Курсовые задания

плоскостям происходит без скольжения. В указанном столбце таблицы обозначено: V1 , V2 , V3 , V5 – линейные скорости тел 1, 2, 3 и центра масс тела 5; ω4 , ω5 , ω6 – угловые скорости тел 4, 5, 6.

При расчетах принять радиусы ступеней ступенчатого шкива, блока, катка и их радиусы инерции относительно осей, перпендикулярных к плоскости движения и проходящих через центры масс этих тел, равными

R4 = 0,3 м; r4 = 0,1 м; ρ4 = 0,2 м; R5 = 0,5 м; r5 = 0,3 м; ρ5 = 0,4 м; R6 = 0,4 м; r6 = 0,2 м; ρ6 = 0,3 м.

Коэффициент трения грузов о плоскость f = 0,15, ползун перемещается по направляющей без трения. При решении задачи учесть, что если сила F постоянна, то она составляет заданный угол α с направлени-

ем движения тела, на который действует; если сила F переменна, то этот угол равен нулю.

Методические указания

Перед выполнением задания Д3 необходимо изучить тему «Кинетическая энергия материальной системы. Работа и мощность силы»; при этом рекомендуется разобрать пример решения и решить самостоятельно сле-

дующие задачи: [1, т. 2 – 9.101, 9.102, 9.103]; [6 – Д10]; [5 – 38.30, 38.35, 38.42, 38.44].

Рис. Д3.0

Рис. Д3.1

Рис. Д3.2

Рис. Д3.3

Рис. Д3.4

Рис. Д3.5

Рис. Д3.6

Рис. Д3.7

Рис. Д3.8

Рис. Д3.9

Решение задания целесообразно проводить в следующей последовательности:

1)установить, какой вид движения совершают тела материальной системы и записать соответствующие формулы для кинетической энергии каждого тела;

2)изобразить на чертеже векторы линейных скоростей и показать угловые скорости тел;

3)выразить линейные скорости, угловые скорости и кинетическую энергию тел через скорость, подлежащую определению;

4)записать кинетическую энергию системы в конечном положении как сумму кинетических энергий тел этой системы;

5)изобразить на чертеже все внешние силы и пары сил, действующие на тела системы;

6)определить перемещения (линейные и угловые) тел системы при ее переходе из начального положения

вконечное, используя то, что соотношение между перемещениями такое же, как и между соответствующими скоростями;

7)найти сумму работ внешних сил и пар сил на соответствующих перемещениях тел системы;

8)приравняв кинетическую энергию системы сумме работ внешних сил, определить требуемую величи-

ну.

При определении зависимости между скоростью центра масс тела, движущегося плоскопараллельно, и его угловой скоростью необходимо использовать известное из кинематики понятие о мгновенном центре скоростей тела.

При вычислении работы сил учесть равенство работы нулю в случаях, если сила перпендикулярна перемещению точки ее приложения и сила приложена в неподвижной точке или в точке, являющейся мгновенным центром скоростей.

Соотношение между скоростями точек B и D кривошипа BD может быть установлено с помощью теоремы о равенстве проекций скоростей этих точек на прямую BD.

При определении угловой скорости ω и линейной скорости Vc центра масс кривошипа BD могут быть использованы формулы

ω =

VD

sin(β± γ)

=

VB

sin(β± γ)

;

BD cosβ

BD cos γ

V 2

=

VD2

[cos2 γ + cos2 β + 2 cos γ cosβ cos(β ± γ)]=

c

4 cos2 β

=

VB2 [cos2 γ + cos2 β + 2 cos γ cosβ cos(β ± γ)]

,

4 cos2 γ

где VD , VB – скорости точек D и B; γ, β – острые углы, которые образуют векторы VD , VB с прямой, проходя-

щей через точки B и D.

В указанных формулах для ω и Vc

берется знак минус в случае, если проекции скоростей VD , VB на пря-

мую, перпендикулярную BD, имеют одинаковые знаки; знак плюс, если проекции отличаются знаками.

