Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий h₁,h₂,...,hn, образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами.

В этом случае вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на условную вероятность события при этой гипотезе:

Р(А|Н_i).

Последнюю формулу называют формулой полной вероятности.

Пример.Имеются три одинаковых на вид урны; в первой урне 2 белых и 1 черный шар; во второй - 3 белых и 1 черный; в третьей - 2 белых и 2 черных шара. Некто выбирает наудачу одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар - белый.

Решение.Рассмотрим 3 гипотезы:

Н₁- выбор первой урны;

H₂- выбор второй урны;

H₃- выбор третьей урны;

и событие А - появление белого шара.

Так как гипотезы, по условию задачи, равновозможны, то Р(Н₁)=Р(Н₂)=Р(Н₃)=.

Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны р(а|н₁)=; Р(А|Н₂)=; Р(А|Н₃)=.

По формуле полной вероятности .

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Бейеса.

для.

Пример.На предприятии изготавливаются изделия определенного вида на трех поточных линиях. На первой линии производится 20% изделий от всего объема их производства, на второй - 30%, на третьей, - 50%. Каждая из линий характеризуется соответственно следующими процентами брака: 5%, 2%, 3%. Наугад взятое изделие оказалось бракованным, требуется определить вероятность того, что оно сделано на первой линии.

Решение.Обозначим Н₁,H₂,H₃события, состоящие в том, что наугад взятое изделие произведено на первой, второй и третьей линиях.

Согласно условиям задачи Р(Н₁)=0,2; Р(Н₂)=0,3; Р(Н₃)=0,5.

Обозначим А - событие, состоящее в том, что наугад взятое изделие оказалось бракованным.

По условиям задачи Р(А|Н₁)=0,05; Р(А|Н₂)=0,02; Р(А|Н₃)=0,03.

По формуле Бейеса имеем

.

Повторные испытания. Формула Бернулли

Пусть производится nнезависимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться или не появиться. Будем считать, что вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна р. Тогда вероятность появления события А в каждом испытании будет также величиной постоянной и равна

.

Найдем вероятность того, что в nнезависимых испытаниях событие А появитсяkраз и соответственно не появитсяn-kраз.

По теореме умножения вероятностей независимых событий вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в nнезависимых испытаниях событие А появитсяkраз и не появитсяn-kраз равна:. А таких сложных событий будет столько, сколько можно составить сочетаний изnэлементов поk, то есть. Так как эти сложные события не совместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна вероятности одного сложного события, умноженный на их число, то есть:

Эту формулу называют формулой Бернулли.

Заметим, что формула Бернулли применяется тогда, когда число испытаний не велико и вероятность появления события А в каждом испытании отлична от 0 и 1.

Пример. Вероятность того, что расход электроэнергии на протяжении одних суток не превысит установленной нормы, равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 8 суток расход электроэнергии в течении 4 суток не превысит нормы.

Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии на протяжении каждых из 8 суток постоянна и равна: р=0,75. Тогда вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна:

Число испытаний невелико, поэтому искомая вероятность находится по формуле Бернулли: