строймех_методичка _по_второй _лабе

N Pu i N0 cos Q0 sin .

(1.18)

Поперечная сила Q в поперечном сечении v v арки (рис. 1.12, б) равна

сумме проекций сил в вертикальном сечении I (рис. 1.12, а) на поперечное сечение v v :

Q Pv i Q0 cos N0 sin .

(1.19)

Изгибающий момент М в поперечном сечении v v арки равен изгибающему моменту M0 в вертикальном сечении I, если при определении момента

M0 были учтены моменты горизонтальных составляющих сил:
M M0 .	(1.20)

Линии влияния различных факторов.

Линией влияния какого-либо фактора называется график, изображающий изменение этого фактора в зависимости от положения единичной силы при перемещении ее по сооружению.

Изобразим трехшарнирную арку и единичную силу, перемещение которой определяется координатой х (рис. 1.13). Начало координатной оси совмещено с точкой А.

Рис. 1.13. Схема трехшарнирной арки и единичной силы, перемещающейся по арке

Линии влияния опорных реакций. При действии единичной силы в опорах возникают опорные реакции VA , H A , VB , HB (рис. 1.14).

Рис. 1.14. Схема трехшарнирной арки и опорных реакций от действия единичной силы

Используя уравнение равновесия в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно точки В ( M B (Pi ) 0 ), находим

VA l 1 (l x) 0, откуда VA 1 x / l . (1.21)

Выражение (1.21) описывает линию влияния опорной реакции VA .

Используя уравнение равновесия в виде равенства нулю суммы моментов

сил относительно точки А ( M A (Pi )	0 ), находим
VB l 1 x 0 ,	откуда VB x / l .	(1.22)
	11

Выражение (1.22) описывает линию влияния опорной реакции VB .

Разделив арку по шарниру С, рассмотрим условия равновесия левой части в виде равенства нулю суммы моментов всех сил, действующих на левый стер-

жень, относительно точки С ( MC (Pi ) 0 ):

при перемещении единичной силы по стержню АС

VA l / 2 1 (l / 2 x) H A f 0 ,

0 x l / 2 ,

при перемещении единичной силы по стержню СВ

VA l / 2 H A f 0 ,

Из данных уравнений следует, что

H A	VA l / 2 1 (l / 2 x)
		f
	H A	VA l / 2	,
		f

l / 2 x l .

,0 x l / 2 ,

l / 2 x l .

(1.23)

(1.24)

Выражения (1.23) и (1.24) описывают линию влияния опорной реакции H A .

Из уравнения равновесия в виде суммы проекций сил на ось х (рис. 1.14), следует

H A HB 0 ,

откуда HB H A .

(1.25)

Линии влияния внутренних силовых факторов в заданном сечении. При перемещении единичной силы по арке в поперечных сечениях арки возникают внутренние силы: продольные силы N , поперечные силы Q , изгибающие мо-

менты M . Рассмотрим последовательность определения Nk , Qk , Mk в поперечном сечении, пересекающем ось арки в точке К (рис. 1.15).

Рис. 1.15. Схема трехшарнирной арки и положения заданного поперечного сечения

Координаты точки К равны xk и yk . Нормаль к поперечному сечению составляет с горизонтальной линией угол k .

Для определения Nk , Qk , Mk в поперечном сечении, пересекающем ось арки в точке К, воспользуемся уравнениями (1.18) и (1.19) в виде

Nk Nk 0 cos k Qk 0 sin k ,	(1.26)
Qk Qk 0 cos k Nk 0 sin k ,	(1.27)
Mk Mk 0 ,	(1.28)

12

где Nk 0 , Qk 0 продольная и поперечная силы в вертикальном сечении точки К,

возникающие от действия единичной силы при перемещении ее по арке; Mk 0 – изгибающий момент в вертикальном сечении точки К, возникающий от

действия единичной силы при перемещении ее по арке.

Внутренние силы Nk 0 , Qk 0 и Mk 0 в вертикальном сечении точки К определим, используя схему положительных слагаемых на рис. 1.11:

Nk 0

= H A ,

Qk 0

= VA 1,

xA x xk ,

(1.29)

V

(x x ) H

VA ,

xk x l,

( y

k

y

A

) 1 (x x),

x

A

x x ,

Mk 0

A

k

A

A

k

k

(1.30)

(xk

x ) H A ( yk yA ),

xk x l.

VA

A

Значения VA определяются из (1.21), значения H A определяются из (1.23) и

(1.24).

Выражения (1.26)–(1.28) с учетом (1.29) и (1.30) описывают линии влияния внутренних силовых факторов в заданном поперечном сечении арки.

2. Пример расчета трехшарнирной арки 2.1. Задание для расчета

Для заданной трехшарнирной системы, схема нагружения которой приведена на рис. 2.1, требуется:

1.Произвести кинематический анализ.

2.Определить реакции в опорах арки.

3.Определить значения и построить эпюры продольных сил, поперечных сил и изгибающих моментов в поперечных сечениях арки.

4.Для заданного сечения K построить линии влияния продольной силы, поперечной силы и изгибающего момента.

5.По линиям влияния определить внутренние силовые факторы в заданном сечении и сопоставить их со значениями на соответствующих эпюрах.

Исходные данные: Р = 70 кН, q = 80 кН/м, f = 5 м, l = 28 м, = 0,75, xk = 21 м, xC = l / 2 = 14 м. Линия оси арки – дуга окружности (точка С и центр окружности лежат на одной вертикальной линии).

Рис. 2.1. Расчетная схема трехшарнирной арки

13

2.2. Кинематический анализ

Для того, чтобы образованная стержневая система была геометрически неизменяема, необходимо, чтобы число степеней свободы w системы было равно нулю. Число степеней свободы w стержневой системы, состоящей из n стержней, соединенных с помощью p шарниров, и имеющей C0 опорных стержней,

можно определить из (1.1) как

w 3n 2 p C0 .

Для системы из двух стержней арки ( n 2), соединенных одним шарниром ( p 1) и имеющих четыре опорных стержня C0 =4 (две шарнирно-неподвижные

опоры, каждая из которых эквивалентна двум опорным стержням), w 3 2 2 1 4 = 0,

т. е. трехшарнирная арка является геометрически неизменяемой системой. Для определения неизвестных реакций необходимо, чтобы число уравне-

ний равновесия было равно числу неизвестных. Для плоской системы сил из

(1.3)

3n C0 2 p .

Так как для геометрически неизменяемой трехшарнирной арки из (1.2) это условие обеспечивается, то поставленная задача по определению опорных реакций разрешима и трехшарнирная арка является статически определимой системой.

2.3. Определение реакций в опорах арки

При действии внешней нагрузки на трехшарнирную арку (рис. 2.2) в ее опорах возникают неизвестные реакции: VA , H A , VB , HB .

Рис. 2.2. Расчетная схема трехшарнирной арки для определения реакций в опорах

Для определения неизвестных реакций VA , H A , VB , HB вначале составляем для всей системы (рис. 2.2) три уравнения равновесия в виде равенства нулю суммы проекций всех сил на ось х ( Pix 0 ), в виде равенства нулю суммы

моментов всех сил относительно точки А ( M A (Pi ) 0 ), в виде равенства нулю суммы моментов всех сил относительно точки В M B (Pi ) 0 :

14

	Pix	0 ,	H A HB 0 ,	HB H A ,	(2.1)
M A (Pi ) 0 ,	q l	l	P l VBl 0 ,	80 21 10,5 70 21 VB 28 0 ,
		2
	V 80 21 10,5 70 21 19110 682,5 кН;				(2.2)
	B		28	28
M B (Pi ) 0 ,	q l(l	l ) P(l l) VAl 0 , 80 21 17,5 70 7 VA 28 0 ,
		2
	VA	80 21 17,5 70 7		29890 1067,5 кН.	(2.3)
			28	28

Рис. 2.3. Схема действия сил на левый стержень арки

Далее систему разделим на составные стержни и рассмотрим равновесие левого стержня (рис. 2.3) в виде равенства нулю суммы моментов сил, дейст-

вующих на стержень, относительно точки С ( MC (Pi ) 0 ):

MC (Pi ) 0 ,	H A	f q 0,5l 1 0,5l VA 0,5l 0 ,
H A (VA 0,5l q 0,5l 1		2
	0,5l) / f (1067,5 14 80 14 7) / 5 1421 кН.
2		HB H A = 1421 кН.	(2.4)
Учитывая (2.1), находим, что

2.4. Определение внутренних силовых факторов в поперечных сечениях арки. Построение эпюр продольных сил, поперечных сил и изгибающих моментов

2.4.1. Определение внутренних силовых факторов в вертикальных сечениях арки. Построение эпюр продольных сил, поперечных сил и изгибающих моментов

Если заданные силы и реакции в опорах представлены на расчетной схеме в виде вертикальных и горизонтальных составляющих (рис. 2.4), то для определения внутренних силовых факторов в произвольном i-м вертикальном сечении можно использовать схемы положительных слагаемых, представленных на рис. 1.11 для левой отсеченной части арки.

