6666

x1 , x2 ,..., xn , ,

		u1		u2	...	un	– необходимое условие максимизации функции по-
		P1		P2		Pn

лезности.

Экономическая интерпретация условия состоит в следующем: потребитель приобретает набор, имеющий для него максимальную полезность при условии, что предельная полезность денежной единицы равна предельной полезности каждого товара, приобретаемой за одну денежную единицу.

Решая систему уравнений, находим значения переменных

при которых потребитель приобретает набор, имеющий для него максимальную полезность.

Достаточное условие максимума функции полезности

n		z					z
dU				dxi		- полное приращение полезности dU 0 , при		0 . Это
i 1 xi							xi
следует из необходимого условия.
Достаточное условие оптимального положения потребителя в экономике
имеет вид:
						n n
						d 2U 0 , d 2U uij dxi dx j ,
						i 1 j 1
где uij					2 u	вторые частные производные.
			xi		x j

Выполнение достаточного условия означает, что найденный набор действительно является наилучшим для потребителя.

ТЕМА 4. КРИВЫЕ «ДОХОД-ПОТРЕБЛЕНИЕ» И «ЦЕНАПОТРЕБЛЕНИЕ»

1. Кривая «доход-потребление». Кривые Энгеля

Индивидуальный спрос рационального потребителя на товары определяется координатами точки, характеризующими оптимальный выбор. В свою очередь количество приобретаемых товаров зависит от их цен, полезности товара для потребителя и его дохода. Поэтому спрос на каждый товар является функцией цен приобретаемых потребителем товаров, дохода и общей полезности набора. Рассмотрим изменение оптимального положения потребителя при изменении его дохода. Цены товаров и предпочтения остаются неизменными.

Бюджетная линия занимает исходное положение K1L1 (рис. 19). Оптимальный товарный набор соответствует точке E1 . Доход потребителя увеличивается при неизменных ценах. При этом бюджетная линия смещается параллельно вправо вверх, в положение K2 L2 , а оптимум потребителя - в точку E2 . При дальнейшем увеличении дохода бюджетная линия перемещается па-

47

раллельно в положение K3 L3 , а точка оптимума, соответственно, смещается в точку E3 . Таким образом, с ростом дохода растет и спрос.

Соединим все оптимальные точки потребителя, отражающие рост его дохода E1 , E2 , E3 , плавной линией и получим кривую «доход-потребление».

Так она названа Дж. Хиксом. В американской литературе она получила

название кривой уровня жизни. Кривая имеет положительный наклон, т.е.

x 0 .M

Если кривая «доход – потребление» является прямой линией, выходящей из начала координат, то потребитель в некоторой пропорции постоянно с ростом дохода увеличивает потребление одного и другого товара. Тогда y nx, M xPx nxPy , M x(Px nPy ) , наклон равен (Px nPy ) . Если кривая «до- ход-потребление» – луч, выходящий из начала координат под углом 45º, это значит, что с ростом дохода наш потребитель в пропорции 1:1 увеличивает потребление и блага x , и блага y . Такую форму кривая «доход – потребление» имеет в случае товаров совершенных комплементов.

Если же покупки увеличиваются не пропорционально, то изменяется наклон кривой. В нашем примере на рис. 19 потребление товара y растет быстрее потребления товара x . Но ситуация изменяется, и рост потребления товара y относительно потребления блага x постепенно снижается.

Если с ростом дохода потребление блага y увеличивается, а блага x уменьшается, то это означает, что благо x – товар низшего качества. Кривая «доход-потребление» для инфериорного товара на отрезке E2 E3 имеет отри-

цательный наклон x 0 (рис. 19).

M

y

K3

E3

U3

K2

E2 U2

K1

E1	U1
0		x
L1	L2	L3

Рис. 19. Кривая «доход-потребление» для инфериорного товара (низшего качества)

Если товары – совершенные заменители, то с ростом дохода растет по-

48

требление более дешевого товара. Тогда кривая «доход – потребление» представляет собой прямую линию, проходящую через оптимальные наборы, расположенные на оси, по которой откладывается количество относительно более дешевого товара. Например, если товар y не покупают (он более дорогой), то M xPx . Наклон линии равен Px .

2. Кривые Энгеля для различных товаров

Кривая «доход – потребление» используется для выявления влияния изменения дохода на потребление каждого товара в оптимальном наборе. С ростом реального дохода изменяется структура потребления: потребление одних благ растет быстрее, других медленнее, объем потребления третьих не изменяется и т.д. Первым исследователем, выявившим влияние изменения дохода на структуру потребительских расходов, был немецкий экономист Э.

Энгель (1821-1896 гг.).

Кривые Энгеля в современной интерпретации представлены на рис. 20. Доход потребителя M отложен на оси абсцисс, а на оси ординат – количество продукта Q

.

Q

K3

K2

K1

0

I

Рис. 20. Кривые Энгеля

Кривая K1 характеризует потребление продовольственных товаров и товаров первой необходимости. Спрос на них растет медленнее дохода, что свидетельствует о высоком уровне удовлетворения потребностей в этих товарах. Кривая K2 иллюстрирует потребление нормальных товаров. Кривая K3 представляет потребление качественных товаров и предметов роскоши.

Спрос на них растет быстрее дохода.

Экономистами отмечена закономерность: даже после перехода к потреблению высококачественных товаров и услуг происходит изменение спроса на промышленные товары стандартного качества, которые используются потребителем для повседневных нужд.

49

3. Кривая «цена-потребление» и кривая индивидуального спроса

Кривая «доход-потребление» была построена при постоянных ценах благ. Изменялся только доход. Теперь постоянной величиной будет доход потребителя, а переменной - цена одного из благ, например, блага x . Допустим, его цена снижается, т.е. P1 P2 P3 .

y

K

E1	E2		E3
	U1	U2	U3
0			x
	L1	L2	L3
P
P1
P2
P3			D

0
Q1	Q2	Q3	Q
Рис. 21. Кривая «цена-потребление»
Бюджетная линия сдвигается из положения KL1			в положение KL2	(рис.
21). Дальнейшее снижение цены отражает кривая KL3 . Обозначив касание
кривых безразличия U1 , U2 , U3	с бюджетными линиями точками E1 , E2 ,			E3 и

соединив их плавной кривой, получим кривую «цена-потребление». Она отражает влияние изменения цены на спрос. Точки E1 , E2 , E3 отмечают опти-

мальное положение потребителя в экономике.

На основе кривой «цена-потребление» можно построить кривую индивидуального спроса. На нижнем рис. 21 в системе координат по оси абсцисс откладываем объем Q потребления блага x , а по оси ординат – цену P товара x .

При цене P1 потребление блага x составит Q1 . При ценах P2 и P3 объем потребления блага x составит, соответственно, Q2 и Q3 . Соединив точки, по-

50

лучим кривую индивидуального спроса, характеризующую влияние изменения цены на объем потребления товара.

Кривая индивидуального спроса обладает следующими свойствами:

1.Общая полезность набора, состоящего из одного товара, изменяется по мере движения вдоль кривой спроса: чем ниже цена товара, тем больше общая полезность.

2.В каждой точке кривой спроса потребитель максимизирует общую полезность набора, состоящего из двух товаров, в соответствии с условием

	MRS xy		MU x			Px	. Потребитель максимизирует общую полезность по мере
			MU y			Py
	движения вниз по кривой спроса, где MRS xy							.
		ТЕМА			5.		ЭФФЕКТ ДОХОДА И	ЭФФЕКТ ЗАМЕЩЕНИЯ ПО

Е. СЛУЦКОМУ И ДЖ. ХИКСУ ДЛЯ НОРМАЛЬНЫХ ТОВАРОВ

1. Различие в трактовке реального дохода Дж. Хиксом и Е. Слуцким

Номинальный доход представляет собой сумму денег, которой располагает (может потратить) потребитель на приобретение товаров и услуг. Если изменяется цена хотя бы одного товара (например, понижается), то потребитель сможет купить прежний набор товаров и у него при этом останется часть его номинального дохода. Если номинальный доход не изменяется, а реальный доход возрастает, то потребитель израсходует весь номинальный доход.

Таким образом, если цена товара снижается, то растут благосостояние потребителя и его реальный доход, имеют место два эффекта: эффект замещения и эффект дохода. Эти эффекты различаются для нормальных товаров, товаров низшего качества, комплементов и др. Эффект замещения характеризует изменение спроса, вызванного замещением одного относительно подорожавшего товара другим относительно подешевевшим вследствие изменения цены одного из товаров. Так, если товар дорожает, то его покупают меньше и замещают другим, более дешевым товаром. Эффект дохода представляет собой изменение спроса потребителя вследствие изменения его реального дохода. Так, если цена одного из товаров понижается, то потребитель сможет приобрести на свой номинальный доход больше или одного или обоих товаров.

Е. Слуцкий и Дж. Хикс выделили названные эффекты, используя каждый свое определение реального дохода.

Е. Слуцкий измеряет реальный доход количеством товаров, которое может приобрести потребитель на свой номинальный доход. Если после изменения цены хотя бы одного товара на номинальный доход можно купить столько же товаров, сколько и раньше до изменения цены, то реальный доход потребителя не изменился.

Дж. Хикс измеряет реальный доход потребителя полезностью набора

51

товаров, который может купить потребитель. Если номинальный доход позволяет купить набор той же полезности, что и полезность ранее купленного товарного набора, то реальный доход потребителя по Хиксу не изменился.

2.	Эффекты	дохода и	замещения по	Е.	Слуцкому.	Уравнение
Е. Слуцкого
	Потребитель приобретает набор из двух товаров: X и Y					- нормальные
товары, Px - цена товара X ,			а Py - цена товара Y		(для таких товаров спрос
Dx	, если цена	Px ; спрос	Dy , если цена	Py ). Номинальный доход по-
требителя не изменяется, т.е.			I ном const . При этом предполагается, что цены
всех остальных товаров в экономике остаются неизменными.
	Допустим, что Px , а Py const . Представим ситуацию графически. На

рис. 22 по оси абсцисс отложим количество товара X , по оси ординат – количество товара Y . Исходное положение потребителя представлено бюджетной линией 1, ее уравнение Px X1 PyY1 I , а набор А – оптимальный набор.

Так как цена товара X снижается, то при неизменном номинальном доходе и цене товара Y бюджетная линия 1 перемещается в положение бюджетной линии 2. Уравнение новой бюджетной линии Px Px X 2 PyY2 I , а

оптимальным набором становится набор В .

На рис. 22 рациональный потребитель выбрал набор В . Но он мог бы увеличить потребление товара X после снижения его цены и роста реального дохода и оставить неизменным потребление товара Y . Если X - нормальный товар, то спрос на него обязательно увеличивается и X 2 X 1 .

	Товар низ.
Y	качества	Нормальный товар
M
Y2	U1		B
				U2
Y1		A
Y3		C	U3
					2
0	X1	X3 1 X2		3	X
	XS		XI
			X

Рис. 22. Эффект дохода и эффект замещения по Е. Слуцкому

52

Если бы товар X был товаром низшего качества, то новая точка оптимума находилась бы на отрезке бюджетной линии 2, соответствующем отрезку ОX1 на оси абсцисс. На бюджетной линии 2, соответствующем отрезку OY1 , была бы новая точка оптимума, если бы товар Y был товаром низшего качества.

Общий эффект X характеризует изменение спроса на товар X при снижении его цены ( Px ) и равен X X 2 X1 0 . Изменение спроса состоит

из эффекта, вызванного изменением (ростом) реального дохода потребителя, и эффекта замещения. Рациональный потребитель склонен замещать относительно подорожавший товар относительно более дешевым.

Выделим из общего эффекта эффект замещения и эффект дохода. Для этого проведем вспомогательную бюджетную линию 3, ее уравнениеPx Px X 3 PyY3 I I , и определим положение набора С . Бюджетная ли-

ния 3 проходит через точку А и параллельна линии 2. Каждой точке бюджетной линии 3 соответствуют наборы, представляющие реальный доход потребителя, определяемый товарным набором А , но при новых ценах. На бюджетной линии 3 товары приобретаются по ценам бюджетной линии 2. После снижения цены одного из товаров потребителю потребуется меньшая величина номинального дохода, чтобы приобрести прежний набор А .

Вспомогательный набор С определяем точкой касания кривой безразличия U 3 и бюджетной линии 3. Необходимо помнить, что кривые безразли-

чия не пересекаются.

В случае приобретения наборов А и С реальный доход потребителя остается неизменным. При переходе от набора А к набору С потребитель замещает (Y3 Y1 ) на ( X 3 X 1 ) . Сравнивая товарные наборы В и С , вычленим

эффект увеличения реального дохода. Для товара X он составляет ( X 2 X 3 ) ,

для товара Y	равен (Y2	Y3 ) .
Таким образом,		имеем:
Эффект			Для товара X				Для товара Y
Общий			X X 2 X1				Y Y2 Y1
Замещения( S	- substitution)		X S X	3	X	1	Y S Y	Y .
							3	1
Дохода( I - income)			X I X	2	X	3	Y I Y	Y
							2	3
X			X2 - X1 > 0
XI			X2 - X3 > 0
XS			X3 - X1 > 0
Общий эффект равен сумме эффекта замещения и эффекта дохода:
	X X I X S .						(2.1)

53

Изменение спроса на товар X вызвано изменением цены этого товара. Разделим выражение общего эффекта на величину Px :

X

X I

X S

.

(2.2)

P

P

P

x

x

x

Величина

X s

характеризует изменение спроса на товар X при изме-

Px

нении его цены, вызванное замещением товара Y товаром X . Величина

X I

Px

характеризует изменение спроса на товар X , вызванное изменением дохода

потребителя на I .

Определим изменение реального дохода потребителя в денежном вы-

ражении ( I ), вызванное снижением цены товара X

( Px ). Оно составляет

I X

P

P

I

.

1

x

x

X 1

Последнее выражение означает, что если цена товара понижается Px ,

то потребитель весь высвободившийся номинальный доход расходует только на покупку товара X .

Подставив найденное значение Px в слагаемое уравнения (2.2), харак-

теризующее отношение эффекта дохода к вызвавшему его изменению цены, получим уравнение Е. Слуцкого:

X

X S

X I

X

1

.

P

P

I

x

x

Если цена товара X изменяется на бесконечно малую величину, урав-

нение имеет следующий вид:

X

X S

X I

X

1

.

P

P

I

x

x

X

X S

X I

Для нормальных товаров имеем:

0;

0;

0

. Оба эффекта

P

P

P

x

x

x

действуют в одном направлении, они положительны при снижении цены товара, т.е. при отрицательном значении Px . Эффект дохода действует в

направлении, обратном изменению цены.

Для нейтрального товара X I 0 . Нейтральный товар не реагирует на изменение реального дохода. Это означает, что доход или увеличивается или уменьшается, а объем покупок данного товара не изменяется.

		X			X I
	Для товаров низшего качества		0	,	0.	Если цена снижается,
		P
					P
		x			x

то и эффект дохода уменьшается, если цена товара растет, то и эффект дохода увеличивается. Для товара Р. Гиффена эффект дохода действует в направлении, противоположном эффекту замещения, и превышает его по абсолютной величине.

54

3. Эффект дохода и замещения по Дж. Хиксу

Известны исходные данные: цены товаров ( Px , Py ) и доход потребителя ( I ). Рассмотрим случай, когда цена товара X снижается ( Px ). Представим ситуацию графически (рис. 23).

Товар низ.

Y качества Нормальный товар

M

Y2		B	U2
Y1	A
Y3		C
		U1	2
0	X1	X3 1 X2	3	X
	XS	XI
		X
Рис. 23. Эффект дохода и эффект замещения
		по Дж. Хиксу
Уравнение бюджетной линии 1			имеет вид:	Px X1 PyY1 I . Набор А -
первоначальный оптимальный набор потребителя.
Цена товара X	снижается ( Px , Py , I ), цена другого товара и доход по-

требителя остаются неизменными. Рациональный потребитель замещает ставший более дорогим товар Y относительно подешевевшим товаром X и переходит на бюджетную линию 2, в точку оптимума B . Уравнение бюджетной линии 2 такое же, как в случае анализа эффектов по Е. Слуцкому:Px Px X 2 PyY2 I . Точка В отмечает новый оптимум потребителя.

Товарный набор B находится на более удаленной от начала координат кривой безразличия, чем набор А . Следовательно, набор B имеет большую полезность, и, по определению Дж. Хикса характеризует более высокий реальный доход.

Увеличение спроса на товар X составляет X X 2 X1 . Это и есть общий эффект снижения цены товара X .

Чтобы выделить из общего эффекта эффект дохода и эффект замещения, определим вспомогательный товарный набор С , который можно купить по новым ценам – ценам бюджетной линии 2. Таким образом, наборы B и С покупают по ценам (Px Px ) и Py . Положение набора С на бюджетной ли-

нии 3 определяем следующим образом. Поворачиваем бюджетную линию 1

55

вдоль кривой безразличия U1 так, чтобы она стала параллельной бюджетной линии 2 и коснулась кривой безразличия U1 . Точка касания С кривой безразличия U1 с бюджетной линией 3 является вспомогательной оптимальной

точкой	потребителя. Уравнение бюджетной линии 3 имеет вид:
Px Px	X 3 PyY3 I I . Наборы А и С лежат на одной кривой безразличия

и имеют одинаковую полезность. Если бы потребитель приобрел набор С после изменения цены товара X , то его реальный доход не изменился бы. Это позволяет выделить эффект замещения товара Y товаром X . Товар Y в количестве Y S Y3 Y1 замещается товаром X в количестве X S X 3 X1 .

Сравнивая товарные наборы С и B , вычленяем эффект изменения реального дохода. Реальный доход потребителя увеличился, и это позволило

ему приобрести дополнительно товара X в объеме X I X 2

X 3 и товара Y в

количестве Y I Y

Y

. Таким образом, имеем

2

3

Эффект

Для товара X

Для товара Y

Общий

X X 2 X1

Y Y2

Y1

Замещения

X S X

3

X

1

Y S Y

Y .

3

1

Дохода

X I X

2

X

3

Y I Y

Y

2

3

Для нормальных товаров по Дж. Хиксу, как и по Е Слуцкому, соотно-

X

X S

X I

шения

0;

0;

0 отрицательны.

P

P

P

x

x

x

Координаты точки С , отмечающие количество товаров в наборе, на рис. 22 по Е. Слуцкому и на рис. 23 по Дж. Хиксу различаются. В этом можно убедиться, совместив оба рисунка. Различие объясняется определениями реального дохода Дж. Хиксом и Е. Слуцким.

4. Перекрестные эффекты по Дж. Хиксу. Основное уравнение теории стоимости и его экономическая интерпретация

Перекрестный эффект возникает, когда изменение цены одного товара вызывает изменение в спросе другого товара.

Товары X и Y нормальные. Известны цены товаров ( Px , Py ) и номи-

нальный доход потребителя ( I ). Рассмотрим, каким образом изменение (повышение) цены ( Py ) товара Y повлияет на объем спроса на товар X . Пред-

ставим ситуацию графически (рис. 24).

Построим исходную бюджетную линию Px X1 PyY1 I					и определим
первоначальную		точку	оптимума рационального	потребителя –		точку
А .Увеличение цены товара Y приводит к тому, что бюджетная линия 1 сдви-
гается в	положение 2.		Уравнение бюджетной	линии 2	имеет	вид:
Px X 2 Py	Py Y2	I . Увеличение цены вызывает сокращение реального до-

хода потребителя, и теперь потребитель за тот же номинальный доход может

56