Свойства пределов
Если существуют конечные пределы то:
1. C=C
2. =C
3. =
4. =
5. =;
6. =, где- непрерывная в ()a функция. Тогда предел и функцию можно менять местами.
7. =
Если А и В являются нулями или бесконечностями, то существуют следующие виды неопределенностей: ,,,,.
Их неопределенность заключается в том, что пределы этих выражений могут быть любым числом или бесконечностью. Это зависит от интенсивности стремления каждой из бесконечно-малых к нулю и каждой из бесконечно-большой к бесконечности. Раскрытие (устранение) неопределенностей, а значит и вычисление таких пределов и составляет основное содержание индивидуальных заданий.
Свойства бесконечно-малых и бесконечно-больших
Если С; lim=lim=lim=0, то
1. ;.
2. ; ;.
3. ;или;,.
4. ;.
Важные пределы
1. .Первый замечательный предел.
На основе этого предела существуют следующие эквивалентные бесконечно-малые:
При х0 ,
или .
2. , а также.Второй замечательный предел .
3. . При
Если , то. При.
4. , при .
Если :. При.
5. пригдеm 0 – любое.
На основе 1,3,4,5 пределов можно записать общую формулу эквивалентных преобразований : х0
На рис. 4.3. приводится геометрическая интерпретация преобразования эквивалентных бесконечно малых на основе перечисленных пределов в окрестностях нуля.
y y y
у=x y=tg(x) y=argsinx
у=sinx у=х
х x x
у=х
y у y
y=x y=ln(1+x)
y=argtg x y=cos x
x
x х
y=x
y=
y y
y=x y
y=x y=x
х -1 -1 1
-1 x x
-1 -1
y=
Рис. 4.3.
Следует подчеркнуть: в окрестностях нуля трансцендентные функции sin x , tg x , arcsin x, arctg x , ln x, exp x, а также двучлен в степени m можно заменить на линейную функцию, а x на квадратичную функцию. Это обстоятельство имеет место, если аргумент х простой.
Если аргумент функции сложный, т.е в свою очередь является функцией, то рассмотренные ранее эквивалентные замены справедливы, но при условии стремления этого сложного аргумента к нулю, а сама замена должна быть соответствующей.
Так, если u=u(x), то , приu0; еu u+1, при u0 и т.д. Пример: х,