Пример решения задания Д3

Движение механической системы, состоящей из тел 1 – 7, начинается из состояния покоя, в котором кривошип 7 занимает положение В0 D0 и деформация пружины равна нулю, под действием переменной силы F1 ,

являющейся функцией перемещения точки ее приложения, постоянной силы F2 и пары сил с переменным моментом M B , зависящим от угла поворота шкива 4. Найти скорость тела 2 в конечном положении системы, которое указано на рис. Д3.

Дано:

Рис. Д3

m1 = 8 кг; m2 =1 кг; m3 = 2

кг;

m4 = 4 кг;

m5 = 3 кг;

m6 = 2 кг;

m7 = 4 кг; R4 = 0,2 м; r4 = 0,1

м;

R

= 0,15 м; R

= 0,1 м; r = 0,07 м; ρ

4

= r4

2 м;

ρ

5

= R5 2 м;

ρ

6

= r6 3

м; l =1,17 м; c =120 Н/м; f =

5

6

6

2

2

2

0,1;

F1 =180 +380

s Н; M B = 70 + 20ϕ Н м; F2 =100 Н.

Определить: V2 – скорость тела 2 в конечном положении механической системы.

Решение

При решении задания применим теорему об изменении кинетической энергии механической системы:

T −T0 = ∑Ake +∑Aki ,	(1)
где T0 , T – кинетическая энергия системы соответственно в начальном и конечном ее положениях; ∑Ake	–

сумма работ внешних сил, действующих на систему, на перемещении системы из начального положения в конечное; ∑Aki – сумма работ на том же перемещении системы внутренних сил.

Для механической системы, состоящей из абсолютно твердых тел, которые соединены нерастяжимыми

нитями, и находящейся в начальном положении в состоянии покоя ∑Aki

= 0 , T0 = 0

. Поэтому уравнение (1)

записывается в виде

T = ∑Ake .

(2)

Изображаем действующие на систему внешние силы: активные –

F1,

F2 , Fупр, P1,

P2 , P3 , P4 , P5 , P6 , P7 , па-

ра сил с моментом M B и реакции связей

N1, N2 , N3 , N4 , S , Fтр1, Fтр 2 ; показываем направления линейных и

угловых скоростей тел системы.

Находим угол γ, определяющий положение кривошипа ВD в конечном положении системы:

R + R			l		(R	+ R	4	)sin120D	≈ 0,259 , γ ≈15D	, ψ = 45D.
5	4	=		, sin γ =	5
sin γ			sin120D					l

Определим кинетическую энергию системы, которая равна сумме кинетических энергий тел системы

T =T1 +T2 +T3 +T4 +T5 +T6 +T7 .

(3)

Тела 1, 2, 3 совершают поступательное движение; тело 4 – вращательное; тела 5, 6, 7 – плоскопараллельное. Формулы для кинетических энергий тел системы имеют вид

		T =		1	m V 2 ;							T =		1	m V 2 ;				T =				1		m V 2			;	T =				1	I		ω2 ;
			2										2										2									2
		1				1		1				2				2	2			3						3	3			4					4		4
T =	1	m V 2			+		1	J		ω2	;	T =				1	m V 2		+		1	J		ω2		;		T =		1	m V 2					+		1		J		ω2	,
						2										2				2										2							2
5	2	5	5						5	5			6				6	6					6	6				7				7		7							7	7

где J4 , J5 , J6 , J7 – моменты инерции соответствующих тел относительно осей, проходящих через центр масс тел, перпендикулярно к плоскости движения; V5 , V6 , V7 – скорости центров масс тел; ω4 , ω5 , ω6 , ω7 – угловые скорости тел.

J	4	= m	ρ2 ,	J	5	= m ρ2 ,		J	6	= m ρ2 ,		J	7	=	ml 2	.
		4	4			5	5			6	6			12
Линейные и угловые скорости необходимо выразить через скорость V2 тела 2.
Скорость V центра масс тела 6 равна V					2	, а угловая скорость этого тела равна ω											6	=	V6	=	V2	, так как точ-
6																			R6		R6

ка K6 является мгновенным центром скоростей этого тела.