15

Рис. 2.4. Схема трехшарнирной арки для определения внутренних сил в сечениях арки

Координаты центра тяжести i-го сечения х и у. Тогда в соответствии со схемой положительных слагаемых (рис. 1.11) запишем

			N0 H A 1421 кН,					0 x l ,
			V	q x,			0 x x ,
			Q0 A					k
			VA q xk P,				xk x l,
M0	V		x q x x / 2 H			y,		0 x x ,
		A			A			k	xk x l.
	VA x q xk (x xk / 2) H A y P(x xk ),

Подставляя значения VA , q, P, xk , l , получим

Q0	1067,5 80 x,				0 x 21,
		1067,5	80 21	70,	21 x 28,

(2.5)

(2.6)

(2.7)

(2.8)

M0		x 80	x	2	/ 2	1421 y,	0 x 21,		(2.9)
	1067,5							21 x 28.
	1067,5 x 80 21(x 10,5) 1421 y 70(x 21),

При расчете M0 возникает необходимость определения значения у в зави-

симости от х. По условию задания линия оси арки – дуга окружности. Используя схему, представленную на рис. 1.7, и формулу (1.12), находим радиус окружности R :

	R	f			l2	2,5		282		= 2,5 + 19,6 = 22,1 м.	(2.10)
		2			8 f			8	5
	Используя формулу (1.10), запишем
	y = R2 (x l / 2)2						(R f )			= 22,12 (x 14)2 17,1.	(2.11)
	Расчитаем значения у,			N0 ,			Q0 , M0		в зависимости от х по формулам (2.11),

(2.5), (2.8) и (2.9). Расчетные значения внесем в таблицу 1. В табл. 1 для координаты сечения х = 21 м используются две строки, так как функция Q0 в этом

сечении имеет разрыв.

16

					Таблица 1
Расчетные значения у, N0 , Q0 ,		M0 в зависимости от положения вертикального сечения
Координата	Координата		Продольная сила	Поперечная сила	Изгибающий
i-го сечения	i-го сечения		в i-м сечении	в i-м сечении	момент в i-м се-
по оси х, м	по оси у, м		N0, кН	Q0, кН	чении М0, кНм
0	0		-1421	1067,5	0
1	0,772045		-1421	987,5	-69,5762
2	1,458287		-1421	907,5	-97,2252
3	2,067942		-1421	827,5	-96,0456
4	2,60812		-1421	747,5	-76,1387
5	3,0844		-1421	667,5	-45,4323
6	3,501214		-1421	587,5	-10,2245
7	3,862109		-1421	507,5	24,44358
8	4,169932		-1421	427,5	54,52687
9	4,42696		-1421	347,5	76,79007
10	4,634995		-1421	267,5	88,67236
11	4,795433		-1421	187,5	88,18926
12	4,909316		-1421	107,5	73,86167
13	4,977364		-1421	27,5	44,66579
14	5		-1421	-52,5	0
15	4,977364		-1421	-132,5	-60,3342
16	4,909316		-1421	-212,5	-136,138
17	4,795433		-1421	-292,5	-226,811
18	4,634995		-1421	-372,5	-331,328
19	4,42696		-1421	-452,5	-448,21
20	4,169932		-1421	-532,5	-575,473
21	3,862109		-1421	-612,5	-710,556
21	3,862109		-1421	-682,5	-710,556
22	3,501214		-1421	-682,5	-880,224
23	3,0844		-1421	-682,5	-970,432
24	2,60812		-1421	-682,5	-976,139
25	2,067942		-1421	-682,5	-891,046
26	1,458287		-1421	-682,5	-707,225
27	0,772045		-1421	-682,5	-414,576
28	0		-1421	-682,5	0
		17

На основе расчетных значений построим эпюры внутренних силовых факторов N0 , Q0 , M0 в вертикальных сечениях арки (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Эпюры внутренних силовых факторов в вертикальных сечениях арки

18

2.4.2. Определение внутренних силовых факторов в поперечных сечениях арки. Построение эпюр продольных сил, поперечных сил и изгибающих моментов

После того, как определены внутренние силовые факторы в вертикальных сечениях, можно перейти к определению внутренних силовых факторов в поперечных сечениях v v арки, повернутых относительно соответствующих вертикальных сечений на угол .

