20. Нелинейная проблема аналитического конструирования оптимальных регуляторов (акор). Понятие оптимальности.

Основная задача управления динамическими объектами состоит в том, что оно должно гарантировать асимптотическую устойчивость систем и удовлетворять определенной совокупности инженерных требований (в целом ряде противоречивых) к качественным свойствам систем в переходных процессах и установившихся режимах движения, а также к их технико-экономическим показателям. Естественно стремление  к построению системы управления объектом, обеспечивающей оптимальное выполнение требований к качеству ее функционирования.

Среди большого разнообразия нелинейных объектов в работе выделен достаточно широкий для приложений класс ОУ, для которого оказалось возможным разработать аналитические по форме, относительно простые и эффективные методы и процедуры синтеза квазиоптимальных регуляторов. Модели динамики данных объектов описываются системами дифференциальных уравнений с полиномиальными нелинейностями от их фазовых координат.

Постановка задачи АКОР.

АКОР в России впервые был разработан профессором Летовым. Заслуга профессора Летова состоит в том , что он процесс синтеза оптимального управления поставил на математическую основу выраженную в аналитической форме. Для этого профессор Летов обоснованно в своем методе выбирал критерий оптимальности и на основании математической модели объекта управления и выбранного критерия оптимальности аналитически находил выражение для алгоритма оптимального управления или выражение для оптимального регулятора. Одновременно с профессором Летовым америк. математиком Калманом был разработан метод подобный АКОРу , который назывался Метод пространства состояния, который явился основой современной теории управления. Заслуга Калмана состоит в том , что он разработал методы синтеза алгоритма оптимального управления, не только для детерминированной динамической системы , но и для стохастических динамических систем (со случайным переходным процессом).

(1)

где – матрица коэффициентов объекта управления, коэффициенты зависят от времени;

- прямоугольная матрица распределения управляющих воздействий. Коэффициенты этой матрицы также зависят от времени;

- n-мерный вектор состояния;

- m-мерный вектор управления.

(2)

- p-мерный вектор выхода;

- матрица выхода динамической системы коэффициентов, которые зависят от времени.

В постановке задачи АКОР очень важное место занимает выбор критерия оптимальности или выбор функционала качества.

В общем случае для обоснованного выбора критерия оптимальности выбирается желаемый вектор выходных координат , задача АКОР состоит в том, чтобы текущее значение выхода вектора было близко к желаемому:

(3)

Мы хотим чтобы в

В этом случае, учитывая рассуждения критерия оптимальности в общем виде можно представить так:

(4)

Задача АКОР с критерия вида (4) называется задачей слежения, текущая выходная координата отслеживания желаемых выходных координат.

Физический смысл слагаемых:

1-ое слагаемое представляет собой просуммированную ошибку и в этом слагаемом матрица Q(t) это матрица квадратичной формы . Весовые коэффициенты этой матрицы выбираются с тем расчетом чтобы в конечном итоге первое слагаемое имело минимальное значение. 1-ое слагаемое характеризует точность работы системы.

2-ое слагаемое - квадратичная форма. физически характеризует затраты энергии на управление, косвенным образом это слагаемое характеризует и быстродействие системы ,чем больше затраты энергии на управление, тем более быстродейственнее является система. Выбирая компромисс между затратами энергии на управление и полученным быстродействием: