Доронин Ю.П. Физика океана

∂V j

∂V

'

'

i

Kij = Vi

V j

+

/

∂xi

,

∂x j

∂

T

KTj = V j′T ′ /

,

∂x j

∂S

KSj = V j′S ′

/

.

∂x j

Библиотека сайта www.fluger.org

(3.32)

(3.33)

(3.34)

Однако для этого надо знать произведения пульсаций субстанций. В преобладающем числе случаев эта информация отсутствует. Кроме того, для использования коэффициентов турбулентного обмена в уравнениях с осредненными гидродинамическими характеристиками надо знать выражение этих коэффициентов через средние значения

элементов.	Наиболее успешно		такая	задача решена					для
пристеночной турбулентности.
При изучении		плоскопараллельного		турбулентного					течения
Прандтль (1925 г.)		предположил, что пульсации скорости							течения
обусловлены перемещением объемов жидкости с одного						уровня на
другой на расстояние l .Если градиент средней скорости						∂		/ ∂z , то
							u
вихрь, сохраняя свою первоначальную скорость					при перемещении на
расстояние l ,	где	средняя скорость	другая,		вызывает	изменение

скорости течения

∂u

u′ = l		.	(3.35)
	∂z

Если полагать мелкомасштабную турбулентность изотропной, то таким же, или близким к нему будет соотношение между пульсацией вертикальной скорости и градиентом средней скорости. Следовательно

∂u 2

u′w′ = l2 . (3.36)

∂z

Сопоставление формул (3.36) и (3.22) приводит к определению

K xz = l	2	∂	u		.	(3.37)
		∂z

72

Модуль градиента скорости введен в связи с тем, что коэффициент турбулентного обмена по аналогии с кинематическим коэффициентом турбулентной вязкости считается положительным.

Библиотека сайта www.fluger.org

Библиотека сайта www.fluger.org

Расстояние l , на котором турбулентные вихри разрушаются, смешиваются с окружающей водой и теряют свой импульс, назвали длиной пути смешения. По определению Прандтля, эта длина пропорциональна расстоянию от твердой стенки

l = z .

(3.38)

Предполагалось, что с увеличением расстояния от стенки растет размер вихрей и они проходят больший путь, не разрушаясь.

Из формул (3.37) и (3.38) следует

				∂
K xz = l	2	z	2		u		.	(3.39)
				∂z

Этот способ вычисления Kxz пригоден для определения

коэффициента вертикального турбулентного обмена в довольно тонком придонном слое океана. За его пределами уже нет устойчивого роста размеров турбулентных возмущений с расстоянием от дна. Здесь более пригодна рекомендуемая Карманом зависимость.

	∂				∂2
l =		u				u	,	(3.40)
	∂z				∂z 2

хотя она получена по данным наблюдений в слое трения.

В формулах (3.38) и (3.40) ~0.40 получена по данным экспериментов и называется параметром Кармана. Если выражение (3.40) подставить в (3.37), то получается

∂

3

∂2

2

u

u

K

= 2

.

(3.41)

xz

∂z

∂z 2

В этой формуле нет такой зависимости от расстояния z, как в (3.39), но использовать ее для расчета Kxz по данным наблюдений

профиля скорости течения очень трудно вследствие малой точности определения знаменателя.

Существуют	и другие понятия	длины	пути	смешения	l .
Например, Тейлор принимал за l расстояние,			на котором исчезает
завихренность	скорости турбулентного течения. В			результате	l

оказалась зависимой от расстояния смешения для скорости и для вихря, т.е. является еще менее определенной характеристикой и потому реже используемой.

73

Для определения коэффициента вертикального турбулентного обмена наиболее широко используется уравнение баланса энергии турбулентности.

Библиотека сайта www.fluger.org

Библиотека сайта www.fluger.org

3.4.Уравнение баланса энергии турбулентности

Уравнение баланса энергии турбулентности широко используется в океанологии для оценки развития или затухания турбулентности, а также для определения по нему коэффициента турбулентного обмена.

Это	уравнение		получается из	уравнений Навье-Стокса и
Рейнольдса.		Поскольку ускорение Кориолиса не производит работу,
то в исходное уравнение движения				это	слагаемое не	будет
включаться.		Кроме	того, уравнение	движения целесообразно
использовать не в векторном представлении,					а в выражении (3.11),

которое позволяет проследить взаимосвязь составляющих скорости по различным осям координат. Его можно записать в компактной форме

	∂ρVi	+	∂		(ρV V	+ Pδ		− τ		) = ρF ,	(3.42)
							ij		ij
	∂t		∂x j		i j					i
Единичная функция				δ ij = 1 при i = j и δ ij = 0							во всех остальных
случаях.
Для получения			уравнения			баланса				кинетической энергии это

уравнение скалярно умножается на Vi . В результате для плотности

кинетической

энергии

Eк = 0.5ρViVi

с учетом неразрывности в

приближении Буссинеска [3] получается

∂Eк

+

∂

(E V

+ PV

δ

− τ V ) = ρF V − ρε ,

(3.43)

ij

∂t

∂x j

к j

j

ij i

i i

τij

∂V

где ε =

i

- скорость удельной диссипации энергии.

ρ

∂x j

Уравнение показывает, что изменение кинематической энергии в какой-то точке океана зависит от плотности ее потока, представленного выражением в скобках. Этот поток обусловлен непосредственным переносом со скоростью Vi , давлением и внутренним молекулярным трением. В правой части содержится работа сил Fi и расход кинетической энергии вследствие ее диссипации во внутреннюю энергию.

74

На основе уравнения (3.13) аналогичным образом получается уравнение для плотности кинетической энергии осредненного движения Eк = 0.5ρV 2 :

Библиотека сайта www.fluger.org

Библиотека сайта www.fluger.org

∂Eк

∂

∂Vi

. (3.44)

+

(EкV j

∂t

∂x j

+ P V j δ ij − τijVi + ρViV′ j′Vi ) = ρFiVi − ρε + ρViV′ j′

∂x j

По сравнению

с предыдущим уравнением в левой части последнего

фигурирует перенос кинетической энергии пульсациями, а в правой

части последнее слагаемое характеризует переход кинетической энергии среднего движения в энергию турбулентных возмущений.

Если провести осреднение уравнения (3.43) по такому же интервалу
времени,	как	и	(3.44)	имея	в	виду,	что

E = E + EТ ,

V = V + V ′,

F = F + F ′ ,

и т.д.,

а

затем

из

полученного выражения почленно вычесть уравнение (3.44), то

окажется

∂EТ

∂

∂V

+

(E V

+ 0.5

V

′V ′V

′ + P′V ′σ

− V ′τ′ ) =

V

′F ′−

−

V ′

V ′

i

.

ρ

ρ

ρε

v

ρ

i

∂t

Т j

i

j

j

j ij

i

ij

i

i

j

∂x j

∂x j

(3.45)

Это уравнение баланса

энергии

турбулентности

характеризует

изменение во

времени

плотности

этой

энергии

E

= 0.5

V

'V ' .

Т

ρ

i

i

Слагаемые в скобках левой части уравнения обозначают перенос

EТ

осредненным течением, потоки энергии, вызванные турбулентными пульсациями скорости течения, пульсациями давления и

молекулярной вязкостью.			Слагаемые правой	части	уравнения
выражают	изменение		турбулентной энергии за		счет работы
пульсаций внешних сил, за счет диссипации под действием вязкости
и перехода	энергии	осредненного движения в турбулентное или в
обратном направлении.		Слагаемое

∂V

′

∂V j' 2

ρκ

i

ρε v

=

+

(3.46)

∑

2

ij

∂x j

∂xi

представляет собой	среднюю	удельную	диссипацию	энергии
пульсационного движения под		действием	вязкости, практически
всегда подлежащую	определению в уравнении баланса			энергии
турбулентности.
Следует обратить внимание на последнее слагаемое в правой части
уравнений (3.44) и (3.45). Оно		входит в них с противоположными

знаками. Если оно отрицательное, то вызывает уменьшение кинетической энергии осредненного движения и увеличение энергии турбулентности, т.е. характеризует переход кинетической энергии осредненного движения в энергию турбулентности. При положительном значении этого слагаемого происходит переход

75

энергии от пульсационного движения к осредненному. Такое явление в природных условиях имеет место как в атмосфере, так и в океане. Оно получило название отрицательной вязкости в случае, когда крупномасштабные возмущения типа синоптических вихрей

Библиотека сайта www.fluger.org

Библиотека сайта www.fluger.org

накапливают энергию, поступающую от внешних источников (от атмосферы в виде напряжения трения ветра, солнечной энергии, речного стока и т.д.), а затем передают ее осредненному движению. Данные наблюдений за изменениями скорости течения и градиентами осредненной скорости течения в Гольфстриме при его взаимодействии с мезомасштабными вихрями показали, что здесь такой характер обмена энергии может иметь место.

При применении уравнения (3.45) для изучения океанологических процессов оно может быть упрощено. В нем пренебрегается переносом энергии, обусловленной турбулентными пульсациями давления и вязкими напряжениями. Кроме того, из-за существенно большей однородности океана в горизонтальном направлении, чем в вертикальном, обычно учитывают изменение энергии только по глубине. В результате уравнение (3.45) приобретает упрощенную

форму

∂в

∂

∂

∂

u

v

(в

+ в′w′) = g ′w′ − ε

+

w

− u′w′

+ v′w ′

,

(3.47)

∂z

∂z

∂t

v

∂z

в = EТ /

где

ρ

,

g ′ = gρ′ /

ρ

= F3′ .

В уравнении (3.47) в качестве внешней силы F' учтена только плавучесть g'. Вместо работы архимедовой силы может использоваться безразмерное потоковое число Ричардсона Rf

g ′w′

Rf =

.

(3.48)

u′w′∂

u

/ ∂z + υ′w′∂υ

/ ∂z

Оно определяет

долю

энергии

турбулентных пульсаций, которая

расходуется при устойчивой стратификации или

освобождается

при неустойчивой

стратификации

за

счет

превращения

потенциальной энергии в кинетическую.

Если выразить

произведение

пульсаций

через

коэффициент

турбулентного обмена и градиент осредненной характеристики, то уравнение баланса энергии турбулентности (3.47) приобретает вид

∂в		∂в				∂
			w
	+				−		K
∂t		∂z
						∂z		вz

∂в
		= K
∂z			xz

∂u 2

∂z

					2
		∂υ
+ K						(1 − Rf ) − ε		. (3.49)
	yz	∂z					v

Здесь Kвz	- вертикальный коэффициент турбулентного переноса
энергии.
В ряде	случаев целесообразно вместо	Rf	пользоваться
обычным
76

числом Ричардсона

Библиотека сайта www.fluger.org

Библиотека сайта www.fluger.org

∂ρ

g

Ri =

∂z

(3.50)

2

2 .

ρ

∂

u

∂υ

+

∂z

∂z

Связь между ними выражается через соотношение коэффициентов

диффузии	массы Kρz	и количества движения			при условии, что
Kxz = K yz	= K :	Rf =	Kρz
				Ri .	(3.51)
			K

Вуравнении (3.49) показано, что локальное изменение энергии турбулентности происходит за счет ее переноса по вертикали упорядоченной скоростью и турбулентным перемешиванием, за счет генерации из осредненного движения, плавучести, a также в результате её диссипации во внутреннюю энергию.

Вкакой-то степени уравнение баланса (3.49) представляется формальным, поскольку в нем содержится несколько неизвестных. Наибольшая трудность связана с определением скорости

диссипации			энергии турбулентности				ε v .	При	отсутствии
наблюдений			за пульсациями скорости ее				нельзя	вычислить по
формуле		(3.46).		Потому предпринимались попытки					составить
уравнение			по	аналогии	с	уравнением		баланса		энергии
турбулентности, в которой ε v являлась бы функцией от тех										же сил,
что и в уравнении для в. Их идеология представлена в									монографии
[3]. Однако при этом приходиться вводить ряд гипотез о									выражении
слагаемых,		содержащих пульсации,				через средние		характеристики.
При	этом		появляются		коэффициенты пропорциональности,
принимаемые			за	постоянные и		определяемые по			результатам

экспериментов. В частности, при тех же упрощениях, которые использовались при записи уравнения баланса энергии в форме (3.49), уравнение для диссипации энергии турбулентности имеет вид

∂

2

2

dε

∂ε

ε

∂v

v

v

v

∂u

g ∂ρ

=

K

+

c K

+

− c

ε

+ c

K

.

dt

∂z

zε

∂z

в

1

∂z

2

v

3

zρ

ρ ∂z

∂z

(3.52)

По разным экспериментальным данным с1=1.38-1.44, c2=1.40-1.92,

c3=0.8-1.40. В этом

уравнении

полагается,

что Kxz = K yz

= K .

Коэффициенты

турбулентного

обмена

для

потоков

в и

ε v

выражаются через кинематический коэффициент вязкости K и число Шмидта ScT :

KВz = KВz = K / Sc Т .

77

Библиотека сайта www.fluger.org

Библиотека сайта www.fluger.org

Для дальнейшего замыкания системы уравнений (3.49) и (3.52) вводится соотношение, получаемое из соображений размерности

K = cв2 / ε v ,	(3.53)
где с= 0.08 - 0.09 .
Наличие большого числа экспериментальных	параметров

свидетельствует о том, что теория определения баланса энергии турбулентности и ее диссипации по осредненным значениям океанологических характеристик нуждается в дальнейшем развитии.

Это тем более важно, поскольку					как в,	так	ε v	меняются в очень
широких пределах.
	Энергия	турбулентности		зависит		от	интервала		осреднения
скорости		течения, поскольку		с	его	увеличением			учитываются
большие значения скоростей.				Поэтому такую зависимость принято
представлять в			виде изменения		спектральной			плотности энергии
от	масштаба		турбулентности.		Скорость		диссипации меняется в

меньших пределах, но принять какое-то ее среднее значение нельзя. По данным различных источников, обобщенных в книге [2], наиболее интенсивно энергия турбулентности переходит во внутреннюю в мелководных районах моря и в поверхностном волновом слое, где диссипация, приходящаяся на единицу массы

воды, в среднем составляет10−4			− 10−6 м2 / c 3 .
В верхнем	100-метровом слое, где развиты				дрейфовые течения,
конвекция	и	волны,	скорость		диссипации		ε v
составляет10−6 − 10−7 м2 / c 3 . В глубоководных участках океана							ε v
уменьшается	до 10−7	− 10−8 м2	/ c 3 . Более		детальное	описание
турбулентных	возмущений различных			субстанций,		энергии	и
диссипации возможно на основе спектров их распределения.
Уравнение (3.49) в		упрощенном виде		часто используется			для

определения кинематического коэффициента турбулентного обмена. При этом обычно считается, что турбулентность находится в установившемся состоянии и поток энергии в в вертикальном

направлении отсутствует,	что приводит к нулевому значению
левой части уравнения.	Следовательно,

2

2

∂u

∂v

K

+

(1 − Rf ) = ε

v

.

(3.54)

∂z

∂z

Как правило, определить

значение ε v

по формуле (3.46)

невозможно из-за отсутствия данных измерений пульсаций скорости. Поэтому часто используется соотношение, полученное из соображений размерности:

78

Библиотека сайта www.fluger.org

= 0.046 .

Библиотека сайта www.fluger.org

K 3

ε v	=		,	(3.55)
		c4 l 4
где с-экспериментальный	параметр.			По данным различных

исследованний он меняется в широких пределах, но чаще всего

принимается с−4

Если масштаб турбулентности l известен, то при использовании формул (3.54) и (3.55) значение K легко находится. В данном случае K зависит от генерации энергии турбулентности осредненным течением, архимедовой силой и от диссипации энергии турбулентности. Если Rf=1, то, согласно уравнению (3.54),

турбулентность отсутствует. Чаще считают,		что турбулентность	в
стратифицированном	океане отсутствует,	если фактическое	Rf
меньше критического	значения Rfк .	Согласно теории

гидродинамической устойчивости, течение расслоенной жидкости

оказывается устойчивым относительно		бесконечно	малых
возмущений, если во всех	его точках	Ri < 1/4 [3] . При этом,
согласно формуле (3.51), Rfк	может существенно отличаться от Riк,
поскольку не всегда Kρz = K.

3.5.Спектральная плотность турбулентных

характеристик

Поля гидрологических характеристик в турбулентном потоке в любой момент времени t можно рассматривать как случайные и к их

описанию	следует подходить с точки			зрения теории		случайных
процессов.	Выше уже отмечалось,		что не всегда		выполняются
условия,	позволяющие трактовать			среднее		значение
гидрологической		характеристики	как	математическое		ожидание.
Очень трудно		также описать	распределение		вероятностей

пульсационных значений даже таких скалярных элементов, как

температура и соленость морской воды.

Причиной тому служат

не

только многомасштабность

и

пространственная

неоднородность

турбулентных пульсаций, их изменчивость

во

времени, но

и

преимущественное использование рядов наблюдений,

выбранных

по коротким временным интервалам.

В

теории турбулентности

важно

знать

закономерность

изменения масштаба

гидрологических

характеристик,

так как

от

него

зависит значение турбулентных потоков субстанций. Для этого

используется понятие

спектральной

плотности

пульсаций

соответствующих характеристик.

Кроме

того,

со

спектральной

плотностью

связана корреляционная функция R между пульсациями,

по

сути

описывающая

нормированный

поток

турбулентной

субстанции.

Действительно, корреляционная функция

пульсаций

79

скорости течения можно представить в виде

Библиотека сайта www.fluger.org

Библиотека сайта www.fluger.org

Rij	(	x,t ; x + r ,t +	t	)	(	)	(	x + r ,t +	t	)	. (3.56)
					= Vi′ x,t		V j′

При r = 0 и t = 0 эта функция описывает напряжения Рейнольдса, а тензор Rij представляет собой тензор напряжений Рейнольдса,

деленный на среднюю плотность (3.14). Аналогичным образом выражаются корреляционные функции пульсаций температуры и солености

RT

(

x,t ; x + r ,t +

t

)

(

)

(

t

)

.

