тогда, когда функция f дифференцируема в точке (x0, y0). При этом уравнение касательной плоскости имеет вид (2.5).

Cледствие. Если функция f : X R2 → R дифференцируема в

	точке (x0, y0) int X, то ее график имеет в точке M0(x0, y0, f(x0, y0))
	вектор нормали ~n =	∂f	(x0, y0),	∂f	(x0, y0),	1! .
		∂x		∂y
						−

2.9Дифференцируемость отображения и суперпозиции

Пусть f — отображение из множества X Rnx в Rp, то есть f = (f1, . . . , fp), где каждая координатная функция fj, j = 1, 2, . . . , p, определена на множестве X Rnx и действует в R.

Определение 2.51. Отображение f называют дифференцируемым (непрерывно дифференцируемым) в точке a int X, если для каждого j = 1, 2, . . . , p, функция многих переменных fj дифференцируема (непрерывно дифференцируема) в точке a. При этом матрицу

		∂f1		(a)	∂f1		(a) . . .	∂f1		(a)
		∂x1			∂x2			∂xn
		∂f2			∂f2			∂f2
				(a)			(a) . . .			(a)
			1			2			n
		∂x			∂x			∂x
	. . .				. . . . . .			. . .
			p	(a)		p	(a) . . .		p	(a)
		∂f			∂f			∂f
		∂x1			∂x2			∂xn

называют матрицей Якоби отображения f в точке a.

Матрицу Якоби отображения f в точке a обозначают одним из сле-
дующих символов: f (a),	∂fj (a)!p,n		,		∂fj	(a) p,n	, f0(a). В
J
	∂xk	j=1,k=1		∂xk		j=1,k=1
связи с последним обозначением матрицу			Якоби называют также матри-

цей–производной (и даже просто производной) отображения f в точке a. Обозначение f0(a) очень компактно, удобно и при формулировке теорем сохраняет обозначения, принятые ранее для функции одной переменной.

Если определение 2.51 применить к функции f одной переменной,

!

то ее матрица Якоби — одноэлементная матрица dxdf (a) , если же f —

функция многих переменных, то ее матрица Якоби — матрица–строка вида

∂f	(a)	∂f	(a) . . .	∂f	(a)! =	∂f	(a)!n .
∂x1		∂x2		∂xn		∂xk	k=1

83

Далее, при работе с матрицами Якоби следует помнить, что f0(a) — не число, а матрица, и все производимые преобразования — операции с матрицами!

Теорема 2.29 (о дифференцируемости суперпозиции). Пусть ϕ :

T Rmt → X Rn, f : X Rnx → R, a int T , b = ϕ(a) int X. Если отображение ϕ дифференцируемо в точке a, а функция многих

переменных f дифференцируема в точке b, то функция F = f ◦ϕ : T Rmt → R дифференцируема в точке a и для любого k = 1, 2, . . . , m,

∂F

n

∂f

∂ϕj

n

∂f

∂ϕj

(a) =

jX

(b)

(a) =

X

(ϕ(a))

(a).

∂t

=1

∂x

∂t

j=1

∂x

∂t

k

j

j

k

k

Ради простоты изложения рассмотрим случай n = m = 2. Сначала докажем дифференцируемость функции F в точке a int T, то есть покажем существование таких чисел A1, A2, что

Fa(Δt) = F (a + t) − F (a) = A1 t1 + A2 t2 + o(k tk), t → 0,

когда точка t = (Δt1, t2) выбрана так, что a + t int T. Подсчитаем Fa(Δt), учитывая, что F = f ◦ ϕ.

Fa(Δt) = F (a + t) − F (a) = (f ◦ ϕ)(a + t) − (f ◦ ϕ)(a) =

= f(ϕ1(a + t), ϕ2(a + t)) − f(ϕ1(a), ϕ2(a)) =

= f(b1 + (Δϕ1)a(Δt), b2 + (Δϕ2)a(Δt)) − f(b1, b2) = fb(Δϕ1, ϕ2).

В силу дифференцируемости функции f в точке b, для любого при-

ращения x 6= 0 такого, что b +					x int X,
fb(Δx) =	∂f	(b) x1	+	∂f	(b) x2 + α1(Δx) x1 + α2(Δx) x2,
	∂x1			∂x2

где αj = αj(Δx) → 0 при x → 0. Положим αj(0) = 0, j = 1, 2, то есть определим αj как непрерывные функции в точке (0, 0).

В силу условий теоремы, ϕ(a + t) = b + ϕ X, поэтому и для

приращения ϕ = (Δϕ1,					ϕ2), имеет место равенство
		∂f					∂f
fb(Δϕ1, ϕ2) =				(b) ϕ1 +					(b) ϕ2 + α1(Δϕ) ϕ1		+ α2(Δϕ) ϕ2.
		∂x1					∂x2
Но тогда, поскольку					Fa(Δt) = fb(Δϕ),
	∂f					∂f
Fa(Δt) =			(b)Δϕ1		+			(b)Δϕ2 + α1(Δϕ)Δϕ1		+ α2(Δϕ)Δϕ2.
	∂x1					∂x2

Так как каждая функция ϕj дифференцируема в точке a, то для j = 1, 2,

ϕj = (Δϕj)a(Δt) =	∂ϕj	(a)Δt1	+	∂ϕj	(a)Δt2	+ o(k tk), t → 0.	(2.6)
	∂t1			∂t2

84

Следовательно, при

t → 0

)! +

Fa(Δt) =

∂f

(b)

∂ϕ1

(a)Δt1 +

∂ϕ1

(a)Δt2

+ o(

k

t

k

∂x1

∂t1

∂t2

+

∂f

(b)

∂ϕ2

(a)Δt1 +

∂ϕ2

(a)Δt2 + o(

t )! + α1 ϕ1 + α2 ϕ2 =

∂x2

∂t1

∂t2

k k

=

∂f

(b)

∂ϕ1

(a) +

∂f

(b)

∂ϕ2

(a)!

t1+

∂x1

∂t1

∂x2

∂t1

+

∂f

(b)

∂ϕ1

(a) +

∂f

(b)

∂ϕ2

(a)!

t2+

∂x1

∂t2

∂x2

∂t2

+

∂f

(b) o(

k

t ) +

∂f

(b) o(

k

t )!

