§ 3. Скорость как производная

Процедура, которую мы только что выполнили, настолько часто встречается в математике, что для величин  и x: было придумано специальное обозначение:  обозначается как t, а х — как s. Величина t означает «небольшой добавок к t», причем подразумевается, что этот добавок можно делать мень­ше. Значок  ни в коем случае не означает умножение на какую-то величину, точно так же как sin не означает s•i•n•. Это просто некоторый добавок ко времени, причем значок  напоми­нает нам о его особом характере. Ну, а если  не множитель, то его нельзя сократить в отношении s/t. Это все равно, что в выражении sin/sin2 сократить все буквы и получить ¹/₂. В этих новых обозначениях скорость равна пределу отношения s/t при t, стремящемся к нулю, т. е.

(8.5)

Это по существу формула (8.3), но теперь яснее видно, что здесь все изменяется, а, кроме того, она напоминает, какие именно ве­личины изменяются.

Существует еще один закон, который выполняется с хоро­шей точностью. Он гласит: изменение расстояния равно скоро­сти, умноженной на интервал времени, за которое это изменение произошло, т. е. s=vt. Это правило строго справедливо толь­ко тогда, когда скорость не изменяется в течение интервала t, а это, вообще говоря, происходит, только когда t доста­точно мало. В таких случаях обычно пишут ds=vdt, где под dt подразумевают интервал времени t при условии, что он сколь угодно мал. Если интервал t достаточно велик, то скорость за это время может измениться и выражение s = vt будет уже приближенным. Однако если мы пишем dt, то при этом подра­зумевается, что интервал времени неограниченно мал и в этом смысле выражение ds=vdt точное. В новых обозначениях вы­ражение (8.5) имеет вид

Величина ds/dt называется «производной s no t» (такое название напоминает о том, что изменяется), а сложный про­цесс нахождения производной называется, кроме того, диффе­ренцированием. Если же ds и dt появляются отдельно, а не в виде отношения ds/dt, то они носят названия дифференциалов. Чтобы получше познакомить вас с новой терминологией, скажу еще, что в предыдущем параграфе мы нашли производную от функции 5t², или просто производную от 5t². Она оказалась равной 10t. Когда вы больше привыкнете к новым словам, вам станет более понятна сама мысль. Для тренировки давайте най­дем производную более сложной функции. Рассмотрим выра­жение s=At³+Bt+C, которое может описывать движение точ­ки. Буквы А, В, С, так же как и в обычном квадратном уравне­нии, обозначают постоянные числа. Нам нужно найти скорость движения, описываемого этой формулой в любой момент времени t. Рассмотрим для этого момент t+t, причем к s прибавится некоторая добавка s, и найдем, как выражается s через t. Поскольку

s+s=A(t+t)²+В (t+t)+С =At³+Bt+С+ЗAt²t+Вt+3At (t)²+A(t)³

а

s=At³+Bt+C,

то s=3At²t+Bt+3At(t)²+A(t)³.

Но нам нужна не сама величина s, а отношение s/t. После деления на t получим выражение

s/t= 3At^s+В+3At(t)+A(t)³, которое после устремления t к нулю превратится в

s/t=3'At²+B.

В этом состоит процесс взятия производной, или дифференциро­вания функций. На самом деле он несколько легче, чем это ка­жется на первый взгляд. Заметьте, что если в разложениях, по­добных предыдущим, встречаются члены, пропорциональные (t)² или (t)³ или еще более высоким степеням, то их можно сразу вычеркнуть, поскольку они все равно обратятся в нуль, когда в конце мы будем t устремлять к нулю. После небольшой тренировки вы сразу будете видеть, что нужно оставлять, а что сразу отбрасывать. Существует много правил и формул для дифференцирования различных видов функций. Их можно либо запомнить, либо пользоваться специальными таблицами. Небольшой список таких правил приводится в табл. 8,3.

Таблица 8.3 • некоторые производные

s, u, v, w — произвольные функции;

а, b, с, n — произвольные постоянные.