10.2. Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение вида

, (10.3)

в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на произведение множителей, каждый из которых зависит только от x или только от y, называется уравнением с разделяющимися переменными.

Поделив обе части уравнения (10.3) на , получим уравнение

,

в котором переменные разделены. Почленное интегрирование последнего уравнения приводит к соотношению

, (10.4)

где С – постоянная интегрирования. Выражение (10.4) является общим решением (общим интегралом, поскольку решение записано в неявном виде) уравнения (10.3). Выражая y из (10.4) (если это возможно), получаем общее решение дифференциального уравнения в явном виде y=φ(x, C).

Заметим, что уравнению (10.3) могут удовлетворять решения, потерянные при делении на , т.е. получаемые из уравнения=0. Если эти решения не входят в найденный общий интеграл, то они являются особыми решениями уравнения(10.3).

Частное решение находим, используя начальные условия .

Кроме того, для получения решения дифференциального уравнения (10.3), удовлетворяющего произвольному начальному условию y(x₀)=y₀, можно воспользоваться равенством .

10.3. Однородные уравнения первого порядка

Функция f(x, y) называется однородной функцией степени n, где n – целое число, если при любом λ имеет место тождество f(λx, λy) = λⁿf(x, y).

Например, f(x,y)=– однородные функции соответственно первой, нулевой и четвертой степени.

Дифференциальное уравнение вида

P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0 (10.5)

называется однородным, если P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинаковой степени.

Уравнение (10.5) может быть приведено к виду

(10.6)

и при помощи подстановки т.е. y=ux, где u = u(x) – новая неизвестная функция, преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными. Можно также применять подстановку , т.е.x = uy.

10.4. Линейные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется линейным, если оно содержит искомую функцию y и ее производнуюв первой степени, т.е. имеет вид:

+ P(x)y = Q(x) (10.7)

В частном случае P(x) и Q(x) могут быть постоянными числами.

Если Q(x), то уравнение(10.7) принимает вид +P(x)y=0 и называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными. Если же Q(x), то уравнение(10.7) называется линейным неоднородным.

Методы решения:

1. Метод вариаций произвольной постоянной (метод Лагранжа).

Чтобы решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ), сначала находим общее решение соответствующего линейное однородное дифференциального уравнения (ЛОДУ).

Запишем ЛОДУ в виде .

В предположении y0 разделим переменные .

Проинтегрировав и выполнив преобразования, получим

(10.8)

Это и есть общее решение ЛОДУ.

Решение ЛНДУ будем искать в том же виде, что и решение ЛОДУ, предполагая, что постоянная С является функцией переменного x.

(*)

Подставив выражение (*) в (10.7), мы найдем С(х):

, т.е. .

Подставим полученное С(х) в (*) и получим общее решение уравнения (10.7):

,С_{1 .}

2. Метод подстановки (метод Бернулли).

Решение уравнения (10.7) ищется в виде, где u(x) и v(x) неизвестные функции. В этом случае линейное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными, откуда и определяются вспомогательные функции u и v.

Подставляя выражения для y и в(10.7), получим или

(10.9)

Пользуясь тем, что одну из вспомогательных функций, например u(x), можно выбрать произвольно, подберем ее так, чтобы , т.е. в качествеu(x) возьмем одно из частных решений уравнения с разделяющимися переменными, например, .

Подставим u(x) в (10.9) и найдем v(х) как общее решение получившегося уравнения с разделяющимися переменными:

Тогда .