Числові характеристики випадкових величин
Одними з основних числових характеристик випадкових величин є середнє значення і середнє квадратичне, або стандартне відхилення.
Середнє значення є характеристикою положення випадкової величини на числовій осі, тобто вказує деяке середнє, орієнтовне значення, навколо якого групуються всі можливі значення випадкової величини.
Воно обчислюється як
, (2.3)
де х1,..., хn – значення випадкової величини;
n - кількість значень випадкової величини.
Середнє квадратичне відхилення є характеристикою ступеня розсіювання значень випадкової величини навколо її середнього значення. Воно обчислюється як
, (2.4)
де хі – поточні значення випадкової величини.
Середнє значення і середнє квадратичне мають розмірність відповідної випадкової величини.
Безрозмірною характеристикою ступеня розсіювання значень випадкової величини навколо її середнього значення є коефіцієнт варіації. Він обчислюється як
, (2.5)
Нормальний закон розподілу випадкових величин
Нормальний закон розподілу випадкових величин - це закон, який найбільш часто зустрічається на практиці. Головна його особливість в тому, що він є граничним законом, до якого наближаються інші закони розподілу.
Крива
нормального закону розподілу (рис.
2.1) симетрична відносно середнього
значення
,
а її положення на осі абсцис визначаєтьсявеличиною
середнього значення. Форма кривої
нормального закону розподілу
визначається величиною середнього
квадратичного відхилення G.
Рис. 2.1 – Криві нормального розподілу випадкової величини
Нормальний
закон розподілу характеризується
слідуючою закономірністю:
практично всі, а саме 99,73 %, значення
випадкової величини,
яка підлягає нормальному закону
розподілу, знаходяться в інтервалі
.
Ця закономірність називаєтьсяправилом
3G.
Правило 3G знаходить застосування при вирішенні практичних задач. Наприклад, при аналізі результатів вимірювань випадкової величини може трапитись ситуація, коли поряд з близькими значеннями вимірів трапляється значення, яке суттєво відрізняється від інших. В цьому випадку виникає питання: "Враховувати значення, яке суттєво, відрізняється, в подальшому аналізі результатів вимірювань, чи знехтувати ним?"
Таке
питання вирішується слідуючим чином.
Маючи на увазі, що результати
вимірювань мають нормальний закон
розподілу (для перевірки, чи
це дійсно так, існують спеціальні
методи), визначають значення
і
G
випадкової
величини без врахування значення, яке
суттєво відрізняється. Далі,
за обчисленими значеннями будують
інтервал
.
Якщо
значення, яке
суттєво відрізняється, потрапляє в цей
інтервал, то його приймають для подальших
розрахунків, а якщо виходить за межі
інтервалу
-
то
ним нехтують.
Порядок виконання роботи
1.
За даними варіанту завдання (табл. 2.1)
обчислити значення
іG.
2.
Побудувати інтервал
.
3. Визначити, чи потрапляє в цей інтервал значення, яке суттєво відрізняється.
4. Зробити висновок про необхідність врахування значення, яке суттєво відрізняється, в подальшому аналізі результатів вимірювань, чи нехтування ним.
Таблиця 2.1 - Варіанти завдань
|
Варіант |
Випадкові величини f(x) |
Варіант |
Випадкові величини f(x) | ||||||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 | ||
|
1 |
5,0 |
4,8 |
5,2 |
5,3 |
6,5 |
5,0 |
4,9 |
5,1 |
16 |
6 |
5 |
6 |
5 |
7 |
7 |
7 |
4 |
|
2 |
14,0 |
14,5 |
13,9 |
15,1 |
16,9 |
15,3 |
14,8 |
15,1 |
17 |
9,9 |
10,1 |
10,0 |
10,1 |
9,8 |
9,4 |
10,0 |
10,2 |
|
3 |
6,9 |
7,1 |
3,9 |
4,7 |
5,4 |
6,2 |
4,9 |
5,1 |
18 |
4,0 |
3,8 |
4,2 |
4,3 |
5,5 |
4,0 |
3,9 |
4,1 |
|
4 |
43,9 |
44,5 |
45,4 |
44,1 |
44,2 |
44,0 |
44,1 |
44,0 |
19 |
18,0 |
18,5 |
17,9 |
19,1 |
20,9 |
19,3 |
18,8 |
19,1 |
|
5 |
1,4 |
0,9 |
1,3 |
1,0 |
1,48 |
1,0 |
0,95 |
1,1 |
20 |
6,5 |
6,0 |
4,1 |
4,9 |
5,0 |
6,0 |
4,9 |
5,0 |
|
6 |
0,980 |
1,05 |
0,799 |
0,870 |
0,950 |
0,893 |
1,0 |
0,910 |
21 |
33,9 |
34,5 |
35,2 |
34,1 |
34,2 |
34,0 |
34,1 |
34,0 |
|
7 |
10,1 |
9,9 |
10,2 |
10,1 |
9,8 |
9,9 |
10,0 |
10,4 |
22 |
1,1 |
0,8 |
1,2 |
1,0 |
1,48 |
1,2 |
0,95 |
1,2 |
|
8 |
24,5 |
23,7 |
23,6 |
23,8 |
23,7 |
23,8 |
23,7 |
23,6 |
23 |
0,780 |
1,01 |
0,799 |
0,860 |
0,920 |
0,893 |
1,0 |
0,940 |
|
9 |
13,3 |
18,7 |
12,9 |
15,5 |
13,9 |
13,1 |
13,4 |
14,0 |
24 |
9,1 |
8,9 |
9,2 |
10,1 |
8,8 |
8,9 |
9,0 |
10,6 |
|
10 |
5,8 |
5,2 |
4,9 |
5,1 |
3,9 |
5,5 |
5,5 |
5,7 |
25 |
14,6 |
13,7 |
13,6 |
13,8 |
13,7 |
13,8 |
13,7 |
13,6 |
|
11 |
10,7 |
9,3 |
9,2 |
10,5 |
10,0 |
9,7 |
10,0 |
11,6 |
26 |
13,1 |
15,7 |
12,2 |
15,0 |
13,9 |
13,1 |
13,4 |
14,0 |
|
12 |
4,9 |
4,1 |
3,1 |
4,1 |
5,1 |
4,2 |
4,9 |
5,1 |
27 |
4,8 |
4,2 |
3,9 |
4,1 |
2,9 |
4,5 |
4,5 |
4,7 |
|
13 |
0,880 |
0,905 |
0,699 |
0,770 |
0,910 |
0,891 |
0,930 |
0,910 |
28 |
50,7 |
49,3 |
49,2 |
50,5 |
50,0 |
49,7 |
50,0 |
51,6 |
|
14 |
0,80 |
0,55 |
0,73 |
0,80 |
0,95 |
0,89 |
0,80 |
0,69 |
29 |
19,9 |
19,1 |
18,1 |
19,1 |
20,1 |
19,2 |
19,9 |
20,1 |
|
15 |
23 |
30 |
39 |
38 |
32 |
33 |
31 |
29 |
30 |
1,880 |
1,905 |
1,699 |
1,770 |
1,910 |
1,891 |
1,930 |
1,910 |