(3.57)

= T ′ x,t

T ′ x + r ,t +

Могут

составляться

корреляционные

соотношения и

с

использованием

гидрологических

характеристик:

произведения

пульсаций

скорости и температуры, пульсаций скорости и солености

и т.д.

Спектральная плотность

потока

F

параметризует

распределение

турбулентного

потока субстанции

либо во

времени,

либо

по

масштабу волновых векторов k , или волновых чисел k

		1	∞
	F( k ,t ) =		∫ R( r ,t )e −i( kr )dr .	(3.58)
		2π
			−∞
	Причем,
			∞
	R( r ,t ) = ∫ F( k ,t )ei( kr )dk .			(3.59)

−∞

Следовательно, если известна спектральная плотность субстанции, то по ней можно определить корреляционный момент и в принципе турбулентные потоки этих субстанций.

Выше уже отмечалось, что океаническая турбулентность

характеризуется	тем,	что	в области малых масштабов
(мелкомасштабная турбулентность)			она практически однородна и

изотропна или квазиизотропна. Это означает, что коэффициент корреляции одинаков по всем направлениям и зависит только от

сдвига по времени		или расстояния между пульсациями субстанций
и не зависит от координаты.				Чаще турбулентность считают локально-
изотропной.	В		области		средней и		крупномасштабной
турбулентности пульсации				субстанций		становятся существенно
неизотропными:		их	горизонтальные			значения много больше
вертикальных.
Наиболее	изучена				мелкомасштабная		изотропная

турбулентность. Академики А.Н. Колмогоров и А.М. Обухов

установили,	что энергетический		режим	изотропной
турбулентности стационарен.		Это означает,	что	в области ее
масштабов энергия	поступает	путем каскадной трансформации
кинетической энергии от крупномасштабных вихрей,				существующих
80

Библиотека сайта www.fluger.org

Библиотека сайта www.fluger.org

за ее пределами. Расход поступившей кинетической энергии осуществляется диссипацией во внутреннюю за счет вязкости в самых мелких вихрях.

А.Н. Колмогоров предложил выделить в области мелкомасштабной турбулентности вязкую подобласть, в которой происходит диссипация кинетической энергии во внутреннюю со скоростью εv за счет вязкости, определяемой кинематическим

коэффициентом κ. Из этих параметров на основании размерности составляются “ внутренние “ масштабы турбулентных флуктуаций l1 и время их жизни t1,

κ

3

1 4

κ

1 2

l

=

,

t

=

.

(3.60)

1

ε

v

1

ε

v

При характерных

значениях

κ ≈ 10−2 см2 / c и ε v ≈ 10−2 см2 / c 3

оказывается, что O(l 1 ) ≈ 10−1 см и

O( t1 ) ≈ 1c.

В соответствии

с гипотезой Колмогорова за вязкой подобластью в

сторону больших

масштабов

следует инерционная

подобласть.

Полагается, что в ней на турбулентность не влияет ни вязкость, так как турбулентные возмущения уже довольно большие, ни плавучесть. В этой подобласти энергия турбулентности передается от вихрей большего масштаба к вихрям меньшего масштаба в результате их каскадного дробления. Статистические характеристики турбулентности в нем определяются единственным размерным параметром - скоростью диссипации энергии турбулентности ε v .

Полагается, что ε v равна скорости поступления энергии из

подобласти с еще большими размерами турбулентных флуктуаций. Характерный масштаб турбулентности в инерционной подобласти

l 2 может быть определен по радиусу корреляции (рис.3.2)

	1			∞
l 2	=			∫ R( r )dr .	(3.61)
		σ	2
				0

Из рис.3.2 следует, что О( l1 ) составляет 100 − 101 см.

Следующий по масштабу турбулентности считается подобласть

плавучести. В ней статистические характеристики							турбулентности
зависят как	от ε v ,	так и от плавучести, определяемой упрощенной
				/ ∂z ) .	В связи с большими масштабом
формулой B = ( g / ρ )( ∂ρ
флуктуаций	роль	молекулярной			вязкости	невелика и она не
принимается во внимание. Из параметров B и						ε v	на основании
размерности составляется масштаб
		l 3 = ε1 2 v B −3 4 .					(3.62)
							81

Библиотека сайта www.fluger.org