Доронин Ю.П. Физика океана

Библиотека сайта www.fluger.org

h

2

dv

2

∫

du

Gv

=

K

+

dz.

(4.78)

dz

dz

0

Если полагать, что профиль скорости течения в пределах квазиоднородного слоя обусловлен дрейфовым течением, то при постоянстве К по вертикали скорость установившегося дрейфового течения в океане выражается формулами

	u(z) = e− z		ω z / K [(τ x + τ y )cos(z ω z / K )+ (τ x − τ y )sin(z		ω z / K )],
		2ρ ω z K
	v(z) =	e− z	ω z / K	[(τ y − τ x )cos(z ω z / K )+ (τ x + τ y )siin(z ω z	/ K )],
		2ρ ω z K
				(4.79)
	где τ x , τ y		- напряжения трения ветра по осям координат x и y,

ω z = ω sin ϕ.

Использование этих скоростей течения в формуле (4.78) позволяет получить

G

v

= u

u

2

+ v v2

− u

u

2

− v v2

,

(4.80)

0

0

0 0

h

h

h h

где u

2

= τ x

/ ρ,

v2

= τ y

/ ρ - динамические скорости по координатам

x и y на горизонтах 0 и h,

u0 , uh , v0 , vh – составляющие скоростей течения на горизонтах 0 и h.

Правая часть формулы (4.80) зависит от напряжения трения ветра и легко вычисляется.

Работа архимедовой силы

h

g

g

h

∂ρ

gh

∂ρ

∂ρ

G A = −∫

ρ′w′dz =

∫ K

dz ≈

K

h

+ K

0

− wh

Δρ .

0

ρ

ρSc

0

∂z

2ρSc

∂z

∂z

(4.81)

Плотность воды в перемешанном слое меняется слабо по вертикали, поэтому по теореме о среднем интеграл представлен полусуммой подынтегрального выражения при верхнем и нижнем пределах. Дополнительное слагаемое введено из-за того, что при росте h со скоростью wh происходит вовлечение в перемешанный слой некоторой массы воды с другой плотностью, отличающейся на Δρ от

плотности в слое вынужденной конвекции на горизонте h. Вовлечение более плотной воды всегда уменьшает GA .

142

При линеаризированном уравнении состояния

Библиотека сайта www.fluger.org

Библиотека сайта www.fluger.org

∂ρ		∂S		∂T
	= β		− α		.	(4.82)
ρ∂z		∂z		∂z

Следовательно, работа архимедовой силы может быть представлена выражением

gh

αΦ

T

αΦ

T

G

=

− Φ

+

− Φ

− w

Δρ ,

(4.83)

A

C

S

C

S

h

2ρ

h

0

где ФT и ФS – потоки тепла и соли на границах слоя.

Диффузия энергии турбулентности

h

d

Gk = ∫

(

)dz

в′w

′

(4.84)

0

dz

определяется потоками энергии турбулентности через границы слоя. На поверхности океана поток энергии обусловлен разрушением волн. Обычно предполагают, что его величина пропорциональна энергии ветра, передаваемой волнам. По экспериментальным данным

G	ω	≈ c	ρ V 3	/ ρ,	(4.85)
		a	a a

где са – безразмерный параметр, зависящий от турбулентности волнения и от обрушения волн.

В главе 3 было отмечено, что диссипация энергии турбулентности −очень трудно определяемая характеристика. Из полуэмпирической теории турбулентности следует, что ε = cK 3 / l4 . Если ограничиться теорией Кармана при оценке K и l , то окажется, что при отсутствии потока диссипируемой энергии за пределы слоя конвекции

						h		τ		3
						Gd = ∫εdz = b		0	,			(4.86)
						0		ρ
где b=	2 CE					τ 0 = (τ x )	2	(τ y )			2
					,		+				.
	3(2ω		K)	3/ 2
		z

При перечисленной трактовке слагаемых уравнения баланса энергии турбулентности оно приобретает вид

G

+

gh

(

Φ

− Φ

)+ G

− G

=

gh

Δρw

, (4.87)

v

ρh

ρ0

ω

d

h

2ρ

2ρ

где Φρh

=

αΦ Th

− Φ Sh ,

Φρ0

=

αΦT 0

− Φ S 0

– потоки плотности

C

C

на горизонтах h и 0.

Если вовлечение

нижнего слоя

в

турбулизированный не

143

принимается во внимание, то

Библиотека сайта www.fluger.org

h = (Gv + Gω − Gd )

g

(Φρ0

2ρ

Если же wh

≠ 0, то

w

=

dh

=

2ρ

(G

+ G

− G

)+

h

v

ω

dt

ghΔρ

d

−1

−Φρh ) .

Δρ1 (Φρh − Φρ0 ).

