрический смысл.

Дифференциалом дифференцируемой функции называется главная, линейная относительно Dx, часть приращения функции.

Дифференциал функции в данной точке равен приращению ординаты касательной.

Для того, чтобы ф-ция y=f(x) была дифференцируемой в точке x=x₀, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную.

1. Необходимость.

Дано: Dy=ADx+a(Dx)Dx,

Док-ть; .

Док-во:

2. Достаточность.

Дано: .

Док-ть: Dy=ADx+a(Dx)Dx,

Док-во: