VvedMatAnaliz

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ»

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Сборник примеров и задач по курсу «Математика»

для студентов всех специальностей дневной формы обучения факультета экономики и управления

Рекомендовано методическим советом ГОУ ВПО УГТУ–УПИ

Екатеринбург

2006

УДК 517 Составители Г.Ф. Пестерева, О.Я. Шевалдина

Научный редактор доц., канд. физ.-мат. наук А.С. Кощеев

Введение в математический анализ : сборник примеров и задач по курсу «Математика» / Г.Ф.Пестерева, О.Я. Шевалдина. Екатеринбург : ГОУ ВПО УГТУ – УПИ, 2006. 35 с.

В сборнике примеров и задач содержится 30 вариантов упражнений по разделу «Введение в математический анализ» курса «Математика». Каждый ва- риант включает 7 задач, в том числе одну задачу с экономическим содержани- ем. Набор предлагаемых задач предназначается для аудиторной и самостоя- тельной работы студентов, а также может быть использован при проведении контрольных работ, собеседований и экзаменов.

Сборник примеров и задач рекомендован для студентов всех специально- стей факультета экономики и управления.

Библиогр.: 11 назв.

Подготовлено кафедрой «Анализ систем

ипринятия решений».

©ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ», 2006

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Составители Пестерева Галина Фирсовна

Шевалдина Ольга Яковлевна

Редактор И.В. Меркурьева

Компьютерный набор О.Я. Шевалдиной, Н.Д. Бредихиной

ИД № 06263 от 12.11.2001

Подписано в печать 17.03.06			Формат 60х84 1/16
Бумага типографская	Плоская печать		Усл. печ. л. 2,03
Уч.-изд. л. 1,9	Тираж 50	Заказ	Цена "С"

Редакционно-издательский отдел ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 620002, г. Екатеринбург, ул. Мира, 19

Ризография НИЧ ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 620002, г. Екатеринбург, ул. Мира, 19

Условия задач

Задача 1. Дана числовая последовательность xn :

1)найти 2-й, 100-й, (n + 1)-й члены последовательности xn ;

2)проверить, является ли последовательность xn монотонной;

3)пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

lim

x

n

= A , определив для ε > 0 натуральное число N = N (ε)

такое, что для

n→∞

< ε .

любого натурального n > N справедливо неравенство

xn − A

Задача 2. С помощью «ε − δ» рассуждений доказать, что

lim f (x) = A.

x→xο

Заполнить таблицу:

ε

0,1

0,01

0,001

0,0001

…

δ

Задача 3.	Найти пределы функций.
Задача 4.	При каком значении m функция y = f (x) будет непрерывной
в точке xo ? Построить график этой функции.
Задача 5.	Найти точки разрыва функции, установить их характер. В

точке xo устранимого разрыва определить функцию f так, чтобы ее продолже-

ние на множество D f U{xo} было непрерывным в точке xo .

Задача 6. Исследовать на непрерывность и построить схематично гра- фики функций.

Варианты заданий

Вариант 1

1. x

n

= 2n2 + 1, A = 2 , e =10−3 .

3n2 -1

3

3.

3

+ 2

а)

lim

x - 6

;

x

3 +8

x→−2

в)

lim

x3-1

;

- x)

x→1 sin (1

д)

lim x2 ctg2 3x ;

x→0

1

æ sin x ö

ж)

lim

a−x

;

ç

÷

x→a è sin a ø

3

-1

и)

lim

ln x +1

;

x→1

7

ln x

+1 -1

ì log

4 x,

0 < x £1,

x

=1.

4. y = í

+ x3,

x >1,

îm

o

6.

2x + 2

ì

-

,

x > -2,

ï

x +

3

ï

а) y =

í2 - 4 - x2 , - 2 £ x £1,

ï

x - 3

,

x >1;

ï

î

2.

lim

2x2 - 8x + 6

= 4.

x - 3

x→3

- 5

x5-3

б)

lim

5x + 2

;

x→+∞ 3 3x3+1 + 4 x3

- 4

г)

lim

(x -

);

x(x -1

x→+∞

æ

x2

- x

ö3x2

е)

lim

ç

÷

;

2

x→∞

ç

- x +

÷

è x

1ø

з)

lim

e2x2 + e−3x2 - 2

;

cos 4x -1

x→0

к)

lim

sin 3x .

x→0

sin8x

5.

1

.

y =

1 + 2x arctg

x4 -1

б)

y =

x3 + 2x2 + 3x

;

x

5 x

в)

y = 4

9−x2

.

7. Спрос и предложение на некоторый товар на рынке описываются линей- ными зависимостями вида: q =15 − 3p , s =1 + 4 p . Определите равновес-

ную цену. Установите графическим способом, является ли модель паутин- ного рынка «скручивающейся».

Вариант 2

1.

x

=

n2

, A = 1 , e =10−3.

n

2

2n

+ 3

2

3.

2 - 3

а)

lim

10 - x

;

x

- 2

x→2

в)

lim

16 - x4

;

- 2)

x→2 sin (x

д)

lim x3 ctg

x3 ;

x→0

ж)

ln cos 2x

;

(1- p x)2

-1

и)

lim

4

1 + ln2 x

;

x→1 3 ln

2 x + 1 -1

ì2x - m2 ,

x £1,

4.

y = í

xo

=1.

+

x,

x >

1,

î 1

6.

	2.	lim	6x2 - 5x +1	= -1.
			x -1 3
		x→1 3

б) lim	2	x	+ 3 3		x		-	5	x	;
x→+∞			3x - 3 7x

æ

ö

г)

lim

x

9x

2

+

ç

1 - 3x÷ ;

x→+∞

è

ø

æ x2

+ x - 5

1−x 2

ö

е)

lim

ç

÷

;

2

ç

+ x + 3

÷

x→∞è x

ø

з)

lim

72x

+ 53x - 2

;

2x - arctg 3x

x→0

к)

lim

tg 3x .

x→π tg 4x

5. y =

arcsin (x 2)

.

x3 - 4x2 + 3x

	ì			x				,	x £ 0,
	ï
					x + 4
а) y =	ï								0 < x £ 2,
	ílog2 x,
	ï2x - 3,								x > 2;
	ï
	î
б) y =		x3 - 3x2 + 2x								;	в) y = 2tgx .
					x - 2

7.Найти время удвоения вклада в банке, если ставка банковского процента составляет 7 % годовых.

Вариант 3

1. xn =1 + (0,1)n , A =1, e =10−4 .

3.

а)

lim

x +1

;

x→−1 6x2

+ 3 + 3x

æ

ö

в)

lim

16x

2

+ 3

- 4x

xç

÷ ;

x→+∞

è

ø

д)

lim

ln x -1

;

x→e

x - e

9

-1

ж) lim

x

;

x→1

7

x -1

и)

lim

(sin 2x)tg2 2x ;

x→π 4

ì

4

x+1

,

x £ -1,

ï

4. y = í

x

o

= -1.

ïm -

3 x,

x > -1,

î

6.

ì

x (x + 3)

, x £ 0,

ï1-

а)

y =

4 - x2

,

0 < x £ 2,

í

ï

5 - 2x, x > 2;

î

б)

y =

log

2

xx−3

;

x - 3

2.

lim

2x2 + 3x - 2

= 5.

x -

1 2

x→1 2

2x2 + 3

- 5

б)

lim

x

;

4x + 7

x→−∞

æ x2

- x + 3

ö

3x2

−1

г)

lim

ç

÷

;

2

x→∞

ç

- x - 8

÷

è x

ø

е)

lim

ln cos m x

;

arctg (x2 2)

x→0

з)

lim

earcsin 5x - earcsin 2x

;

3ctg (7p 2 - x)

x→0

к)

lim ctg x ln cos 2x .

x→0

y =

2 -

.

5.

x

16 - x2

в) y =		1− x	.
		+ e 1 x
1

7.Даны зависимости спроса q =100 −10 p и предложения s =100 +10 p от це-

ны p . Найдите равновесную цену, выручку при равновесной цене. По-

стройте график функции выручки и укажите на нем цену p , при которой выручка максимальна; найдите и саму эту максимальную выручку.

Вариант 4

1.

xn

=

3n -1

, A =

3

,

e = 0,4.

2. lim

10x2

+ 9x - 7

= -19 .

5n +1

5

x

+ 7 5

x→−7 5

3.

а) lim		x - 3		;
		- 3x - 9
x→3 2x2

æ

ö

в)

9x -

81x

2

+1

lim ç

÷ ;

x→+∞è

ø

д)

lim

1 - cos12x

;

x→0

x sin 3x

ж)

lim

ln cos 5x

;

arcsin2

2,5 x

x→0

и)

lim

e ax- e bx

;

arctg x

x→0

ì

2

ï

4. y = í3 - 5 - x ,

- 5 £ x £ 2, xo = 2 .

ï

3

x - 2,

x

> 2,

îm +

6.

