NeOpredInteg (1)

Контрольная работа № 1

1. Найти неопределенные интегралы сведением к табличным интегралам:

1.1.

ò

xcos x + sin x

dx .

1.17.

ò

ctg xdx.

(xsin x)2

1.18.

ln x dx .

dx

ò

x

1.2.

òcos2 x(2tgx + 5).

1.19.

ò sin2 (2 - 3x) dx .

1.3.

ò

cos x - x × sin2

xdx .

ò

dx

(x × cos x)

1.20.

.

1 + cos x

e2x

1.4.

ò

dx .

1.21.

ò cos x cos2xcos3xdx .

ex

+1

ò

2

x

+

5

x

1.5.

ò

dx

.

1.22.

dx .

10x

sin

2

x cos

2

x

ò

arcsin5x

1.6.

ò (tgx + ctgx)2 dx.

1.23.

dx .

2

dx

1- 25x

1.7.

ò

.

1.24.

ò

dx

.

x

2ln x +1

òxe−x2 dx .

5 (2 - x)3

1.8.

1.25.

ò

dx

.

1.9.

ò

dx

.

x + 1 -

x

ln x +1

x2 + x4

1.26.

ò

dx .

(xln x)3

1.10.

ò ecos 5x sin 5x dx .

1.27.

ò

tg

x

dx .

1.11.

ò tg

2

x dx .

x

1

1.12.

ò

arcctg

3

x dx .

1.28.

ò

dx .

2

æ

+ 4x

2

ö

1 + x

ç1

÷arctg 2x

è

ø

1.13.

ò

cos3x

dx .

1.29.

ò

sin x

dx .

5 + 2sin x

3

(5 - cos x)

1.14.

ò

dx

.

1.30.

ò

1

dx .

(arcsin x)2

1 - x2

2 x

cos

1+ 5tg

2 x

1.15.

ò

x

2

dx

2

2

.

3

x

3

-1

1.16.

ò

ln2 x dx .

x

2. Применяя подходящие подстановки,

2.1.	ò		dx		.
			1+ ex

ò3 æ -

2.2.t ç4 3t ÷ dt .

èø

2.3.ò ex+ex dx .

2.4.ò (5t - 2)×(5 - 2t)20 dt .

2.5.ò 22x ex dx .

2.6.ò (t - 3t )6 dt .

2.7.ò (5x + 2)25 dx .

2.8.òx 72x + 5 dx .2 ö6

2.9.	ò			dx
								.
			25 + 3x
2.10.	ò		x3 dx			.
				x2 -1
2.11.	ò			dt					.
				10
		(2 - 5t)
2.12.	ò		x5 dx			.
				1- x2

2.13.ò x 33x -1 dx .

ò arctg x

2.14.x (1+ x) dx .

2.15.ò cos3x sin x dx .

найти следующие интегралы:

2.18.	ò	x2 dx			.
			1- 2x

2.19.ò 1 +dxex .

òx dx

2.20.51 - 5x .

2.21.	ò	x2 dx	.
		50
		(1 - x)

2.22.ò ex2 +4x−5 (x + 2)dx .

2.23.ò e xxdx .

ò

ex

arctg ex

2.24.

dx .

1+ e

2x

2 ö

2.25.

ò

æ

è

ø

x sinç1- x

÷dx .

2.26.

ò

e

1x dx

.

x

2

5

2.27.

ò

tg x

dx .

cos

2

x

ò

2 - 5x

2.28.

2x - 5 dx .

2.29.

ò

x

dx .

(2x -

3

5)

2.30.

ò

cossin xx dx .

e

2.16.ò (2t - 3) 52 - 3t dt .

ò ln x

2.17.x 1 +ln x dx .

3.Применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:

3.1.ò x e2− xdx ; òarctg 3x -1 dx ; òxsin3x dx .

3.2.

òxsin2 x dx ; ò ln2 x dx ;

ò

arctg

dx .

x

x

2

æ

1

ö

ò( x + 2) e

−

x

3.3.

òx

+

5 dx .

sin 2x dx ; òx lnç1

÷dx;

è

x ø

x

3.4.òx2arctgx dx ; ò ln(2x +1)dx; òx2 52 dx .

3.5.ò lnxx dx ; òxcos2 x dx ; òarctg 5x dx .

			ln x	dx ; òxcos3x dx ; ò (3x -1) e−	x
	3.6.	ò			3	dx .
			2
			(x +1)

3.7.òln(1 - x)dx; òxctg 2 x dx ; òxcos 2x dx .

2

x sin x

1−

x

3.8.

ò

ln 2x dx ; ò

dx ;

òx5

2 dx .

2

x

cos

x

arcsin

x

dx .

x

3.9.

ò

dx ; ò

9 - x2

dx ;

ò

5x−2

1 - x

e

3.10.

ò

xcos x

dx ; ò t3 lnt dt ;

ò

cos

dx.

1- 2x

2

sin

x

2

3.11.

ò

x

dx ;

ò x sin(2x+3) dx;

òcos2 (ln x)dx .

2x

e

x

x

2

5−

3.12.

ò x × arctgx dx ; ò

dx ;

òx× e

2 dx .

æ

- 4x

2 ö

2

ç1

÷

è

ø

3.13.

ò

x2 dx

; ò e

2x

sin 5x dx ; ò ln (2 - 5x)dx .

æ

2

ö2

ç x

+1÷

è

ø

æ

ö

2

2− x

3.14.

1 + x

2

e

dx ;

ò arcsin 2xdx ;

ò ln ç x +

÷ dx ; ò x

è

ø

3.15.

ò

æ

2 ö

;

ò

(1 - x)sin 2xdx

;

ò

x

2

ln(1 - x)dx .

è

ø

lnç1 + x

÷dx

3.16.

ò x2e−2xdx ; ò e5x cos2x dx ; ò xsin

dx .

5x

1 + x

ò x2 sin 2x dx ;

dx .

3.17.

òx ln

dx ;

ò e

2x

1- x

ò e − 3

dx ; ò x2 cos2x dx ; ò

3.18.

x+1

4 + x2

dx .

1−

x

ò e 2 x dx ; ò (arctg x)2

3 dx .

3.19.

dx ; òxe

ò xln (2 − 5x)dx ;

ò (arcsin x)2 dx ; ò xcos

x

3.20.

dx .

3

arctg

x5 e− x2

x

dx ; ò x2

3.21.

ò

4 + x2

dx ; ò

dx .

x

1

x dx

3.22.

òarcsin

dx ; ò

; ò ln (2x −1)dx.

2

x

cos

x

3.23.

ò (xsin x)2 dx ; òcos (lnt)dt ; ò arccos (2x) dx .

x dx

3.24.

ò

; ò 5

2x

dx ;

ò

25 - x2

dx .

2

sin x

x

3.25.

ò

ln2 x dx ; ò xcos

dx ; ò

dx .

x

x

e

2−5x

x

3.26.

ò x2 arccos x dx ;

ò ln (5 − 2x)dx;

ò (1 + x)sin

dx .

2

3.27.

æ ln x

ö2

dx ; ò xe

−5x

dx .

òxarcsin xdx; ò ç

x

÷

è

ø

x

3.28.ò arcsin x dx ; ò (ln x)2 dx ; ò xe1− 4 dx .

x2

3.29.ò arcsin xdx; ò e5x cos 2 x dx ; òxln(1 + 2x)dx.

æ

x

ö

3.30.

ò arctg x dx;

ò sin(ln t)dt ; òxlnç1

-

÷dx .

2

è

ø

4. Найти неопределенные интегралы:

4.1.

ò

dx

.

4.5.

ò

dx

.

(x +1) x

2

+1

2 +

2x - x

2

ò

(x - 3)dx

5

4.2.

.

4.6.

ò

x

dx

.

2 + 2x - x2

2 + x

3

6

ò

xdx

- 2x

4.3.

.

4.7.

ò

dx

.

2 + 2x - x2

1- 4x - 2x2

4.4.

ò

x dx

.

4.8.

ò

(1 - 2x ) dx

2 + x2 - 2x4

.

2 + 3x - 2x2

4.9.	ò			dx		.
		x	x	2	+ x +1

4.10.ò x - x2 + 2 dx .

ò(x +1)dx

4.11.- 3 + 8x - 4x2 .

4.12.

ò

(1 + x ) dx

.

2

2 + 5x - x

æ

2

+ x +

ö

ç x

1÷dx

4.13.

ò

è

ø

.

x

2

- 4 x + 5

4.14.

ò

dx

.

(x

+1)

- x

2

- 2x

4.15.

ò

dx

.

(x

+ 2)

x2 + x + 1

4.16.

ò

(x -1)dx

.

(x

+1)2

x

2

- x +1

4.17.

ò

(x + 1)2 dx

.

x

x

2

- 4 x + 5

4.18.

ò

(2x - 5) dx

.

x - 4 x

2

+ 5

4.19.

ò

dx

.

(x

+ 1)

1- x

2

4.20.	ò		(5 - x) dx													.
			x		+ 4 x		2		+ 5
4.21.	ò				x dx									.
						2		- 7
			6x + x
4.22.	ò				dx							.
		x			x -	4 x			2
4.23.	ò					dx													.
		(x + 1)
								2x - x									2
4.24.	ò					dx															.
		(x -1)
								x		2
												- 2x
4.25.	ò					cos x dx
																							.
																	2

1 - 4sin x + cos x

4.26.ò dx .

x2ln x -ln2 x

4.27.ò (1 − x) x − x2 +1 dx .

4.28.

ò

dx

.

2e

x

-e

2x

æ

2x

+ e

x ö

çe

÷dx

4.29.

ò

è

ø

.

e

2x

+2e

x

+ 2

4.30.

ò

x - x2

dx .

5.Применяя метод неопределенных коэффициентов, найти следующие интегралы:

5.1.

ò

3x3 + 5x2 - 25x -1dx .

5.4.

ò

2x2 - 3x +1 dx .

(x + 2)(x -1)2

x3 +1

5.2.

ò

x2 + x -1

dx .

5.5.

ò

3x3 - x2 - 4x +13

dx .

4

3

2

x

3

+ x

2

- 6x

x

- 4x

+13x

5

+

4

3

2

- 3x +1

5.3.

ò

x

x

- 8

dx .

5.6.

ò

x

+ 3x

dx .

3

æ

2 ö

2

x

- 4x

ç x

+1÷

(x + 1)

è

ø

5.7.

ò

x3 + 3

dx .

5.19.

ò

2x2 - x +1

dx .

æ

2

+

ö

2

(x

2

- x +1)(x

2

+ 1)

(x + 1)ç x

1÷

è

ø

ò

2x3 + 3x2 + 3x + 2

4x2 - 8x

5.20.

dx .

5.8.

ò

dx .

(x2 + x + 1)(x2 +1)

(x -

2 æ

2

ö2

1

1)

ç x

+ 1÷

5.21.

ò

dx .

è

ø

1

x

4

+ 2x

2

+1

5.9.

dx .

ò x4

+1

5.22.

ò

x3 + x +1

dx .

4

x (x

2

+ 1)

5.10.

ò

x

+1

dx .

2

4

x

-1

5.23.

ò

x

- 8x + 7

dx .

5.11.

ò

1

dx .

(x

2

- 3x -10)

2

3

1

x4

+1

5.24.

ò

dx .

x

4

5.12.

ò

x

+ x +1

dx .

-1

1

3

ò

x

+ x

5.25.

dx .

x (x

2

- x)

3

5.13.

ò

2x

4

+

2x

2

- x +1

dx .

x3 + x +1

x3 +1

5.26.

ò

dx

ò

x4

- x3 + 3x2 - x + 4

x(x +

1) (1+ x + x

2

)

5.14.

dx .

x -1

x

3

- x

2

+ x

-1

5.27.

ò

dx .

æ

2

ö

2

x

3

- 2x

5.15.

ò

dx .

ç x

+1÷

è

ø

æ

2

+

ö

2

1

ç x

1÷

5.28.

ò

dx .

è

ø

ò

x3

+ 9x2 + 21x + 2

x3 - 8

5.16.

dx .

5.29.

ò

x

dx .

2

2

(x + 3) (x + 3)

(x -1) (1+ x + x

2

)

2

5.17.

ò

1

dx .

5.30.