Скорость точки А равна: VA =V3 = 2V6 = 2V2 . Проекции скоростей точек D и В на прямую DВ равны

V3 cos γ =V5 cos (90D −ψ);

V

cos15D

2V

2

cos15D

V =

3

=

.

cos 45D

cos 45D

5

V

2V

2

cos 15D

Так как точка K

– мгновенный центр скоростей тела 5, то ω

=

5

=

.

5

5

R

R cos 45D

cos15D

5

5

V

2V

2

Угловая скорость тела 4 равна ω4 =

5

=

.

R + R

4

(R + R ) cos 45D

5

5

4

2V

r cos15D

Скорость тела 1 V1 = ω4r4 =

2

4

.

(R + R

4

)cos 45D

5

Векторы скоростей точек В и D кривошипа образуют с прямой, проходящей через эти точки, соответст-

венно углы β = 45°, γ = 15°, и проекции скоростей этих точек на прямую, перпендикулярную ВD, имеют одина-

ковые знаки. Поэтому угловая скорость ω7 и линейная скорость центра масс V7

кривошипа могут быть опре-

делены по формулам

V3 sin (45D −15D)

2V2 sin 30D

ω7 =

=

;

l cos 45D

l cos 45D

V 2 = V32 (cos2 15D +cos2 45D +2 cos15Dcos 45Dcos (45D −15D))=

7

4 cos2 45D

=

V22 (cos2 15D +cos2 45D +2 cos15Dcos 45Dcos (45D −15D))

.

cos2

45D

Кинетическая энергия системы в соответствии с равенством (3) равна

T =

1

m V 2 ,

(4)

2

где

пр 2

4m r

2 cos2

15D

4m

ρ2 cos2

15D

mпр =

1 4

+ m2

+4m3 +

4

4

+

(R

+ R

4

)2 cos2 45D

(R

+ R

4

)2 cos2 45D

5

D

5

2

2

2

15

2

+

4m5 (1+ρ5

/ R5 )cos

+ m

1

+

ρ6

+

cos2 45D

6

R2

6

+m		cos2	15D +cos2	45D + 2 cos15Dcos 45Dcos 30D	+ m		sin 2	30D		;
	7			cos2 45D		7 3cos		2	45D

mпр ≈ 73,13 кг – приведенная масса механической системы.

Определим сумму работ всех внешних сил при перемещении системы из положения, в котором кривошип

7 занимал положение В0 D0 , указанное на рис. Д3.

Работа сил

равна ну-

P4 , N4 равна нулю, так как точки приложения этих сил неподвижны; работа силы S

лю, так как точка приложения этой

силы

является

мгновенным центром скоростей тела 6; работа сил

равна нулю, потому что каждая из этих сил перпендикулярна к перемещению ее точки приложе-

N1, N2 , N3

ния.

Расчетные формулы для работы остальных сил и момента M B имеют вид

A(

)= m gs

sin 60D;

A(

)= −F

s ;

P

F

1

1

1

тр1

тр1 1

A(

F1 )= s∫1 (180 +380

s )ds =180s1 +760s1

s1 / 3 ;

0

ϕ4

A(M B )= ∫

(70 +20ϕ)dϕ = 70ϕ4 +10ϕ42 ;

0

A(

)= −m

gh ;

A(

)= −F

h ;

A(

)= −F h cos 30D;

P

2

F

F

2

2

тр 2

тр 2 2

2

2 2

A(

P3 )= −m3 gh3 ;

A(

P5 )= −m5 gh5 ;

A(

P6 )= −m6 gh6 ;

A(

P7 )= −m7 gh7 ;

A(

упр)=

с

(x02 − x12 ),

F

2

где

s1

– перемещение груза 1;

h2 ,

h3 , h5 ,

h6 ,

h7

– вертикальные перемещения точек приложения сил тяжести

соответствующих тел; ϕ4 – угол поворота тела 4; x0 ,

x1

– соответственно начальная и конечная деформации

пружины (x0 = 0);

F

= fN

1

= fm g cos 60D;

F

= fN

2

= fF cos 60D .

тр1

1

тр 2

2

В соответствии с рис. Д2

h

= ОD −ОD = l + R

+ R

−

l sin ψ

≈ 0,13 м. Так как

V =V

= 2V

= 2V , то

sin120D

A

2

3

0

5

4

3

6

h3

h

= h

=

= 0,065 м. Деформацию пружины x

определим из равенства

2

6

2

1

h3 (R6 +r6 )

x1

=

h6

,

x

=

≈ 0,11 м.

R6 +r6

R6

1

2R6

Вертикальное перемещение центра масс тела 5 равно

h

= R + R

4

+(R + R

4

)sin 30D = 0,53 м;

5

5

5

центра масс тела 7

В D

ВD cos γ

h

= R

+ R

4

+

0 0

−

ОD −

=

7

5

2

2

l sin 45D

1+cos15D

= R

+ R

−

+l

= 0,55 м.

4

D

5

sin120

2

Угол поворота тела 4 равен ϕ =

2π

= 2,09 рад, перемещение тела 1 s

= ϕ

4

r =

2πr4

= 0,21 м.

3

1

4

3

Сумма работ внешних сил системы равна

Ae

= m gs (sin 60D − f cos 60D)+(180 +760

s

/ 3)s

−

∑ k

1

1

1

1

−(m2 g + fF2 cos 60D + F2 cos30D)h2 −m3 gh3 +

+10 (7 +ϕ

4

)ϕ

4

−m gh −m gh

−m gh

−cx

2 / 2 ≈ 216,36 Дж.

5

5

6

6

7

7

1

С учетом равенств (4) и (5) для определения скорости V2

получим уравнение

1

mпрV22 = ∑Ake .

(6)

2

Из уравнения (6) следует, что V2 =	2∑Ake
	= 2,43 м/c.
	mпр
Ответ: V2 = 2,43 м/c.

Задание Д4

ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ О РАВНОВЕСИИ СИЛ, ПРИЛОЖЕННЫХ К МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

Конструкция, состоящая из невесомых стержней 1, 2, 3 и однородного стержня 4, соединенных шарнирами, невесомого ползуна С и пружины, расположена в вертикальной плоскости и находится в равновесии в положении, определяемом углами α и β (рис. Д4.0 –Д4.9).

На рис. Д4.0 – Д4.4 ползун С закреплен шарнирно на стержне 3; на рис. Д4.5, Д4.8, Д4.9 – на стержне 2; на рис. Д4.6 и Д4.7 – на стержне 4.

На конструкцию, кроме силы тяжести стержня 4 и силы упругости пружины, действуют пары сил с заданными моментами.

Определить деформацию λ пружины, коэффициент жесткости которой равен с, в равновесном положении указанной конструкции.

На всех рисунках точка С является серединой соответствующего стержня. Длины стержней равны l1 = O1A = l; l2 = O2B = 2l; l3 = O3C = 3l; l4 = AB = 4l, масса стержня 4 пропорциональна его длине: m = kl4 , где k = 5 кг/м.

Рис. Д4.0

Рис. Д4.1

Рис. Д4.2

Рис. Д4.3

Рис. Д4.4

Рис. Д4.5

Рис. Д4.6

Рис. Д4.7

Рис. Д4.8

Рис. Д4.9

Необходимые для решения задачи исходные данные приведены в табл. Д4.

Методические указания

Перед выполнением задания Д4 необходимо изучить тему «Принцип возможных перемещений», при этом рекомендуется разобрать пример решения и решить самостоятельно следующие задачи: [1, т. 2 – 10.14, 10.20, 10.22]; [6 – Д14]; [5 – 46.14, 46.16, 46.17].

Решение задачи целесообразно проводить в следующей последовательности:

1)построить чертеж в соответствии с заданными углами и соотношениями между длинами стержней;

2)показать на рисунке все действующие на материальную систему активные силы, считая пружину или сжатой, или растянутой;

3)сообщить системе возможное перемещение и показать векторы элементарных линейных перемещений точек приложения сил и углы элементарных поворотов тел;

4)выразить указанные возможные перемещения через одно, что возможно в случае материальной системы с одной степенью свободы;

5)вычислив сумму работ активных сил на соответствующих возможных перемещениях их точек приложения, приравнять ее нулю;

6)заменить в полученном уравнении возможные перемещения через одно выбранное и определить требуемую величину;

7)найти деформацию пружины как отношение модуля ее силы упругости к коэффициенту жесткости. Учесть, что при определении элементарной работы силы, действующей на тело, возможным перемещени-

ем которого является угол поворота, надо момент силы относительно центра поворота умножить на этот угол. При установлении зависимости между величинами элементарных перемещений точек тела может быть использована теорема о равенстве проекций этих перемещений на прямую, проходящую через эти точки.

Таблица Д4

	Номер	Углы, град				Моменты пар сил, Н м
				l, м	с, Н/см
	условия	α	β
						М1	М2	М3
0		15	30	0,6	320	160	0	200
1		45	60	0,4	280	0	180	240
2		30	15	0,5	240	260	140	0
3		60	75	0,6	360	280	0	210
4		45	60	0,5	400	0	170	250
5		75	30	0,4	340	230	290	0
6		15	45	0,6	380	150	0	300
7		30	75	0,5	300	0	220	180
8		60	15	0,4	260	190	270	0
9		75	45	0,5	420	300	0	140

Пример решения задания Д4

На механизм, расположенный в вертикальной плоскости, действуют заданная сила F , сила тяжести однородного стержня 4, сила упругости пружины с коэффициентом жесткости с, и пары сил с заданными моментами M1, M 2 , M 3 (рис. Д4). Невесомые стержни 1, 2, 3 и однородный стержень 4 массы m соединены друг с дру-

гом и опорами O1, O2 , O3 шарнирами.

Рис. Д4

Точки D и C являются серединами соответственно отрезков O3C и АВ, а O2 K = 2BK .

В положении, определяемом углами α, β, γ, механизм находится в равновесии. Найти деформацию пружины в указанном положении механизма.

Дано: α = 30°, β = 75 °, γ = 15°, ϕ = 60°, l1 = l = 0,4 м, l2 = 1,5l, l3 = 2l, l4 = 2,5l, АС = СВ, m = 10 кг, F = 200

Н, М1 = 320 Н м, М2 = 180 Н м, М3 = 60 Н м, с = 470 Н/см.

Определить: величину деформации λ пружины в положении равновесия.

Решение

Применим принцип возможных перемещений, в соответствии с которым сумма элементарных работ активных сил системы на возможных перемещениях их точек приложения равна нулю.

Уравнение возможных работ

∑δAk = 0 .

(1)

Показываем действующие на механизм активные силы F , P, Fy , предполагая, что пружина сжата, и пары сил с моментами M1, M 2 , M 3 .

Сообщим механизму возможное перемещение, при котором стержень 1 повернется на угол δϕ1 вокруг оси O1 . Выразим возможные линейные перемещения точек A, B, C и угловые перемещения стержней 2, 3 через угол δϕ1 . Это возможно сделать, так как рассматриваемый механизм имеет одну степень свободы. Учитываем,

что зависимость между возможными перемещениями сохраняется в таком же виде, что и для скоростей, соответствующих этим перемещениям.

Возможное перемещение δS A точки А перпендикулярно O1 A и его направление определяется направлением δϕ1 , при этом оно равно

δSA = l1 δϕ1 .

Определяем возможное перемещение δ

B точки В, учитывая, что δ

B

перпендикулярно O2 B и проекции

S

S

δ

A и δ

B на прямую АВ равны

S

S

δSB cos ψ = δS A cos (90D −α) ,

(2)

где ψ = α +β−90D =15D .