+ α1(Δϕ)Δϕ1 + α2(Δϕ)Δϕ2.

∂x1

k

∂x2

k

Покажем, что при t → 0 Заметим, что по свойствам бесконечно малых в точке функций,

∂f

(b) o(k

tk) +

∂f

(b) o(k

tk) = o(k tk) при

t → 0.

∂x1

∂x2

Так как | tj| ≤ k

tk, j

= 1, 2, то |

tj|/k

tk ≤ 1, j

= 1, 2, и потому, с

учетом (2.6),

|αj(Δϕ)Δϕj|

≤ |

αj(Δϕ)

|

∂ϕj

(a)

t1

+

∂ϕj

(a)

t2

+

oj(k tk)

∂t

t

t

t

t

1

∂t

2

k k

k k

k k

k k

αj(Δϕ)

|

∂ϕj

(a) +

∂ϕj

(a)

+

oj(k tk)

.

≤ |

∂t1

∂t2

k

t

k

Функции ϕj

дифференцируемы

в точке

a, значит

непрерывны в ней, и

потому (Δϕj)a(Δt) → 0 при t → 0. Учитывая непрерывность функций

αj в точке (0, 0) получим, что αj(Δϕ1,

ϕ2) → 0 при

t → 0, j = 1, 2.

Поэтому из последнего неравенства следует, что

lim

|αj(Δϕ)Δϕj|

= 0,

j = 1, 2,

t→0

k

k

t

то есть αj(Δϕ)Δϕj = o(k tk) при t → 0. Следовательно, при

t → 0

∂f

∂f

(b) o(k tk) +

(b) o(k tk) + α1(Δϕ)Δϕ1 + α2(Δϕ)Δϕ2 = o(k tk) .

∂x1

∂x2

Возвращаясь к Fa(Δt) заключаем, что для любого t = a +

t T

Fa(Δt) =

∂f

(b)

∂ϕ1

(a) +

∂f

(b)

∂ϕ2

(a)!

t1+

∂x1

∂t1

∂x2

∂t1

+

∂f

(b)

∂ϕ1

(a) +

∂f

(b)

∂ϕ2

(a)!

t2

+ o(

t ), t

→

0,

∂x1

∂t2

∂x2

∂t2

k k

85

то есть функция F дифференцируема в точке a.

Учитывая, что b = ϕ(a) = (ϕ1(a), ϕ2(a)), из теоремы 2.24 следует,

что

∂F

(a) =

∂f

(ϕ(a))

∂ϕ1

(a) +

∂f

(ϕ(a))

∂ϕ2

(a),

∂t1

∂x1

∂t1

∂x2

∂t1

∂F

(a) =

∂f

(ϕ(a))

∂ϕ1

(a) +

∂f

(ϕ(a))

∂ϕ2

(a).

∂t

2

∂x

1

∂t

2

∂x

2

∂t

2

Cледствие 1. В условиях теоремы 2.29 F 0(a) = f0(b) ϕ0(a). Приведем еще три следствия, часто полезные в приложениях.

Cледствие 2. Пусть ϕ : T R1t → X Rn, f : X Rnx → R, a int T, b = ϕ(a) int X. Если отображение ϕ дифференцируемо в

точке a, а функция f дифференцируема в точке b, то функция одной переменной F = f ◦ ϕ : T Rt → R дифференцируема в точке a, при этом F 0(a) = f0(b)ϕ0(a), то есть

dF

n

∂f

dϕj

n

∂f

dϕj

jX

X

(a) =

(b)

(a) =

(ϕ(a))

(a).

dt

=1

∂x

j

dt

j=1

∂x

j

dt

Cледствие 3. Пусть ϕ :

T Rtm

→ X R,

f : X Rx → R,

a int T, b = ϕ(a) int X. Если функция многих переменных ϕ дифференцируема в точке a, а функция одной переменной f дифференцируема в точке b, то функция многих переменных F = f ◦ ϕ : T Rmt → R дифференцируема в точке a, при этом F 0(a) = f0(b)ϕ0(a), то есть

∂F	(a) =	df	(b)	∂ϕ	(a) =	df	(ϕ(a))	∂ϕ	(a), k = 1, 2, . . . , m.
∂tk		dx		∂tk		dx		∂tk

Непосредственно из полученных формул получаем

Cледствие 4. Пусть f : X Rnx → R непрерывно дифференцируема на открытом множестве X, а отображение ϕ : T Rmt → X непрерывно дифференцируемо на открытом множестве T . Тогда функция F = f ◦ ϕ непрерывно дифференцируема на T .

По теореме 2.26 функция f дифференцируема на X, а отображение ϕ на T, поэтому по теореме 2.29 сложная функция F дифференцируема на множестве T и для любого t T

∂F

n

∂f

∂ϕj

jX

(t) =

(ϕ(t))

(t), k = 1, 2, . . . , m,

∂t

k

=1

∂x

j

∂t

k

ϕ

∂ϕj , k = 1, 2, . . . , m. От-

то есть на множестве T

∂F

=

n

∂f

jX

∂tk

∂xj

◦

· ∂tk

=1

сюда, учитывая теорему 2.20 о непрерывности сложной функции и теорему 2.17 об арифметических операциях с непрерывными функциями,

86