ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

¾ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ¿

А. И. ЕФИМОВ В. А. ЗНАМЕНСКИЙ

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО

ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Теория пределов.

(Учебное пособие)

Ростов–на–Дону

2010

В предлагаемом пособии излагаются и демонстрируются на подробно разобранных примерах основные приёмы вычисления пределов последовательностей и функций. Собрано более 300 задач, которые могут быть использованы в аудиторной и домашней работе, для контрольных работ и при составлении экзаменационных заданий. Весь представленный материал отражает опыт преподавания авторами курса высшей математики на факультете высоких технологий ЮФУ и предназначен для работы со студентами этого факультета.

2

Содержание
1	Предел числовой последовательности.		4
	1.1	Непосредственное применение определения преде-
		ла последовательности. . . . . . . . . . . . . . . .	5
	1.2	Различные приёмы вычисления предела последова-
		тельности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	6
	1.3	Расходящиеся последовательности. . . . . . . . . .	14
2	Предел функции.		15

2.1Вычисление предела функции, теоремы о пределах. 18

2.2Вычисление предела функции, замечательные пре-

делы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3	Раскрытие неопределённостей, правило Лопиталя. 40
4	Формула Тейлора, применение к вычислению пре-
	дела функции.		51
	4.1	Разложение функций по формуле Тейлора. . . . .	52
	4.2	Применение к вычислению пределов. . . . . . . . .	53
Ответы.			62
Предметный указатель			65
Список литературы.			66

3

1Предел числовой последовательности.

Определение. 1.1 Будем говорить, что последовательность fxng+n=11 имеет предел при n ! 1; равный a,

lim x		= a
обозначим n!1	n

если для любого " > 0 существует номер m такой, что для всех n > m выполняется jxn aj < "

(т.е. 8" > 0 9m > 0 : 8n > m jxn aj < ") :

Последовательности, которые имеют предел, будем называть сходящимися

(в противном случае расходящимися).

Определение. 1.2 Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Если существуют пределы

						lim xn = a и	lim yn = b;
						n!1	n!1
то справедливы следующие утверждения:
nlim (xn yn) = a b
	!1
	nlim (xn yn) = a b
	!1	xn		a
	nlim			=		; если b 6= 0:
		y	n		b
	!1

Определение. 1.3 Будем говорить, что последовательность fxng+n=11 имеет бесконечный предел при n ! 1;

обозначим	lim x	n	=	1
	n!1

если для любого E > 0 существует номер m такой, что для всех n > m выполняется jxnj > E

(т.е. 8E > 0 9m > 0 : 8n > m jxnj > E) :

Такие последовательности называются бесконечно большими.

4

1.1Непосредственное применение определения предела последовательности.

Пример. 1.1 Доказать

n 1

lim

= 1:

n!1 n + 3

Решение.

Рассмотрим

n + 3

n + 3

n + 3

n 1

1 =

4

=

4

:

Возьмём произвольное " > 0: Тогда

неравенство

n 1

1

< "

n + 3

будет выполнено, если

4

< ";

n + 3

то есть при

4

n >

3:

"

В качестве m возьмём натуральное число, удовлетворяющее условию m > 4" 3: Тогда для всех n > m выполняется

	n + 3					< ":
		n 1			1
Это означает
	lim		n 1			= 1:
	n!1 n + 3
Доказать следующие равенства:

1:	lim	1	= 0;	( > 0)	2:	lim	1	= 0;	(a > 1)
							n
	n!1 n					n!1 a
3:	lim	n	= 0;	( > 0; a > 1)	4:	lim	an	= 0;	(a > 1)
	n!1 an					n!1 n!

5

	ln n			1
5: lim			= 0; ( > 0)	6: lim qn = 1; (q > 0)
n!1 n				n!1

7: lim qn = 0; (jqj < 1)

n!1

1.2Различные приёмы вычисления предела последовательности.

Пример. 1.2 Найти

3n3 + n + 2

lim

:

3

2

n!1 n + 2n + 3

Решение.

Представим

3n3 + n + 2

xn =

3

2

+ 3

n + 2n

в виде

3 +

1

+ 2

1

2

3

xn =

n

n

1

1 + 21

+ 3

3

n

n

Так как n1 ! 0;

1

! 0;

1

! 0 при n ! 1; то 3+

1

+2

1

! 3; 1+2n1 +3

1

!

n2

n3

n2

n3

n3

1: Значит

lim

3 +

1

+ 2

1

nlim xn =

2

3

= 3:

lim

1 + 21

+ 3

13

n!1

n

n

!1

n!1

n

n

Пример. 1.3 Найти

lim n + 7 ln n: n!1 5n + ln n

Решение.

