Matematika_Praktikum

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Рязанский государственный медицинский университет имени академика И.П.Павлова

Федерального агентства по здравоохранению и социальному развитию»

Кафедра математики и информатики

Практикум

Рязань 2009

УДК 517.2/.3 + 519.2 (075.8) ББК 22.161.1+22.17 М 34

Авторы – составители: М.П. Булаев, М.Н. Дмитриева, Н.В. Дорошина, И.С. Маркова, О.А. Назарова, Е.В. Прохорова

Рецензенты: С.П. Вихров, д.ф.-м.н., профессор Рязанского

государственного радиотехнического университета;

А.Н. Пылькин, д.т.н., профессор Рязанского государственного радиотехнического университета;

	М34	Математика: Практикум /Авт.-сост. М.П.Булаев [и др.];
		под ред. М.П. Булаева; Ряз. гос. мед. ун-т им. акад
		И.П.Павлова. Рязань: РИО РГМУ, 2009. –223с.

Предназначен для первоначального изучения дифференциального и интегрального исчисления, теории вероятностей и математической статистики. Практикум рассчитан на студентов специальностей 060101, 060104, 060105, 060108, 030302 дневной, вечерней и заочной форм образования.

Он также может быть полезен студентам других гуманитарных специальностей.

УДК 517.2/.3+519.2 (075.8) ББК 22.161.1+22.17

Табл.: 60 Ил.: 38 Библиогр.: 10 назв.

Печатается по решению Учебно-методического Совета Рязанского государственного медицинского университета.

ГОУ ВПО «РязГМУросздрава», 2009

2

x a 0

Глава 1. Предел функции

1.1. Определение предела

Рис. 1.1

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки

х = а (т.е. в самой точке х = а функция может

быть и не

определена) Число А

называется пределом функции f(x) при х а, если для любого >0 существует такое число >0, что для всех х таких, что 0 < x – a < верно неравенство f(x) – A < (рис. 1.1).

То же определение может быть записано в другом виде:

Если а – < x < a + , x a, то верно неравенство А – < f(x) <

A + .

Запись предела функции в точке: lim f (x) A.

x a

Если f(x) A1 при х а только при x < a, то lim f (x) A1

x a 0

называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x)A2 при х а только при x > a, то lim f (x) A2 называется

пределом функции f(x) в точке х = а справа (рис. 1.2).

Приведенное выше определение относится к

случаю, когда

функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в

3

Рис. 1.2

некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки. Пределы А1 и А2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А –

конечный предел функции f(x).

1.2. Операции над пределами

1. Предел постоянной есть сама постоянная: limC C , где С =

x a

const.

Следующие свойства справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х а;

2. Предел суммы (разности) равен сумме (разности) пределов:

lim( f (x) g(x)) lim f (x) lim g(x);

x a

x a

x a

3. Предел произведения равен произведению пределов:

lim[ f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x);

x a

x a

x a

4. Постоянную можно выносить за знак предела:

limC f (x) C lim f (x);

x a

x a

5. Предел отношения равен отношению пределов:

lim	f (x)		lim f (x)
			x a
			lim g(x)
x a g(x)
			x a

, при lim g(x) 0;

x a

6. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и lim f (x) A, то А>0.

x a

Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) 0, f(x) 0;

7.	Если	g(x)	f(x) u(x) вблизи точки х = а и
lim g(x) limu(x) A, то и lim A;
x a	x a		x a

0

8.число 0;

число

9.0 ;

10.число ;

4

	11.	число			0;

12. Неопределенность вида можно раскрыть, если

числитель и знаменатель дроби разделить на высшую степень переменной;

0

13. Неопределенность вида можно раскрыть, если

0

числитель и знаменатель дроби разложить на множители и сократить.

1.3. Замечательные пределы

Найдем предел отношения двух многочленов, т.е. lim P(x) , где

x Q(x)

P(x) = a0xn + a1xn–1 +…+an, Q(x) = b0xm + b1xm–1 +…+bm.

Преобразуем данную дробь следующим образом

P(x)

xn(a

0

a1

...

an

)

a

0

a1

...

an

x

xn

xn m

x

xn

bm

Q(x)

xm (b

b1

....

)

b

b1

...

bm

xm

0

x

xm

0

x

0,

при

n m,

P(x)

Таким образом,

a

lim

0

,

при

n m,

x Q(x)

b0

при

n m.

,

Первый замечательный предел: lim

sin x

1

x 0

x

1 x

Второй замечательный предел:lim 1

e, где е постоянная,

x

x

которая приблизительно равна 2,718281828… Часто если непосредственное нахождение предела какой-либо

функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.

Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:

5

lim	ln(1 x)	1;	lim	ax 1	lna;
x 0	x		x 0 x

При решении многих задач эквивалентности, верные при х 0:

1.sin x ~ х;

2.1–cos x ~ x2 ;

2

3.tg x ~ x;

4.arcsin x ~ x;

1.4.Примеры

lim (1 x)m 1 m.

x 0 x

используются следующие

5.arctg x ~ x;

6.ln (1+x) ~ x;

7.ax–1 ~ xln a;

	8.	n		1 ~	x	.
			1 x
					n

№1. Используя свойства пределов функций, найти следующие пределы:

а)	lim	3x2 1		;
	x 1 4x2 5x 2
б)	lim	x2 4	;
		x2 5x 6
	x 2

в)	lim	x 8 3	;
	x 1	x 1

г)	lim	1 x x2	.
	x 2x2 3x

Решение.

а) Применяя теорему о действиях над пределами функций, получим:

3x

2

1

lim(3x

2

1)

lim3x

2

lim1

lim

x 1

x 1

x 1

x 1

4x2 5x 2

lim(4x2 5x 2)

lim4x2 lim5x lim2

x 1

x 1

x 1

x 1

		3lim x lim x 1				3 ( 1) ( 1) 1		2.
			x 1	x 1
		4lim x lim x 5lim x 2				4 ( 1) ( 1) 5 ( 1) 2
		x 1	x 1	x 1

б) Так как пределы числителя и знаменателя при х 2 равны

нулю, то мы имеем неопределенность вида 0. «Раскроем»

0

эту неопределенность (т.е. избавимся от нее), разложив числитель и знаменатель на множители и сократив их далее на общий множитель х – 2:

lim

x2 4

lim

(x 2)(x 2)

lim

x 2

2 2

4.

x

2

5x 6

(x 2)(x 3)

x 3

2 3

x 2

x 2

x 2

6

в)

Здесь

мы также

имеем

неопределенность

вида

0

.

0

Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение,

сопряженное

к

числителю

(избавимся

от

иррациональности в числителе):

3

lim

(

3)(

3)

(

32

lim

x 8

x 8

x 8

lim

x 8)2

x 1

x 1

x 1

(x 1)(

x 8 3)

x 1

(x 1)( x 8 3)

lim

(x 8) 9

lim

x 1

lim

1

1

1

x 1

(x 1)(

x 8 3)

x 1

(x 1)( x 8 3)

x 1

x 8 3

1 8 3 6

г) Числитель и знаменатель дроби – бесконечно большие функции, поэтому здесь имеет место неопределенность

вида . Раскроем эту неопределенность. Поделим

числитель и знаменатель дроби на высшую степень х, т.е. на х2:

1 x x2

1

1

1

x2

x

.

2x2

3x

2

3

Таким образом,

x

1

1

1

1

1

1

1 x x

1

lim

1

lim

lim

lim1

2

2

x

x2

x

lim

lim

x x

x x2

x x

x

3

3

1

x 2x2 3x

x

2

lim

2

lim2 3lim

x

x

x

x

x x

0 0 1

1

.

2 0

2

№2. Найти пределы:

а)

lim

sin x

, R;

в)

lim

cos x

;

x 0

x

x

2x

sin5x

2

arcsin x

б)

lim

;

x 0

sin3x

г)

lim

.

x 0

x

Решение.