Тогда перемещение δ

B равно

S

δS

A

cos 60D

l

δϕ

cos 60D

δSB

=

=

1

1

.

(3)

cos15D

cos15D

Построим мгновенный центр поворота стержня 4, которым является точка C4

пересечения перпендикуля-

ров к δS A и δSB , восстановленных из точек А и В; при этом направление поворота стержня 4 вокруг точки C4 определяется направлениями δS A или δSB .

Возможное перемещение δSC точки С стержня 4 (или все равно, что ползуна, так как он шарнирно связан в этой точке с этим стержнем) перпендикулярно отрезку CC4 и направлено в соответствии с угловым перемещением δϕ4 .

Выразим через длину стержня 4 сторону C4 B треугольника AC4 B :

C4 B	=	AB	;	C4 B =	AB sin α	.
sin α		sin β
					sin β

Высота C4 N треугольника AC4 B равна

sin β

C4 N = C4 B sin[180D −(α+β)] = AB sin αsin (α+β).

Определим отрезки BN и CN:

BN = C4 B cos [180D −(α+β)]= −

AB sin αcos (α+β)

;

sin β

CN =

AB

− BN

=

AB[sin β+ 2sin αcos (α +β)]

.

2

2sin β

Находим углы C4CN и θ:

2sin αsin (α+β)

tg C4CN =

C4 N

=

≈1,37 ;

CN

sin β+ 2sin αcos (α+β)

C4CN = 54D;

θ = 90D − C4CN = 36D.

Проекции возможных перемещений δ

A , δ

C

точек А и С на прямую АВ равны, поэтому

S

S

δSC cos θ = δSA cos 60D,

l δϕ

cos 60D

δSC

=

1 1

.

(4)

cos 36D

Возможное перемещение точки С стержня 4 является сложным, которое может быть представлено совокупностью двух перемещений: переносного δSCe , под которым понимается перемещение точки стержня 3, совпадающей в данном положении с точкой С, и относительного δSCr , под которым понимается перемещение точки С по отношению к стержню 3. Перемещение δSCe перпендикулярно O3C , а перемещение δSCr направлено по прямой O3C (рис. Д4).

Как следует из рис. Д3, перемещение δSCe равно

δS e

= δS

C

sin θ = l δϕ cos 60Dtg 36D .

C

1

1

Так как точка D – середина отрезка O3C , то ее перемещение

δSD =

δS e

C .

стержня 2 вокруг оси O2

2

Угол поворота δϕ2

δS

B =

l

δϕ

cos 60D

δϕ2

=

1

1

.

l2 cos15D

l2

Угол поворота δϕ3

стержня 3 вокруг оси O3 равен

δS e

l

δϕ cos 60Dtg 36D

δϕ3 =

C =

1

1

.

l3

l3

(5)

(6)

(7)

Составляем для рассматриваемого механизма уравнение возможных работ:

M1δϕ1 −M 2δϕ2 − M3δϕ3 + PδSC cos (90D −α −θ)+

(8)

+ F sin ϕ2l2δϕ/ 3 − Fуl3δϕ3 / 2 = 0.

Заменяем в уравнении (8) возможные перемещения δSC ,

δϕ2 , δϕ3

в соответствии с (4), (6), (7) и выносим

за скобку δϕ1 :

−

M 2l1 cos 60

D

D

tg 36

D

+ mgl1 cos 60

D

cos 24

D

M

− M3l1 cos 60

+

1

l2 cos15

D

l3

cos 36

D

(9)

F sin 60

D

2l cos 60

D

F l

cos 60Dtg 36D

у

1

+

1

−

δϕ

= 0.

3cos15D

2

1

Приравнивая нулю множитель при δϕ1 в равенстве (9) (так как δϕ1 ≠ 0 ), получим уравнение для определения силы упругости, из которого находим, что Fу ≈ 3897 Н. Знак показывает, что пружина, как и предпола-

галось, сжата.

Так как Fу = cλ , то деформация пружины равна

λ = Fcу = 8,3 см.

Ответ: λ = 8,3 см.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