ò

1

dx .

4

2

x

+ x

+1

æ

3

ö

2

ç x

-1÷

-3 ö2 dx . è ø

xç1 x ÷

èø

6.Применяя гиперболические или тригонометрические подстановки, найти следующие интегралы:1

								x2
6.1.	ò	4 + x	2	dx .		ò
					6.2.					dx.
								4 + x2

6.3.ò 4 - x2 dx .

6.4.	ò		x4			dx .
			4 - x	2
	ò
			x2	2
6.5.			4 - x			dx .
6.6.	ò		x2 -	4		dx .
			x

6.7.ò x2 + 4 dx .

x4

6.8.ò x3 x2 - 4 dx .

6.9.

ò

1

dx .

x

4 + x2

6.10.

ò

1

dx .

2

3

2

æ

ö

ç4 + x

÷

è

ø

6.11.

ò

1

dx .

2

3

2

æ

ö

ç4 - x

÷

è

ø

6.12.

ò

2 + x

dx .

2 - x

6.13.

ò

x - 2

dx .

2 + x

6.14.

ò

x3

dx .

4 - x2

6.15.

ò

1

dx .

x 4 - x2

6.16.

ò

1

dx .

x

x2

- 9

6.17.

ò

1

dx .

2

x

4

- x

2

6.18.

ò

1

dx .

x (4 - x)

6.19.

ò

x

dx .

2

3

2

æ

4 + x

ö

ç

÷

è

ø

6.20.

ò

4x - x2

dx .

6.21.

ò

x2

dx .

æ

2 ö5

ç4 - x

÷

è

ø

6.22.

ò

æ

2 ö3

è

ø

ç3 - 2x

- x ÷ dx .

6.23.

ò

x4

dx .

2

3

2

æ

4 - x

ö

ç

÷

è

ø

6.24.

ò

x2

dx .

9 - x2

6.25.ò x2 - 4 dx .

x4

6.26.	ò				x4					dx .
						2	ö3
	æ			9 - x
	ç						÷
	è						ø
	ò x2
6.27.					25 - x2				dx .

6.28.ò x2 +1 dx .

x4

6.29.ò 2x - x2 dx .

6.30.	ò	1	dx
		x (1 - x)

7. Вычислить интегралы от иррациональных функций:

x

7.1.

ò

1

dx .

7.16.

ò

dx .

3

3

x(1+ 2 x +

x)

ax + b

1−

1

7.2.

ò

x + 1

dx .

7.17.

ò

dx .

(x + 1)3

1 + 3

+

x + 1

x + 1

1

7.3.

ò

x + 1 −

x − 1

dx .

7.18.

ò

dx .

x + 3

x

x + 1+

x −1

7.4.

ò

x

dx .

7.19.

ò

x

−1

dx .

3

+ 1

x

4 x

3

(2

− x)

ò

x

dx .

7.5.

ò

1

dx .

7.20.

x + 2

x + 4

x

1

7.21.

ò

dx .

ò

x

7.6.

dx .

(2 − x)

1 − x

+ 3

x

x

2

1

7.22.

ò x

x −1

dx .

7.7.

ò

x + x

3

+ x

6

dx .

x + 1

3

x + 1

x(1+

3

)

ò

x

7.23.

dx .

x −1

x 3

7.8.

ò

2 + x

dx .

7.24.

ò

x + 3

dx .

x + 3

2 + x

x2

7.9.

ò

1

dx .

2x + 3

ò

1

(1 + 4

)3

7.25.

dx .

x

x

3

(3

− 1)

x

x

7.10.

ò

x

+ 1

dx .

7.26.

ò

x

dx .

x2 −

x

2

x

+ 6x − 7

1 − x

7.11.

ò

dx .

1

3 1+ x

7.27.

ò

dx .

4

1

5

2x − 1 −

2x − 1

x −1

x3 + x

−

+ 1

7.28.

ò

dx .

4

7.12.

ò

dx .

1 − 2x

+ 1

x

7.29.

ò

1

dx .

x + 1

−

4

x + 1

x +

4

x

x −1

x − 1

7.13.

ò

dx .

7.30.

