Аналитическое конструирование регуляторов (акор)

Как было определено ранее, синтез замкнутой САУ по квадратичному интегральному критерию дает регулятор в виде линейных обратных связей по координатам состояния объекта управления.

Ввиду простоты реализации такого регулятора и универсальности квадратичного критерия оптимальности, т.к. он ограничивает и отклонение переменных состояния объекта управления и управляющего воздействие, данная задача определения оптимального регулятора получила широкое распространение. Оптимальный регулятор получается аналитическим решением задачи оптимизации, и поэтому данная методика синтеза получила название - аналитическое конструирование регуляторов (АКОР).

Рассмотрим аналитическое конструирование регулятора в общем виде.

Задана динамика объекта управления:

; (1)

или

, (1*)

гдеА=[nn] - коэффициентная матрица динамики объекта,

B=[nm] – матрица коэффициентов управляющих воздействий,

x_iн=x_i(0), x_iк=x_i(t_к) – граничные условия.

Критерий оптимальности:

, (2)

где Q=[nn]; R[nm] – матрицы коэффициентов, определяющие величины ограничений отклонений переменных состояний (координат) объекта управления и расход энергии в переходящих процессах.

С учетом (1*) критерий (2) можно представить в следующем виде:

. (2*)

Необходимо найти оптимальный закон управления или управление регулятора для оптимальной замкнутой САУ.

Для решения задачи используем принцип максимума.

Составим функцию Гамильтона:

(3)

Известно, что .

Следовательно:

. (4)

Вспомогательные функции определяются из уравнений:

, (i=1,2,…,n) (5)

или в векторной форме:

. (5*)

Выражение (5*) на основании (4) дает следующую зависимость:

. (6)

Для определения экстремального значения функции Н по управляющим воздействиям U найдем, что:

. (7)

Из (7) следует, что:

.

Следовательно

. (8)

Вспомогательные функции будем искать в виде линейной зависимости:

. (9)

Из (9) следует, что:

. (10)

Кроме того, с учетом (8) управление динамики объекта (1) можно представить в виде:

. (11)

Добавив к этому уравнению сопряженное уравнение (6), получим систему:

. (12)

Подставив в уравнение (10) значения производных из системы (12) и сделав очевидные преобразования, получим:

Откуда:

(13)

Для стационарной системы .

Следовательно:

. (14)

Выражения (13) и (14) получили название – нелинейные матричные уравнения Риккати.

Для определения выражения для определения оптимального управления подставим значение из (9) в (8).

В результате получим:

, (15)

где R – берется из интегрального критерия, а К – определяется из решения уравнения (14).

Подставив выражение (15) в уравнение динамики объекта (1) получим уравнение, описывающее оптимальное изменение состояния объекта под действием Uопт:

. (16)

Структурная схема оптимальной замкнутой САУ в матричном виде представлена на рис.1.

Рис.1. Оптимальная по квадратичному интегральному критерию замкнутая САУ. Обозначено ОУ – объект управления, ОР – оптимальный регулятор.

Таким образом, в результате синтеза получим оптимальный регулятор ОР, который представляет сумму пропорциональных обратных связей по всем переменным состояния (координатам) объекта управления (см.рис.1). Величины коэффициентов обратных связей определяются из решения уравнения Риккати (14).

Пример 1.

Приведенная функция объекта управления:

,

или

,

где

Критерий оптимальности:

.

В этом случае уравнение Риккати (14) примет вид (А=а, B=b, C=1)

,

или

.

где .

Решение этого уравнения дает следующую зависимость:

Следовательно:

Структурная схема оптимальной САУ представлена на рис. 2.

Рис.2. Структурная схема оптимальной по квадратичному интегральному критерию САУ с объектом первого порядка

Пример 2.

Объект второго порядка:

или

, (п.2.1)

где (п.2.2)

а критерий оптимальности:

,

где .

Т.е.

.

Запишем уравнения Риккати:

(п.2.3)

Матричное уравнение (п.2.3) дает уравнения:

(п.2.4)

Решение алгебраических уравнений (п.2.4) с учетом положительной определенности матрицыК:

, и что всегда К₁₂=К₂₁ дает следующий результат:

. (п.2.5)

В соответствии с выражением (15) матрица коэффициентов обратных связей будет иметь следующий вид:

.

Подставляя в это выражение зависимости (п.2.5), получим значения коэффициентов для обратных связей по х₁ и по х₂:

.

Структурная схема оптимальной замкнутой САУ представлена на рис. 3.

Рис.3. Оптимальная по квадратичному интегральному критерию замкнутая САУ с объектом второго порядка