Используя формулы (1.18), (1.19), (1.20), запишем выражения, определяющие продольные силы N, поперечные силы Q и изгибающие моменты М в поперечных сечениях арки:

N N0 cos Q0 sin ,	(2.12)
Q Q0 cos N0 sin ,	(2.13)
M M0 ,	(2.14)

где N0 , Q0 , M0 – продольная сила, поперечная сила и изгибающий момент в вертикальном сечении; – угол наклона касательной в данной точке линии

оси арки или угол между поперечным сечением арки и вертикальным сечением в данной точке линии оси арки (рис. 1.12).

Тангенс угла наклона касательной в данной точке линии оси арки равен первой производной функции у = у(х) для этой точки. Линия оси арки – дуга окружности радиуса R . Тогда, используя (1.11)

	y			l / 2 x
				R2 (x l / 2)2 ,

известное равенство tg y , а также соотношения, что

cos		1				1	,
			2			2
1		tg				1 ( y )
sin				1 cos2 ,

получим после преобразований

cos	R2	(l / 2 x)2	,	sin	l / 2 x	.	(2.15)
		R			R

Рассчитаем значения N , Q , M в поперечных сечениях арки в зависимости

от х по формулам (2.12), (2.13), (2.14), (2.15) и (2.16). При вычислениях учиты-

ваем значения N0 , Q0 , M0 , приведенные в таблице 1. Расчетные значения вне-

сем в таблицу 2.

В табл. 2 для координаты сечения х = 21 м используются две строки, так как в этом сечении функции N и Q имеют разрывы.

19

				Таблица 2
Расчетные значения N , Q , M в зависимости от положения поперечного сечения
Координата	Координата	Продольная сила	Поперечная сила	Изгибающий
точки оси арки	точки оси арки	в поперечном	в поперечном	момент в попе-
по оси х, м	по оси у, м	сечении N, кН	сечении Q, кН	речном сечении
				М = М0, кНм
0	0	-1775,75	-74,1968	0
1	0,772045	-1730,03	-37,3011	-69,5762
2	1,458287	-1686,03	-9,51832	-97,2252
3	2,067942	-1644,35	10,4286	-96,0456
4	2,60812	-1605,44	23,61176	-76,1387
5	3,0844	-1569,66	30,95416	-45,4323
6	3,501214	-1537,3	33,26755	-10,2245
7	3,862109	-1508,58	31,27919	24,44358
8	4,169932	-1483,69	25,6514	54,52687
9	4,42696	-1462,77	16,99631	76,79007
10	4,634995	-1445,95	5,887381	88,67236
11	4,795433	-1433,3	-7,1315	88,18926
12	4,909316	-1424,9	-21,5384	73,86167
13	4,977364	-1420,79	-36,8268	44,66579
14	5	-1421	-52,5	0
15	4,977364	-1425,54	-68,0656	-60,3342
16	4,909316	-1434,4	-83,0308	-136,138
17	4,795433	-1447,55	-96,8966	-226,811
18	4,634995	-1464,95	-109,153	-331,328
19	4,42696	-1486,53	-119,274	-448,21
20	4,169932	-1512,2	-126,708	-575,473
21	3,862109	-1541,84	-130,873	-710,556
21	3,862109	-1564,01	-197,269	-710,556
22	3,501214	-1571,69	-121,825	-880,224
23	3,0844	-1575,77	-44,654	-970,432
24	2,60812	-1576,03	34,3533	-976,139
25	2,067942	-1572,18	115,3339	-891,046
26	1,458287	-1563,86	198,4602	-707,225
27	0,772045	-1550,62	283,9515	-414,576
28	0	-1531,86	372,0928	0
		20