Библиотека сайта www.fluger.org

(4.88)

(4.89)

Из выражения (4.89) следует, что чем больше перепад плотности между перемешанным слоем и подстилающей водой, тем медленнее происходит заглубление. Влияние механических факторов на рост h уменьшается с ростом толщины перемешанного слоя.

При той же гипотезе горизонтальной однородности океана и неизменных по вертикали в перемешанном слое температуре T0 и S0 они определяются из тех же уравнений диффузии тепла и соли, которые использовались при описании свободной конвекции (4.68)- (4.69) или в упрощенном виде (4.71)−(4.72).

Вертикальные потоки тепла и соли к нижней границе перемешанного слоя вычисляются, в принципе, по известным значениям вертикальных градиентов и коэффициентам турбулентного перемешивания этих субстанций. Однако в большинстве случаев последние редко бывают известными. Поэтому используются различные вспомогательные приемы для определения этих потоков [10]. Наиболее простым из них является использование средних температуры и солености в пределах термоклина глубже перемешанного слоя. В этом случае представляется, что изменение T и S описывается уравнением

∂T

∂

∂T

=

K

.

h ≤ z ≤ H

(4.90)

∂t

∂z

T

∂z

Из него следует

H

∂T

∂

H

∂h

∂T

ΦTh

∫

dz =

∫Tdz + Th

= KT

H +

.

(4.91)

∂t

∂t

∂z

h

∂t

h

C

p

ρ

Если ввести

H

1

T = ∫Tdz , (4.92)

H − h h

то при неизменности H и отсутствии потока тепла на нем выражение (4.91) переписывается в виде

144

Библиотека сайта www.fluger.org

Библиотека сайта www.fluger.org

Φ Th

∂T

∂h

=

(

H − h

)

+ (Th

− T )

Cρ

.

(4.93)

∂t

∂t

Аналогичным образом получается выражение для определения потока соли

	Φ Sh	= ( H − h)	∂S	+ (S		−		)	∂h	.
					h		S				(4.94)
	ρ		∂t						∂t

Если разрыва температуры и солености на нижней границе слоя вынужденной конвекции не существует, то Th = T0 и Sh = S0 . Обычно это положение в океане выполняется и его использование существенно упрощает предвычисление характеристик перемешанного слоя. Для нахождения средних температуры и солености в термоклине используются либо дополнительные параметризации, либо сведения об их изменениях, основанные на законах изменения этих характеристик за пределами квазиоднородного слоя. Свободная и вынужденная конвекция могут существовать одновременно. В этом случае толщина слоя h определяется действием более мощной конвекции. Могут они действовать разновременно, например, летом днем преобладает вынужденная конвекция, а зимой ночью – свободная (рис. 4.13).

Рис.4.13. Толщина и температура квазиоднородного слоя в 1967 -1968 гг (ст. November) 1−по данным измерений;

2 − рассчитанные.

145

Библиотека сайта www.fluger.org

Библиотека сайта www.fluger.org

4.7. Изменение температуры и солености морских течений

Большая часть морских вод не остается неподвижной, а под действием различных факторов перемещается в пространстве, соприкасаясь при этом с водами, различающимися по своим гидрологическим характеристикам, в том числе по температуре и солености. Поверхностные слои течений соприкасаются с атмосферой, также характеризующейся различными метеорологическими условиями как во времени, так и в пространстве. Тепловое взаимодействие течений с атмосферой и окружающими водами, обмен влагой и солями приводит к изменению температуры и солености течений. Эти изменения принято называть термической и соленостной трансформацией вод.

Различают два вида трансформации водных масс: 1) стационарную, когда температура и соленость воды не меняются во времени, а изменяются только в пространстве, в данном случае вдоль и поперек струи течения; 2) нестационарную, когда эти океанологические характеристики меняются еще и во времени.

Чтобы познакомиться с закономерностями изменения температуры и солености воды в течениях следует учесть, что обычно у них глубина течения D на два порядка величины меньше ширины. Поэтому в них основной обмен теплом и солями с окружающей средой происходит через верхнюю и нижнюю поверхности. В простейшем случае общий характер трансформации наиболее легко оценить на примере стационарной трансформации всего слоя течения вдоль его стрежня. Если рассматривать изменение солености, то оно может быть описано уравнением диффузии

	∂S	=	∂		∂S
u				KS		,	(4.95)
	∂l		∂z		∂z

где u – скорость движения воды в направлении l .

На границе с атмосферой поток соли зависит от разности масс воды за счет осадков и испарения M, т.е.

	KS	∂S		z =0 =	S ∂M			,	z=0	(4.96)
		∂z			ρ		∂t

На нижней границе течения поток соли пропорционален разности соленостей течения и подстилающей воды, а также относительной скорости течения

∂S
KS ∂z z = D = CS u(S1 − S ),	(4.97)

146

где CS – коэффициент солеобмена,

Библиотека сайта www.fluger.org

Библиотека сайта www.fluger.org

S1 – соленость подстилающей воды .

После интегрирования уравнения (4.95) по всей толщине течения D и учета граничных условий (4.96) и (4.97) получается выражение

∂S

+ a S = bS1 ,

(4.98)

∂l

1

1 ∂M

CS

u

где a =

C

u +

,

b =

.

ρ ∂t

uD

S

uD

В этом уравнении под S обозначена соленость, осредненная по всей толщине слоя течения.

Решение уравнения (4.98) при исходной солености S H может быть представлено в виде

l
S(l) = S H e−al + ∫be−a(l− x)dx .	(4.99)

0

Первое слагаемое полученного решения характеризует изменение начальной солености течения в результате солеобмена как с нижележащей водой, так и с атмосферой. Второе слагаемое выражает вклад солеобмена с подстилающей водой.

Для того чтобы было легче проанализировать влияние различных факторов на изменение солености, целесообразно принять неизменными толщину и скорость течения, а также соленость нижележащей воды. Если к тому же считать, что испарение и осадки компенсируют друг друга, т.е. M = 0, то из (4.99) следует

C

S

ul

C

S

l u

S(l) = S H exp

−

+ S

1

1

− exp

.

(4.100)

uD

uD

Из полученного выражения видно, что соленость течения изменяется от ее начального значения Sн до солености подстилающей воды S1 по экспоненциальному закону. Это изменение происходит тем быстрее, чем меньше толщина течения.

Если соленость течения меняется только за счет разности осадков и испарения, то

					l		∂M
S(l) = S H				−				.	(4.101)
					ρuD		∂t

147

Она растет при преобладании испарения над осадками ∂M / ∂t < 0 и убывает в обратном случае ( ∂M / ∂t > 0 ). Зависимость от толщины

Библиотека сайта www.fluger.org

Библиотека сайта www.fluger.org

слоя и от пройденного расстояния l такая же, как и в формуле (4.100), т.е. с увеличением пройденного расстояния соленостная трансформация течения возрастает.

Закономерность изменения температуры течения аналогична изложенным положениям трансформации солености. При записи уравнения теплового баланса поверхности течения в виде формулы (4.43), а теплообмена между течением и подстилающей водой формулой, аналогичной (4.97), значение температуры, средней по глубине течения, можно представить выражением, аналогичным

(4.99). При этом

1

R

1

Ψ

a =

C

u +

,

b =

C

u +

.

CρT

uD

T

Cρ

uD

T

1

Отличие от приведенных выше формул будет иметь место только при учете термической трансформации за счет теплообмена с атмосферой. В этом случае вместо формулы (4.101) необходимо пользоваться выражением

				Rl		Ψ			Rl
T (l) = T H exp −					+		1 − exp −			.	(4.102)
				CρuD		R			CρuD

Из формулы (4.102) видно, что средняя температура течения в

данном случае изменяется от ее начального значения T Н до величины, определяемой соотношением Ψ / R.

В том случае, когда необходимо знать распределение температуры течения по вертикали, оно может быть описано выражением (4.49), если в нем сделать замену t на x/u. При этом начальное значение температуры относится к x = 0.

Аналогичным образом вертикальный профиль солености воды при установившейся трансформации может быть описан выражением

(4.53) при t = x/u.

Все основные закономерности изменения температуры и солености с глубиной остаются теми же, что изложены при рассмотрении нестационарной трансформации неподвижной воды.

На рис. 4.14 показан характер изменения с расстоянием интенсивности тепловой трансформации движущейся воды, обусловленный потоком тепла из атмосферы. Наиболее сильно трансформируется поверхностный слой течения, а с глубиной изменения температуры уменьшаются. В начале пути трансформация поверхностной воды максимальна, затем вдоль стрежня скорость изменения температуры постоянно убывает из-за вовлечения в

148

Библиотека сайта www.fluger.org

Библиотека сайта www.fluger.org

Рис.4.14. Изменение температуры движущейся воды за счет

теплообмена с атмосферой.

теплообмен более глубоких слоев воды. Таков же будет характер соленостной трансформации течения, если заменить на оси ординат рисунка тепловые характеристики на соленостные. При этом следует иметь в виду, что пример приведен для устойчивой плотностной стратификации течения. Если в нем возникает конвекция, то закономерности трансформации будут несколько иные, зависящие от толщины слоя конвективного перемешивания.

