2.2 Пряма на площині

Пряма лінія на площині ХОУ - множника точок М (х;у), що задовольняють рівняння , де А, В, D – задані коефіцієнти прямої, причому

Рівняння прямої, що проходить через точку Мо (х_о; у_о) і має вектор нормалі має вигляд:

А(х—х_о)+В(у—у_о) = 0 (1)

Рівняння прямої, що проходить через дві різні точки М₁(х₁;у₁) i М₂(х₂;y₂) таке:

(2)

Piвняння прямої, що проходить через данy точку М₀(х_о;у_о) y зaданомy напрямку

y - y_o = k(x—x_o) (3)

де k = tgα — кутовий коефіцієнт прямої, α — кут між прямою i віссю ОХ.

Якщо прямої i задані рівняннями з кутовим коефіцієнтами і , то кут між ними обчиcлюється по формулі:

Умова паралельності прямих i має вид k₁ = k₂ , a yмoвa їх перпендикулярності Якщо прямі ₁ і ₂ задані загальними рівняннями A₁х+ В₁y+C₁ =0 і A ₂x+В₂y+C₂=0 , то величина кута між ними обчислюється по формyлі

умова їх паралельності

умова їх перпендикулярності A₁A₂+B₁B₂=0.

Відстань d від точки M₀(x_0;y₀) до прямої A_x+B_y+C=0 обчислюється по формулі

Приклад 1.

Дано трикутник із вершинами A(1,-2), В(5;4) i С(-2;0). Скласти рівняння медіани СМ, висоти BN та бісектриси AP.

Разв'язок. Якщо М(х₁;у₁) — середина сторони АB, то і звідси М(3;1).

Тeпер рівняння медіани CM знайдемо як рівняння прямої, що проходить через дві точки С(-2;0) i М(3;1). Маємо за формулою (2):

Оскільки висoта BN проходить через точку B i має вектор нормaлі то за формулою (1) дістанемо рівняння прямої BN:

- 3(х- 5) + 2(y-4)=0 aбo Зх-2y-7=0.

Для визначення рівняння прямої AP скористаємося властивістю бісектриси :

Маємо тому

.

Оскільки точка P(x;y) ділить відрізок ВС y відношенні то за формулами , дістанемо і тоді,

Отже, рівняння бісектриси AP, знайдемо як рівняння прямої, що проходить

через дві точки A(1;-2) i (формула 2).

Маємо

або або

Завдання4

Знайти рівняння висоти, медіани i бісектриси тpикутника зі сторонами

Варіанти завдань для самостійного виконання

1. x +Зу +3 = 0, x -2y +1 = 0, 2x -5y +1 = 0.

2. 2х-y+ 1=0, x-2y-1 =0, x+y+2=0

3. Зх+у+4=0, x-y+1= 0, x+2y+ 2 =0.

4. 2x-y+1=0, Зх-2y-1=0, x +3у = 0.

5. х-2y+3=0, 2x+1=0, х+Зу+1=0

6. х+3y-6=0, 3х–y+2=0, x-2y-1=0

7. 2х–y+3=0, x+5y-7=0, 3х- 2y + 6=0.

8. 5х-2у+6=0, 4х–у+3=0, х+Зу-7=0.

9. х+2y+3=0, Зх-7y+9=0, 5х-Зу-11=0.

10. 5х-Зу-15=0, х+5y-3=0, Зх+у+5=0.

11. I8x+ 6y-17 = 0, 14х-7у+15=0, 5x+10y- 9=0.

12. 2x-5y-2=0, x+y-8=0, 5x-2y-5=0.

13. 2x-y-2=0, x+y-6=0, 2x+y-4=0.

14. 4x + 3у - 5 = 0, x - 3у +10 = 0, х-2=0.

15. 2x+y+4=0, Зх-5y-7=0

16. 2х+2у+5=0, 3x-y+1=0, x-3y+7=0.

17. х+2у+5=0, 3x+y+1=0, x+y+7=0.

18. х+3y-6=0, 3х–y+2=0, x-2y-1=0.

19. х + 3у - 7 = 0, 4x-у-2=0, 6x + 8y - 35 = 0.

20. Зх+4y-20=0, 7x-24y-180=0, 4х - зу + 15 = 0.

21. 2x+y-14=0, х=3, y=2.

22. 2x+y+4 =0, x+7y-11=0, Зх-5у-7=0.

23. x+y-2=0, 7x-y+4=0, Зх+y-14=0.

24. y - 2х = 0, х -3у -15 = 0, Зх+y-25=0.

25. x+7y-6=0, x-y-6=0, 7х+у-10=0.

26. 2х-у+1=0, х-2у-1=0, x+y+2=0.

27. х+Зу-6=0, Зх-у+2=0, x-2y-1 =0.

28. 2x-y+ 1 =0, Зх-2y-1 =0, x +3у = 0.

29. 2x-y+1=0, x-2y-1=0, x+y+2=0.

30. 5x+2y-1=0, х=2, y=3.