Введение в пакет Maxima2

Функция zeromatrix (m, n) генерирует матрицу размера m на n, все элементы которой являются нулями.

Построение графиков

Визуализация результатов – немаловажная часть любого исследования. Идеологически не имея встроенных средств построения графиков, Maxima мо- жет использовать два внешних графических приложения: gnuplot и openmath. По умолчанию используется gnuplot, довольно простая программа с постоянно расширяющимся набором возможностей: недавно, например, была добавлена интерактивность в работе с трехмерными графиками. Актуальная на сегодняш- ний день версия, поставляемая вместе с Maxima, имеет номер 4.2.

Итак, рассмотрим ассортимент графических функций Maxima.

Начнем с двумерной графики. Основная функция двумерной графики, имею- щая множество различных вариантов вызова называется plot2d. Самый простой вариант ее вызова выглядит как plot2d (expr, x_range). Здесь expr – выражение, зависящее от одной переменной, а x_range – список, состоящий из имени пере- менной и ее максимального и минимального значений. При таком варианте вызо- ва диапазон по оси ординат определяется автоматически.

20

	1
	0.8
	0.6
	0.4
sin(x)*cos(2*x)	0.2
	0
	-0.2
	-0.4
	-0.6
	-0.8
	-1
	-4	-2	0	2	4
			x

Иногда, например при наличии на интервале построения графика точек беско- нечного разрыва, автоматическое задание интервала по оси ординат не совсем удобно. Для устранения этой проблемы используется необязательный параметр функции plot2d – список вида [y, min, max]. Здесь y не имя переменной, а символ, используемый для обозначения оси ординат.

sin(x)/cos(2*x)

200000

150000

100000

50000

0

-50000

-100000

-150000

-200000

-4

-2

0

2

4

x

21

	4
	2
sin(x)/cos(2*x)	0
	-2
	-4
	-4	-2	0	2	4
			x

Для одновременного построения нескольких графиков используется вызов функции plot2d с первым аргументом в виде списка выражений:

				sin(2*x)
4				2*sin(2*x)
				4*sin(2*x)
2
0
-2
-4
-4	-2	0	2	4
		x

Для построения графика параметрически заданной функции в качестве аргу- мента функции plot2d передается список, начинающийся с ключа parametric: plot2d ([parametric, expr_x, expr_y, [t, t_min, t_max],[ntiсks, n]]). Здесь expr_x и expr_y – выражения, задающие зависимость координат от параметра t; t_min и t_max – интервал изменения этого параметра, а ntiсks – еще один ключ, задающий

22

количество точек, по умолчанию равно 10, строенного графика.

которым строится график. Поскольку значение ntiсks по то его увеличение всегда существенно улучшает вид по-

	3
	2
cos(3*t)+2*sin(2*t)	1
	0
	-1
	-2
	-3
	-2	-1	0	1	2	3	4	5
				3*sin(3*t)^2+2*cos(2*t)

Для построения дискретного набора точек функция plot2d вызывается с клю- чом discrete, причем возможны два варианта вызова: в первом функции передают- ся два списка координат – plot2d ([discrete, x_list, y_list]), а во втором – список,

состоящий из пар [xi, yi] – plot2d ([discrete, xy_list]).

Воспользуемся для создания списков функцией makelist:

23

	1
	0.9
	0.8
	0.7
data	0.6
discrete	0.5
	0.4
	0.3
	0.2
	0.1
	0
	0	2	4	6	8	10

По умолчанию дискретные наборы строятся в виде ломаной линии, но задавая дополнительные параметры функции plot2d возможно получить и другие вариан- ты вывода.

discrete data

50

40

30

20

10

0
0	2	4	6	8	10

Кроме графиков явно заданных функций Maxima позволяет строить двумер- ные графики функций неявных. Для этого служит функция implicit_plot, содер- жащаяся в одноименном пакете. Синтаксис ее близок к синтаксису функции

24

plot2d, а именно: implicit_plot (expr, x_range, y_range), либо implicit_plot

([expr_1,…, expr_n ], x_range, y_range) и в пояснениях не нуждается

3 x^6 = 4*(x^4-y^4)

y^2/9+x^2/4 = 1

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

И, наконец, последняя функция двумерной графики, которую мы рассмотрим, это функция plotdf. Данная функция позволяет строить поле направлений обык- новенного дифференциального уравнения первого порядка, либо системы таких уравнений. Перед использованием функции необходимо подключить содержащий ее одноименный пакет.

Для построения поля направлений одного уравнения это уравнение должно быть приведено к виду

dy/dx=F(x,y)

и функция F(x,y) передана в качестве аргумента plotdf. Независимая переменная здесь всегда должна обозначаться через x, а зависимая через y.

Для случая системы двух уравнений первого порядка каждое из них должно быть приведено к аналогичному виду

dx/dt=G(x,y), dy/dt=F(x,y).

25

Аргументом plotdf в этом случае будет список из двух элементов: F(x,y) и G(x,y), в произвольном порядке.

Кроме этого функция plotdf может принимать различные опциональные клю- чи, влияющие на процесс построения и отображения поля, список которых при- водится ниже.

			Ключи функции plotdf
	Ключ	Значение				Описание
		по умолча-
		нию
	tstep	0.1			Задает шаг изменения переменной t, используемой
					для вычисления интегральной кривой
	nstep	100			Определяет количество шагов длины tstep, за кото-
					рые будет вычисляться интегральная кривая
					Определяет направление изменения независимой
	direction	both			переменной в процессе вычисления интегральной кри-
					вой. Возможные значения forward, backward и both.
	tinitial	0			Задает начальное значение переменной t, исполь-
					зуемой для вычисления интегральной кривой
					Используется для	отображения дополнительного
	versus_t	0			окна изображения, где интегральная кривая отобража-
					ется, как две функции х и у независимой переменной t
	trajectory_at	–			Задает координаты	х и у начальной точки инте-
					гральной кривой
					Определяет список параметров и их числовые зна-
	parameters	–			чения. Имена и значения должны задаваться в строке,
					состоящей из разделяемых запятыми элементов вида
					<имя>=<значение>
					Определяет список интерактивно изменяемых пара-
	slider	–			метров и диапазон их изменения. Имена и диапазоны
					должны задаваться в строке, состоящей из разделяе-
					мых запятыми элементов вида <имя>=<min>:<max>
					Позволяет построить поверх поля направлений на-
	xfun	–			бор графиков функций, зависящих от х. Функции пе-
					редаются в строке, разделяемые символом «точка с за-
					пятой».
	xradius	10			Радиус отображаемого интервала по горизонтали
	yradius	10			Радиус отображаемого интервала по вертикали
	xcenter	0			Координата x центра окна изображения
	ycenter	0			Координата y центра окна изображения
	width	500			Ширина окна изображения в пикселях
	height	500			Высота окна изображения в пикселях

26

Приведем несколько примеров использования функции с различными ключа-

ми.

Построим поле направлений уравнения y`=x/2 и его интегральную кривую, проходящую через точку (0,2)

Теперь построим поле направлений уравнения y`=x – у2 и его интегральную кривую, проходящую через точку (–1,3) и выведем на этот же график уравнение функции y=sqrt(x).

27

Далее построим поле направлений уравнения y`=mx2 + у2 и рассмотрим его изменения в зависимости от параметра m.

Здесь, в нижней части поля вывода появляется шкала, на которой в интерак- тивном режиме можно выбрать значение параметра m.

28

Перейдем теперь к графике трехмерной. Функция, отвечающая за построение трехмерных графиков в Maxima, называется вполне предсказуемо: plot3d. и по- зволяет строить графики явно и параметрически заданных функций.

Простейший вариант вызова функции plot3d выглядит, как plot3d (expr, x_range, y_range, <дополнительные параметры>)

								Function
600									600
500
400									500
300									400
200									300
100									200
0									100
-100
									0
-200
-300									-100
-400									-200
									-300
									-400
-6
-4
-2
0							2	3	4
2					0	1
				-1
4		-3	-2
6	-4

Существует ограничение не позволяющее строить два трехмерных графика на одном рисунке, поэтому ключ parametric перед списком параметрически задан- ных функций не требуется. Таким образом, для построения параметрических

29