vektor
.pdfx y2 z2 ,
x 2y z 0.
Этой системе соответствует некоторая линия в пространстве. Чтобы найти проекцию этой линии на координатную плоскость OXY, следует исключить из этой системы переменную z. В результате получаем x2 4xy 5y2 x 0.
|
Аналогично находятся остальные проекции: |
|
|
|||
|
на плоскость OXY: x2 4xy 5y2 x 0 ; |
|
|
|||
|
на плоскость OXZ: |
x2 2xz 5z2 4x 0 ; |
|
|
||
|
на плоскость OYZ: y2 z2 2y z 0. |
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
Составьте уравнение поверхности, образованной вра- |
|
|
|||
|
|
x |
2 |
, |
|
|
|
z |
|
|
|
||
|
|
|
|
вокруг оси OX. |
|
|
|
щением кривой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 |
|
|
|
||
|
РЕШЕНИЕ: |
поверхности плоскостью x x0 , |
|
|
||
5 |
Сечение искомой |
y2 z2 |
x4 . |
|||
|
перпендикулярной оси вращения, есть окружность с |
|
|
|||
|
центром в точке C(x0 ,0,0) радиусом R z(x0 ). Урав- |
|
|
|||
|
нение этой окружности y2 z2 x 4.Для произволь- |
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
ного x0 получаем уравнение поверхности вращения y2 z2 x4.
Найдите общие точки поверхности x2 y2 z2 4x 6y 2z 67 0
и прямой |
|
x 5 |
|
y |
|
z 25 |
. |
|
|
3 |
|
|
|
||||
РЕШЕНИЕ: |
2 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Выделим полные квадраты переменных в уравнении поверхно- |
||||||||
сти и увидим, что она представляет собой сферу |
|
|||||||
x 2 2 y 3 2 z 1 2 92 . |
Нет |
|||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 5 3t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2t, |
Перейдем к параметрическим уравнениям прямой |
z 25 2t.
Подстановка этих значений переменных в уравнение поверхности приводит к квадратному уравнению для t c отрицательным дискриминантом. Следовательно, действительных значений t не существует, и поверхность не имеет общих точек с прямой, которая проходит вне сферы.
101
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найдите общие точки поверхности |
|
|
|
|
2z и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
плоскости 3x y 6z 14 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Общие точки поверхностей удовлетворяют системе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
|
|
|
|
|
2z, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эллипс |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3x y 6z 14 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
67 |
cost |
|||||||||||||||||||||||||||
Приравнивая значения 2z , выраженные из этих урав- |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
y2 |
|
|
y |
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
нений, получим, что |
|
|
|
x |
. Выделение |
y 1 |
|
|
67 |
|
sin t |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
6 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
полных квадратов переменных приводит к уравнению |
z |
13 |
|
|
|
67 |
cos t |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
эллипса 4(x 1,5) |
2 |
|
2(y 1) |
2 |
|
1, который является |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
67 |
|
|
|
|
67 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
67 |
|
sin t |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
проекцией линии пересечения эллиптического парабо- |
6 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
лоида и плоскости на координатную плоскость XOY . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Параметрические уравнения эллипса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x |
3 |
|
|
67 |
|
cost , |
y 1 |
|
|
|
67 |
|
sint . Подставляя эти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выражения в уравнение плоскости, получаем
z |
13 |
|
|
67 |
cost |
1 |
|
|
67 |
sint . Линия – эллипс. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|||||||||||
4 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
||||||||||||
Составьте уравнение цилиндра, образующие которого |
|
|||||||||||||||||||
параллельны вектору l |
{2; 3;4}, а направляющая зада- |
|
||||||||||||||||||
на уравнениями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 9, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
z 1. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16x2 16y2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
Множество точек искомой поверхности образо- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
13z2 16xz |
|||||||||||||||
вано точками, лежащими на прямых, проходящих че- |
||||||||||||||||||||
8 рез некоторую точку направляющей параллельно век- |
24yz 16x |
|||||||||||||||||||
тору l . Составим канонические уравнения этих пря- |
24y 26z |
|||||||||||||||||||
мых: |
x X |
|
|
y Y |
|
|
z 1 |
. Здесь M(x;y;z) - произвольная |
131 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|||||||||||
точка прямой, а N(X;Y;1) – фиксированная точка на- |
|
|||||||||||||||||||
правляющей, через которую проходит прямая, назы- |
|
|||||||||||||||||||
ваемая образующей. Отсюда |
|
|||||||||||||||||||
X |
1 |
(1 2x z),Y |
1 |
( 3 4y 3z).Подставим эти выра- |
|
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
жения в уравнение X 2 Y 2 9 , которому удовлетворя- |
|
102
ют координаты точек направляющей, и получим искомое уравнение цилиндрической поверхности:
16x2 16 y2 13z2 16xz 24 yz 16x 24 y 26z 131.