Выше было отмечено, что отношение вертикального размера течения к горизонтальному составляет величину порядка 10-2 или менее, поэтому трансформация течения в результате бокового турбулентного обмена с окружающей водой происходит существенно слабее, чем через верхнюю и нижнюю поверхности. Тем не менее следует охарактеризовать роль боковой трансформации. Наиболее просто это сделать для случая установившегося процесса. Если рассматривать, например, влияние бокового теплообмена посредством турбулентного перемешивания, то изменение температуры при этом описывается уравнением

	∂T	= K	∂2 T			0 ≤ y ≤ Y
u					,		(4.103)
	∂x		∂y	2

где y – ось поперек течения с началом на его стрежне, Y – координата границы течения,

Кг−интенсивность горизонтального турбулентного перемешивания вдоль оси y.

Целесообразно считать, что изменения температуры происходят в обе стороны от стрежня, на котором, следовательно, существует перегиб, т.е.

149

Библиотека сайта www.fluger.org

Библиотека сайта www.fluger.org

∂T	y =0 = 0.	(4.104)
∂y

Вторым, наиболее логичным краевым условием на границе течения принимается равенство потоков тепла и температур соприкасающихся вод, т.е.

CρK	∂T			Y = CρK2	∂T2			Y	= ΦY , T = T2	при y = Y. (4.105)
	∂y				∂y

Если теплообмен течения с сопредельной водой ФY известен, то решение такой задачи не отличается от уже рассмотренных и может быть представлено в виде

x

1

x / u

x

∫

T

, y

= T +

Φ

− ξ ϕ(ξ, y)dξ

u

H

CρY

Y u

0

∞

nπy

где ϕ(ξ

, y) = 1 + 2∑

(

)n

cos

exp

−

− 1

n=1

Y

,

(4.106)

n	2	π	2	K	ξ
							,
		Y 2

ТН – начальное значение температуры при x = 0.

Из полученного выражения видно, что изменение температуры течения пропорционально боковому потоку тепла, пройденному пути, зависит от коэффициента горизонтальной температуропроводности и ширины течения.

В более общем случае, когда поток тепла ФY не известен, так как в результате трансформации меняется и температура окружающей воды, необходимо оценивать изменение последней. Если она движется, то для описания взаимной трансформации вод необходимо привлекать дополнительное уравнение типа (4.103), но с возможно другой скоростью течения и с другим коэффициентом К2 . Если же окружающая вода неподвижна, то принимается условие t = x/u, т.е. на каждом отрезке пути x течение соприкасается с водой, которая уже некоторое время t трансформировалась. Решение трансформации течения в таких условиях может быть представлено выражением

∞

−

n

T − T

1

K

K

2

H

=

∑

erfc

T2 − TH

1 + K

/ K

2

n=0

K

+

K

2

(2n + 1)Y − y						(2n + 1)Y + y
					+ erfc						,
2 K			x / u			2 K			x / u

(4.107)

где Т2 – неизменная температура окружающей воды вдали от границы течения (рис. 4.15).

150

Библиотека сайта www.fluger.org

Библиотека сайта www.fluger.org

Рис.4.15. Изменение температуры струи течения за счет теплообмена с окружающими водами на различных расстояниях от оси y/Y = 0; 0,5; 1,0. (штриховая линия− ФY=Const.).

Скорость изменения температуры воды, согласно формуле (4.107), при прочих равных условиях меньше, чем по формуле (4.106). Это обусловлено тем, что в последнем случае изменяется температура не только течения, но и окружающих вод, в результате чего тепловая ширина струи как бы увеличивается по мере ее продвижения вперед. В качественном отношении такой характер изменения температуры соответствует наблюденному у всех течений, как теплых (например, Нордкапское, Куросио), так и холодных (например, ВосточноГренландское, Перуанское). В качественном же отношении могут быть отличия из-за того, что теплообмен с окружающей средой происходит одновременно как в вертикальном, так и в горизонтальном направлении. Кроме того, происходит постоянное меандрирование течения, существенно усиливающее теплообмен.

Изложенные закономерности изменений температуры и солености в течениях справедливы и в тех случаях, когда тепло- и солеобмен происходит одновременно во всех направлениях, а трансформация оказывается нестационарной. Аналитическое решение при этом оказывается очень сложным либо его вообще не удается получить. Поэтому на практике уравнения диффузии тепла и соли при изучении характера формирования полей температуры и солености решаются численно. Но и в этом случае возникают трудности, связанные с устойчивостью и сходимостью решения. Чтобы упростить процедуру численного решения часто используются методы расщепления, при которых уравнение диффузии разбивается на слагаемые, каждое из которых содержит одно или несколько факторов, влияющих на изменение температуры и солености. Чаще всего выделяются адвекция и турбулентная диффузия тепла и соли. Например, уравнение теплопроводности представляется суммой трех разностных уравнений

151

Библиотека сайта www.fluger.org