7

а) Сделаем

замену

у=αх;

тогда

у 0 при

х 0 и

lim

sin x

lim

sin y

lim

sin y

lim

sin y

. В

последнем

x 0 x

y 0

y

y 0 y

y 0

y

равенстве мы воспользовались первым замечательным

пределом. Таким образом, lim sin x .

x 0 x

б) Поделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на х, после чего воспользуемся предыдущим пунктом:

sin5x

sin5x

sin5x

lim

5

x

x

lim

lim

x 0

.

sin3x

3

x 0 sin3x

x 0 sin3x

lim

x

x

x 0

в) Сводя предел к первому замечательному пределу, сделаем замену у=х– . Тогда у 0 при х , а х=у+ , откуда:

2

2

2

	lim			cos x	lim
				2x
	x				y 0
	2

cos y							sin y		1		sin y		1
				2
						lim				lim				.
						y 0	2y		2 y 0 y			2
2 y
	2

Во втором равенстве в этой цепочке мы использовали формулу приведения, а в последнем – первый замечательный предел.

г) Так как х 0, то воспользуемся эквивалентностью №4:

lim arcsin x lim x lim1 1.

x 0 x x 0 x x 0

	1.5. Варианты заданий
	№1.1. Найти пределы:
	а) lim	2x 8			;	б) lim	2x2	;
							3
	x 3	2	x	8		x 1	x 6

8

sin x cosx ;

4x

в)

lim

x 8

1

;

x 1

26 x

г)

lim

x

;

x 0 x2 x

д)

lim

x2 6x 5

;

x 5

x2 25

е)

lim

x3 x2 3x 3

;

x 12x3 2x2 x 1

ж)

lim

x 25

5

;

x 0

x2 2x

№1.2. Найти пределы:

а)

lim

3x2 5x 2

;

x

1

3x 1

3

б) lim

1

4

;

x 2 x 2

x2 4

в)

lim

y3

4y 5

;

y 1

y3 2y2 y 2

г)

lim

x2 8x

;

x 8

x 1 3

;

д)

lim

x h

x

h

h 0

3

1

;

е)

lim

1 t

t

t 0

№1.3. Найти пределы:

а) lim

x / 4

б) lim sin2 3x ; x 0 sin2 2x

в) lim 1 cosx ;

x 0 x2

г) lim arctg2x ;

x 0 x

з)

lim

x 5x2 x3

;

x 2x3 x2 7x

и)

lim

x3 x

;

4 3x2

x x

1

к)

lim

5x 1

;

x 1

x2

1

л)

lim

4x3 3x2

x

;

x 0

2x

м)

lim

1 3x2

.

x x

2 7x 2

ж) lim

5x4

2x 3

;

x

x2

3x4

з)

lim

(x2 3)(2x 9)

;

x (x2 x 1)(3x2 4)

и)

lim(

x2 1

x2

1)

;

x

x3

x2

к)

lim

x 5x2 1

5x 3

.

д)

lim

x tg x;

2

x

2

tg2x

е)

lim

;

x 0sin5x

ж)

lim

cos5x cos3x

;

x 0

x2

з)

lim

sin2x

tg4x

x

2

9

1.6. Контрольные вопросы Глава 2. Производная и дифференциал

2.1 Понятие производной

Рассмотрим функцию y=f(x). Предположим, что x0 внутренняя точка множества определения функции. Зададим приращение аргумента x 0 такое, что точка x0+ x Df. Тогда соответствующее приращение в т. x0 будет иметь вид:

f=f(x0+ x)–f(x0).

Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргументах 0, то он называется значением производной функции f(x) в точке х0

Обозначение: f / (x0 ) lim	f	lim	f (x0 x) f (x0 )	.
x 0 x		x 0	x

	Также возможны и другие обозначения:	df (x0 )	, f /		.
		dx
					x x	0

Если функция y=f(x) имеет конечную производную в каждой точке некоторого промежутка, то производную можно считать

функцией переменной х и обозначать у /(х), dy .

dx

Если в точке x0 существует конечная производная функции y=f(x), то эта функция называется дифференцируемой в точке x0.

Если функция y=f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка, то она дифференцируема на промежутке.

2.2. Геометрический и физический смысл производной

10