4.2. Вычисление типовых пределов
Приводятся типовые пределы с неопределенностями и некоторые способы их вычисления.
Неопределенности ,, , , содержащие алгебраические выражения.
Неопределенности ипреобразованиями переводятся вили. Последние разрешаются единым подходом: необходимо выделить в числителе и знаменателе тот множитель, который дает неопределенность и его сократить. Иногда выделение такого множителя достаточно «головоломное».
Пример 1. .
Пример 2. ==.
Пример 3.
.
Пример 4. .
Дающий неопределенность множитель (х-1) в знаменателе выделить легко, в числителе – труднее. Нужно весь предел умножить и разделить на сопряженный числитель, т.е на .
Пример 5. .
Нетрудно догадаться, что неопределенность дает множитель (х - 1), но выделить его непросто. Нужно всё выражение умножить и разделить и на сопряженный числитель и на сопряженный знаменатель.
Пример 6. .
Обычное выделение множителя х, дающего неопределенность, не приводит к решению, т.к. опять получается неопределенность. Решение кроется в устранении радикалов любым способом, например, самым простым – заменой переменной, с дальнейшим выделением и сокращением множителя, дающего неопределенность.
.
Пример 7. .
Пример 8. .
Пример 9.
.
Пример 10. , здесь несколько видов неопределенностей, которые устраняются последовательно, аналогично арифметическим действиям=
Пример 11. , для перевода этой неопределенности внеобходимо разделить и умножить на сопряженное выражение=
Пример 12. , для устранения неопределенности вида () в числителе нужно все выражение умножить и разделить на неполный квадрат суммы , а в знаменателе - нужно все выражение умножить и разделить на сопряженный знаменатель.
.
Разрешение неопределенности .
В конечном счете, эта неопределенность сводится ко 2му замечательному пределу:
- любые непрерывные функции от х.
Иногда полезно воспользоваться 7м свойством пределов:
.
Вот типичный пример, когда и- алгебраические выражения.
Пример.
Разрешение неопределенностей с помощью важных пределов.
Общий подход: неопределенность , выраженная известными трансцендентными функциями, с помощью 1, 3, 4, 5 важных пределов преобразуется в неопределенность, выраженную алгебраическими функциями, которая разрешается сокращением в числителе и знаменателе множителя, дающего эту неопределенность.
Пример 1.
.
Пример 2. Эквивалентные замены тригонометрических функций на алгебраические производить нельзя, т.к сам аргументх не является бесконечно малой. Нужно перейти к новой переменной, которая была бы бесконечно малой и далее действовать по известному плану:
Пример 3. .
Пример 4.
.
Пример 5. непосредственный переход к новой переменной t= x - 2, с последующей заменой эквивалентных бесконечно малых приведет опять к неопределенности . Нужно предварительно «разрушить» скрытый ноль в числителе с помощью сопряженного выражения.
Пример 6.
Пример 7.