Учитывая lnnn ! 0; при n ! 1 и представляя

n + 7 ln n xn = 5n + ln n

в виде

	1 + 7ln n
xn =		n		;
	5 +	ln n
		n

6

находим 1 + 7lnnn ! 1; 5 +

Следовательно,

lim

n!1

Пример. 1.4 Найти

ln n

! 5:

n

xn =

lim

1 + 7lnnn

=

1

:

lim

5 + ln n

5

n!1

n!1

n

n

2

n

lim

+ 2

:

4

n+1

n!1 n

+ 2

Решение.

Воспользуемся соотношениями n2n2 ! 0; n2n4 ! 0; при n ! 1: Представив

xn

=

n2 + 2n

n

4

n+1

+ 2

в виде

nn2 + 1

xn =

2

4

n

+ 2

n

2

с учётом

n2

+ 1 ! 1;

n4

+ 2 ! 2 при n ! 1; получаем

2n

2n

nlim xn = n!1

n4

= 1:

lim

nn2 + 1

2

!1

n!1

2n + 2

2

lim

Пример. 1.5 Найти

+ 1

n!1

4 +

+ 2 4

+

lim 2n

p

n

n

p

n

n

:

Решение.

+ 1

n!1

4 +

+ 2 4

+

lim 2n

p

n

n

p

n

n

=

!1

p4 + n + 2 +

4 + n + 1

2n

p

4n + n + 2

p

4n + n + 1

p

4n

+ n + 2

+ p

4n + n + 1

= nlim

p

=

n

n

= lim

2n

= lim

1

:

n

!1 p4

n

+ n + 2 + p4

n

+ n + 1

n

!1 q1 + 4nn + 241n + q1 + 4nn + 41n

7

1 n

4

!;

4

!

! 1

q

4

4

!

q

4 4

!

Так как

n

0;

1

0 при n

; то

1 +

n

+ 2

1

1;

1 +

n

+

1

n

n

n

n

n

n

при

! 1 следовательно,

1

1

!

; n ! 1:

q

+ q

2

1 +

n

+ 2

1

1 +

n

+

1

4n

4n

4n

4n

Пример. 1.6 Найти

n!1 p

lim n

5n + n6 + 1:

Решение.

Поскольку

n6

! 0; n ! 1; то неравенство

n6

< 1 верно для n; больших

5n

5n

некоторого n0: Тогда для

xn = n 5n + n6 + 1 = 5r

1 +

5n +

51n

p

n

n6

верны оценки

1

5 6 xn 6 5 3n ; n > n0:

1

! 30 = 1;

n ! 1; то отсюда следует nlim xn = 5:

Так как 3n

!1

Пример. 1.7 Найти

n2 + n + 2

n2

+n+3

n!1 n2 + n + 1

lim

:

Решение.

n2 + n + 2

n2+n+3

n!1 n2 + n + 1

=

lim

n!1

1 + n2 + n + 1

n2+n+1

1 + n2 + n + 1

2

lim

1

1

Если

1 + n2 + n + 1

n2

+n+1

xn =

;

1

то последовательность fxng является подпоследовательностью

8

1

n

1 +

значит xn ! e;

n ! 1: Так как очевидно,

n

1 +

1

! 1; n ! 1;

n2 + n + 1

то

n2 + n + 2

n2+n+3

n!1 n2

+ n + 1

Пример. 1.8 Найти

lim

= e:

n!1

2n+n

2n + n + 5

2n + n + 6

Решение.

lim

:

Представив

2n + n + 5

=

1

;

2n + n + 6

1 +

1

n

получим

2 + n + 5

2n + n + 5

2n+n

n!1 2n

+ n + 6

= lim

lim

1

=

=

1 +

1

2

n

+n+5

1 +

1

5

n

!1

2n + n + 5

2n + n + 5

= lim

1 + 2n + n + 5n

5

:

1

n

!1 1 +

2n + n + 5

2 +n+5

1

Полагая

xn = 1 + 2n + n + 5

2n

+n+5

;

1

находим, что последовательность fxng есть подпоследовательность

9

n

1

и, следовательно xn ! e; n ! 1:

1 +

n

Поскольку, очевидно, 1 +

1

! 1; n

! 1; то

2n + n + 5

lim

1 + 2n + n + 5n

5

= 1:

1

n

1

2 +n+5

e

!1

1 +

2n + n + 5

Пример. 1.9 Найти

+ p9n + n2

+ 2 + + p9n + n2

+ n

n!1 p9n + n2 + 1

lim

1

1

1

:

Решение.