ò

x + 2

dx .

x

1

3 (x + 2)2 + (x + 2)3

ò

7.14.

dx .

1 +

x

7.15.

ò

x3

dx .

x − 1

8. Вычислить интегралы с помощью подстановок Чебышева:

8.1.

1

dx .

ò æ

+ x

4

ö

14

ç1

÷

è

ø

8.2.

x3

dx .

ò æ

+

2x

2

ö32

ç1

÷

è

ø

8.3.

ò

1

dx .

x

4

æ

2 ö 12

ç1 + x

÷

è

1

ø

8.4.

ò

dx .

x

3

æ

5 ö 1

2

ç1 + x

÷

è

1

ø

8.5.

ò

dx .

2

3

5

x

æ

ö

3

ç2 + x

÷

è

ø

8.6.

ò

1

dx .

æ

4

ö 13

x

3

+

x

3

ç1

÷

è

ø

ò

3

1 + 4

8.7.

x

dx .

x

8.8.ò x3 + x4 dx .

8.9.	ò					x										dx .
			1+ 3 x2
8.10.	ò				1						dx .
		3
			1		+ x			3
8.11.	ò				1											dx .
			6
		x			1		+ x					6

8.12.ò 33x - x3 dx .

8.13.	ò			x					dx .
		(1	+ 3				)	2
					x

8.14.	ò			x5												dx .
			1 - x2
8.15.	ò					1										dx .
		4
			1 + x								4
8.16.	ò							1														dx .
		x	3	5 1+								1
												x
										1
8.17.	ò																									dx .
		11
								1			+ x							4
		x																				)2 dx .
8.18.	ò 3				(2 +
			x													x
			1									2											1
8.19.	ò x3 (2 + x 3 )																							4			dx .
8.20.	ò x5 3								(1+ x2 )2																		dx .
										3
8.21.	ò		1		+						x							dx .
			3
							x			2
8.22.	ò							1															dx .
			3
		x					x			2	+1
8.23.	ò												(1 + 3								)4						dx .
			x												x
						7												4
8.24.	ò 3									1+ x									3							dx.
			x
8.25.	ò		1 - x								4					dx .
				x				5
	ò 3
8.26.			1+ 4													dx .
											x
8.27.	ò							x2																dx .
			2x -								3
														x
	ò x−			2														2
8.28.				3 (1+ x 3 )−1 dx .
	ò x3
8.29.								1+ x2																dx .

9.1.

9.2.

9.3.

9.4.

9.5.

9.6.

9.7.

9.8.

9.9.

9.10.

9.11.

9.12.

9.13.

9.14.

9.15.

8.30.	ò				x			dx .
		3
			1		+ 2x	5

9. Вычислить интегралы от тригонометрических функций:

	sin		3 x
ò				2					dx .
	4 cos				x
			2

	ò	1				dx .
		3 sin10 x cos2 x
	ò	sin4 x dx .
		cos2 x
	ò	1		dx .
		cos4 x sin2 x

òsin5 x dx . cos3 x

ò

sin3 5x

dx .

cos 5x

ò

1

dx .

3

tg

x

ò

1

dx .

cos3 x

ò

1

dx .

sin3 x cos x

ò

sin6 x

dx .

cos4 x

ò cos3 2x dx .

ò

sin5

x

dx .

2

ò sin		3 x cos3 x dx .
ò	sin	4 x				dx .
			2
ò	cos4			x		dx .
		2

9.16.ò sin2 2x cos2 2x dx .

9.17.ò sin2 2x cos4 2x dx .

9.18.ò sec5 4x dx .

9.19.ò tg 2 5x dx .

9.20.ò ctg3x dx .

9.21.ò ctg4 2x dx .

9.22.ò (tg 2 3x + tg 4 3x) dx .

9.23.	ò			1									dx .
		sin		4		2x
				1
9.24.	ò												dx .
				6			3x
		cos
		cos2						x
9.25.	ò					2							dx .
		sin		6 x
							2
9.26.	ò					1															dx .
		sin		5		xcos								3		x
9.27.	ò					1														dx .
		sin			x			cos3							x
				2
														2
9.28.	ò	1										dx .
		5
		sin				x
9.29.	ò					1															dx .
			sin x cos3 x