Глава 4. Постановка задачи теории упругости для макроскопического тела.

Рассмотрим постановку задачи теории упругости в напряжениях. Основные неизвестные – 6 компонент симметричного тензора напряжений. Они должны удовлетворять трем уравнениям равновесия, записанным в напряжениях и шести уравнениям совместности деформаций, записанным с помощью закона Гука в напряжениях. Деформации определяются алгебраически по найденным напряжениям из обратных уравнений закона Гука. Перемещения интегрируются в квадратурах по найденным деформациям с помощью формул Чезаро, причем интегрируемость обеспечена, так как удовлетворены уравнения совместности деформаций. Для упрощения постановки напряжения можно выразить через тензорный потенциал так, что уравнения равновесия будут удовлетворяться тождественно, а уравнения совместности распадутся на отдельные уравнения для каждой из компонент тензора-потенциала напряжений. Удерживая те или иные компоненты симметричного тензора-потенциала напряжений, а остальные полагая нулю, можно получить как частные случаи известные постановки Максвелла, Моррера, Эри.

В общем случае напряжения и деформации описываются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонент). Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора, а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:

где — тензор напряжений,— тензор деформаций. Для изотропного материала тензорсодержит только два независимых коэффициента.

Благодаря симметрии тензоров напряжения и деформации, закон Гука может быть представлен в матричной форме.

Для линейно упругого изотропного тела:

где — модуль Юнга,— коэффициент Пуассона,— модуль упругости 2-го рода

Глава 5. Постановка задачи для микроскопического тела.

В данной работе рассматривается обратная задача – по известным тензору напряжений и деформаций найти коэффициенты тензора упругости.

Рассмотрим эту задачу с точки зрения метода молекулярной динамики.

Тензор жесткости простой кристаллической решетки имеет вид [12, 13]

где - радиус-вектор атома(узла) решетки(α – номер узла).– модуль.

Функция П представляет собой потенциал взаимодействия между частицами; – объем элементарной ячейки;– тензор четвертого ранга, представляющий собой тензорное произведение четырех векторов. Узлы решетки нумеруются относительно рассматриваемого атома, причем=. Согласно определенной выше формуле, тензор жесткости простой кристаллической решетки абсолютно симметричен, то есть симметричен относительно любой перестановки входящих в тетрады векторов, а стало быть, компоненты тензора жесткости симметричны относительно произвольной перестановки индексов. Если ограничиться взаимодействием только ближай-ших соседей по кристаллической решетке, то тогда формула существенно упростится

где - жесткость межатомной связи, а– норма вектора а.

Глава 6. Описание материала (ZnO).

Оксид цинка ZnO встречается в виде белого порошка, известного как минерал цинкит. Он нашел широкое применение в шинной, лакокрасочной, нефтеперерабатывающей промышленностях. Около 50% ZnO используется в каучуковой промышленности. ZnO также используется как катализатор синтеза метанола, белый пигмент при производстве красок и эмалей (в настоящее время вытеснен нетоксичной двуокисью титана TiO2), наполнитель и пигмент в производстве бумаги, парфюмерии и косметики. Краски с содержанием оксида цинка на протяжении длительного времени используются как антикоррозийное покрытие для металлов. Оксид цинка, обеднённый изотопами цинка Zn64, используется для предупреждения коррозии в атомных электростанциях.

Оксид цинка – это уникальный материал, который проявляет как полупроводниковые, так и пьезоэлектрические свойства. Этот полупроводник, обладающий широкой прямой запрещённой зоной ~3.3 эВ при комнатной температуре, имеет хорошую прозрачность, высокую электронную мобильность, сильную люминесценцию при комнатной температуре. Поэтому наиболее частое применение в электронике – в лазерных диодах и светодиодах.

Оксид цинка кристаллизуется в трёх фазах: гексагональный вюрцит, кубический сфалерит, и редко встречаемая кубическая модификация поваренной соли. Наиболее часто встречаемая форма – вюрцит. Форма сфалерита может быть устойчивой при выращивании ZnO на подложках с кубической решёткой. ZnO со структурой типа поваренной соли наблюдается при относительно высоких давлениях. Гексагональная структура и структура сфалерита не обладают симметрией по отношению к инверсии. Это приводит к пьезоэлектрическим свойствам этих модификаций и пироэлектрическим свойствам гексагонального ZnO. Как и у большинства II-VI материалов, связь в ZnO преимущественно ионная, что объясняет сильные пьезоэлектрические свойства.

В последнее время широко исследуются выращенные на подложке наноиглы и наностержни ZnO. Вюрцитная структура этих наностержней имеет выделенное направление роста, что позволяет легко получать структуры высокого качества с различным диаметром и высотой. Наностержни на подложке – самая выгодная модификация для создания светодиодов микроскопических размеров. В некоторых полевых транзисторах наностержни ZnO используются как проводящие каналы. Острые окончания наноигл ZnO многократно усиливают электрическое поле. Поэтому они могут использоваться как полевые эмиттеры. Оксид цинка кристаллизуется в трёх формах: гексагональный вюрцит, кубический сфалерит, и редко встречаемая кубическая модификация поваренной соли. Наиболее чаще встречаемая форма – вюрцит. Форма сфалерита может быть устойчивой при выращивании ZnO на подложках с кубической решёткой. ZnO со структурой типа поваренной соли наблюдается при относительно высоких давлениях ~10 ГПа.