Обозначив

1

1

1

xn =

p

+

p

+

+

p

;

9n + n2 + 1

9n + n2 + 2

9n + n2 + n

находим

n

1

n

p

6 xn 6

p

=

3n

:

9n + n2 + 1

9n + n2 + 1

r1 +

n2

1

+

9n

9n

Так как

n

n2

1

! 1; то

! 0;

! 0;

! 0; n

3n

9n

9n

n

p ! 0; n ! 1:

9n + n2 + 1

С другой стороны, очевидно,

1

p ! 0; n ! 1;

9n + n2 + 1

значит xn ! 0; n ! 1:

Вычислить предел последовательности:

10

8:

lim

n5 + n2 + 1

9:

lim

n3 2

n6 + 2

n!1

n!1 n4 + 2n + 1

10:

lim

4n4 + 2n3 + 10

11:

lim

n3 2n + 3

2n5 + 2n2

n!1

n!1 n4 7n3 + 2

12:

lim

n3 + 1

13:

lim

n5 + 5

n!1 n2 + 2n + 2

n!1 n4 + 2n

14:

lim

2n8 + n3 4

15:

lim

n3 + n2 3

3n6 + n3 + 5

(n + 1)2

n!1

n!1

16:

lim

3n2 + 2n

17:

lim

n2 + 2n 2

6n2 + 1

n!1

n!1 n2 n + 4

18:

lim

4n3 + 3n + 5

19:

lim

3n3 + n + 1

2n3 + 1

n!1

n!1 n3 n2 + 7

20:

lim

5n4 + n2 1

21:

lim

n5 + n4 + 8n

2n4 n3 n

3n5 n3 + 5

n!1

n!1

22:

lim

10n10 1

23:

lim

n7 + 6n6 n

5n10 3n7 n3

4n7 2n4 + 1

n!1

n!1

24:

lim

(n + 1)3 (n 1)3

(n + 1)2 + (n 1)2

n!1

25:

lim

(n + 2)2 (n 1)2

!1 p(n3 + 2)2

(n3

2)2

n

(n2 + 1)2

(n2

1)2

26:

lim

n!1 p(n3 + 2)2 + (n3 2)2

11

p3

27:

lim

8n3 + 3n2 + 1

p

9

1)2

n

1

n+1

6

n!1

(3n + 1)2 + (4n

2

n

+ 3n + 5

2 3 + 2n 4

28:

lim

29:

lim

2

n+2

7

n+1

3

n

n!1

+ n + 4

n!1 6

n + log3 9

p

+ ln(n3 + 1)

np

+ n ln n + 3

n3 + 1

n

30:

nlim

p4

31:

nlim

p

2

6

5

2

n + 4

!1

n + 5n

3n + 2

!1 3n n + ln

32:

lim

5n + n!

33:

lim

n3n + n7 + 2 ln n

3

n

+ (n + 1)!

n

6

n!1

n!1

(n + 1)! + 2

+ n

p

(n + 2 ln n)p3

n2 + 1

+ ln n

8n + 5

34:

nlim

p3

35:

nlim

p3

2

3

n

4

!1

n + 1 + 1

!1

+ 1 + ln(n + 1)

n

+ 1) + ln n

lg(n

2

n2

)

ln(2

+ 10

36:

nlim

37:

nlim

p

n

4

2

!1

ln(4 + n) + 1

!1

4n + 2n + 1

38:

lim

ln(n3 + n2 + 2)

39:

lim

ln(e2n e 2n)

ln(n5 + 1)

n!1

n!1 p3 n3 + 1 + pn2 + 1

40:

lim

(n + 2)! + n!

(n + 3)! n2(n + 1)!

n!1

41:

lim

n!(2(n + 1)! + 1

n!1 n!(n + 2)! ((n + 1)!)2

lim pn

lim pn

42:

2n + n2 + 1

43:

n3n + n3

n!1

n!1

lim n

p

p

lim n

p

p

44:

n3 + 9

n3

45:

n4 + 4

n4 + 1

p

pn + 4

n!1

n

n!1

pn2 + 1 n

12

p

p4

n

46:

lim

n4 + n2

n

pn + 1 p

n!1

n

p3

n

47:

lim

n3 + n2

n

p3

n + 1

3

p6

4

!1 (

pn)

n + 1

lim n

p

p4

48:

n4 + 1

n8 1

p4 n4 + 1 pn2 1

n!1

p

p3

n2

n6 + 1

49:

lim

n4 + 1

p3 n3 + 1 n

n!1

nlim (1 + ln n)(p

p

)

50:

n + 1

n

!1

nlim (3 + p

)(p

p

51:

2n + 2

2n + 1)

n

!1

3n + 1

+ 3n + 2 + + 3n + n

n!1

52:

lim

1

1

1

2

+ 22

+ 23 + + 2n

n!1

53:

lim

1

2

3

n

3 + n ln n

3 + 3 3

+ 2

n!1

54:

lim

20

p

n

p

n

4

p

p

p

n!1

n ln n)

55:

n + 3 2 n + 2 +

lim

(1 + p

n + 1

nlim n(p3

p3

56:

n2 + 3

n2 + 2)

!1

57:

3

nlim n2 (p4 n2 + 1 p4 n2 1)

!1

13