ì

x

,

x £ 0,

ï

x +1

ï

а)

y =

í

log2 x,

0 < x £ 4,

ï

2

+14x - 36,

x > 4;

ï- x

î

б)

lim

4x -

3 x5 + 2 - 3

;

x→+∞

+ 6x 3 x2

-1

x

г)

lim

x2

(ln (2 + x2 )- 2ln x);

x→+∞

- cos4x

;

е)

lim

1 + xsin 3x

x→0

tg2 x

æ

ö1 (a−x)

з)

lim

ç cos x

÷

;

x→a

ç

÷

è cos a

ø

2 æ

1 ö

к)

lim (x - 5)

ç1

- cos

÷.

x→∞

è

x - 5 ø

6

5. y =

x -1

.

x3 + 2x2 - 8x

б) y =	2x2	2	- x	;	в) y = 9	x
						4−2x	.
	x	- 2x

7.Затраты на производство продукции y (тыс. руб.) выражаются уравнением y = 200 + 5x, где x – количество месяцев. Доход от реализации продукции

выражается уравнением y =185 + 8x . Начиная с какого месяца выпуск

продукции будет рентабельным?

1.	xn	= 2n + 3, A =				2 , e = 0,005.
		3n				3
3.
					-				;
	а)	lim		x + 2			3x - 2
		x→2		x2 - x - 2

æ

ö

в)

lim

4x

2

+ 3

xç

- 2x÷ ;

x→+∞ è

ø

д)

lim sin

(1- x)

;

x→1

x -1

ж)

lim

tg ax - sin ax

;

x→0

arcsin3 bx

5

-1

и)

lim

1 + x2

;

arctg6 3

x→0

x

Вариант 5

2. lim 3x2 - 5x - 2 = 7.

x→2 x - 2

б)

lim

4x2

- 5 2x6 -1 + 2

;

x→+∞

x

+ 3 x4 - 7

æ

2x3

- 3

ö

4x3

−5

г)

lim

;

ç

3

÷

ç

2x

+ 3

÷

x→∞è

ø

е)

lim

æ p

ö

tg 2x tg ç

- x÷;

x→π

4

è 4

ø

з)

lim

e8x2

- e4x2

;

ln (1

+ 4x2 )

x→0

к)

lim (ctg ( x 4))sec (x 2).

x→π

ì

3

x−4

,

x £ 5,

4.

y = í

xo = 5.

îx2 + m x + 8, x > 5,

6.

ìlog

3

x

,

x £1,

а)

ï

y = í- 4x - x2 - 3, 1< x £ 3,

ï3 - x,

x > 3;

î

	4			x	2 + 3x
	5. y =						.
		x	2	- x -12

б) y = x2 - 4x ; x - 2x2

в) y =1- e1(2−x).

7.Спрос и предложение на некоторый товар на рынке описываются линей- ными зависимостями вида: q = 23 − 3p , s = 5 + 6 p . При каких значениях p

появляется дефицит товара и при каких значениях цены появляются из- лишки товара? Что можно в каждом из этих случаев сказать об изменении рыночных цен?

						Вариант 6
1.	x		= 3n2 -1, A =	3	, e =10−3 .	2. lim	4x2 -14x + 6	=10.
		n	4n2 + 1	4		x→3	x - 3
3.

а)

в)

д)

ж)

и)

4. y

6.

2x2 - 9x +10

5

- 3(x +1)

;

lim

;

б)

lim

x

x→2 2x2 -10x +12

x→+∞ 4 x3 + 7x -19

æ

3

3

ö

æ x4

- x3 + x

ö4x+3

2

2

lim

ç

x

-

x

+ x

÷;

г)

lim

ç

÷

;

x→∞è

ø

ç

x

4

+1

÷

x→∞è

ø

5x7 - 3x2

9

-1

;

lim

;

е)

lim

1 + 8x

x→0 sin 4x tg 3x

x→0

3 1- 2x -1

lim

(ctg x)1 (x−π 4);

з)

lim

ln (1+ sin2 4x)

;

(e2 arctg x - ex )2

x→π

4

x→0

sin 7p x

(1-

)cos 2x .

lim

;

к)

lim

x

x→2

sin 8p x

x→1

ln x

ì

log

3

x

,

x £ 3,

x = 3 .

5. y = 1

-

cos 4x .

= í

x > 3,

îx2 - mx +16,

o

4x2 - x3

ì

x £ -3,

- x - 3,

49 -

14x + x

2

ï

x

б) y =

;

7 x

а) y = í

,

- 3 < x £

2,

log

- 7

1 - x

ï

x > 2;

7

ï

- 2,

î

в)

y = 51 (2−4x).

7.Товарооборот фирмы ежемесячно увеличивается на 2 %. Через сколько ме- сяцев ее товарооборот, сохраняя темпы роста, увеличится в 2,7 раза по сравнению с первоначальным (считать e ≈ 2,7 ). Ответ округлить до целых.