Составьте уравнение конуса с вершиной в точке S(0;0;5) и направляющей
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y2 |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
z 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
Множество точек искомой поверхности образо- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
вано точками, лежащими на прямых, проходящих че- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
рез некоторую точку направляющей и точку S. Соста- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
вим канонические уравнения этих прямых |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 |
|
x |
|
y |
|
z 5 |
. Здесь M(x;y;z) - произвольная точка пря- |
|
X 2 |
Y 2 |
(z 5)2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Y |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|||||||
|
мой, а N(X;Y;0) – фиксированная точка направляющей, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
через которую проходит прямая, называемая обра- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
зующей. Отсюда X |
5x |
|
,Y |
|
|
|
5y |
|
. Подставим эти |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
z 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
выражения в уравнение |
X 2 |
|
Y 2 1 , которому удовле- |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
творяют координаты точек направляющей, и получим |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
искомое уравнение конической поверхности: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
X |
2 |
Y |
2 |
|
|
(z 5)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4 |
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Составьте уравнение сферы с центром в точке |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(3,-5,-2), если плоскость 2x y 3z 11 0 касается |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
сферы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 2 |
|
|
|||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
10 |
Расстояние от центра сферы до касательной плоскости |
y 5 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
равно радиусу сферы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
3 2 5 3 2 |
11 |
|
|
|
28 |
|
|
|
|
z 2 2 |
56 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 14. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 1 2 3 2 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Уравнение сферы: x 3 2 y 5 2 |
z 2 2 56 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Составьте уравнение сферы, проходящей через точки |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
M1 3,1, 3 , |
|
M2 2,4,1 , M3 5,0,0 , центр которой |
x 1 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
лежит на плоскости 2x y z 3 0. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 2 |
|
|||||||||||||||
|
Запишем уравнение сферы в виде |
|
|
|
|
|
|
|
z 3 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x x0 2 y y0 2 z z0 2 |
R2 и подставим в него |
49 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
координаты точек; кроме того, учтем, что центр сферы |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
лежит на плоскости: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
103
3 x0 2 1 y0 2 3 z0 2 R2 ,
2 x0 2 4 y0 2 1 z0 2 R2 ,
5 x0 2 0 y0 2 0 z0 2 R2 ,
2x0 y0 z0 3 0.
Раскрывая скобки, получаем
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x0 |
|
y0 |
|
z0 |
6x0 2y0 6z0 19 R |
|
, |
||||||
x |
2 y |
2 z |
2 |
4x |
8y |
2z |
0 |
21 R2 |
, |
||||
0 |
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
x |
2 y |
2 z |
2 |
10x |
|
25 R2 , |
|
|
|
||||
0 |
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
2x0 y0 z0 3 0.
Вычитая из третьего уравнения второе и из второго первое, для координат центра сферы получаем равносильную систему
3x0 4y0 z0 2,5x0 3y0 4z0 1,
2x0 y0 z0 3,
откуда x0 1, y0 2, z0 3 и R 7 . Уравнение сферы
x 1 2 y 2 2 z 3 2 49.
Методом сечений исследуйте поверхность, заданную уравнением x2 y2 z2 4 .
РЕШЕНИЕ:
Перепишем уравнение поверхности в виде x2 y2 z2 4
и рассмотрим сечения поверхности плоскостями z h . В сечении получаются окружности с центром на оси
Oz и радиусом R |
h2 4 . Это позволяет заключить, |
|
|||
что поверхность является поверхностью вращения с |
Однополостный |
||||
осью Oz , и точки поверхности существуют при любых |
|||||
12 значениях z . Рассмотрим осевое сечение плоскостью |
гиперболоид |
||||
Oxz (или y 0 ): x |
2 |
z |
2 |
4 . |
вращения |
|
|
|
|||
Приводя к каноническому виду, имеем |
|
x2 z2 1
44
–уравнение гиперболы, Ox – действительная ось, Oz
–мнимая ось.
Итак, поверхность может быть получена вращением гиперболы относительно ее мнимой оси, т.е. поверхность – однополостный гиперболоид вращения,
Oz – ось симметрии, Oxy – плоскость симметрии.
104
6. ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ
ДЗ № 1. Векторная алгебра
Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч. 1: Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Определители и матрицы системы линейных уравнений. Линейная алгебра. Основы общей алгебры / А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов [и др.]; под ред. А. В. Ефимова,
А. С. Поспелова. 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.: ил.; 21 см. - ISBN 5-940520-34-0.
№ |
№ по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
п/п |
Еф. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q p , |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ABCDEF - правильный шестиугольник, |
|
|
|
|
|
DE p , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EF p , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
1.11 |
причем AB p |
, BC q . Выразить через p |
|
|
FA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
и q векторы CD , DE , EF , FA , AC , |
AD и |
|
|
|
p |
|
q , |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
AC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
AE . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
q , |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AD 2q , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AE 2q |
|
|
p . |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
На стороне AD параллелограмма ABCD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
отложен вектор AK длиной |
AK |
|
|
|
|
|
AD |
, а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
1.18 |
на диагонали AC - вектор AL длиной |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
AL |
|
|
|
AC |
. Доказать, что векторы KL и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LB коллинеарны и найти такое, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
KL LB . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Разложить вектор s a b c по трем |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3 |
1.19 |
некомпланарным векторам: p |
a b |
2c , |
s |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
r |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
q a b , r 2b 3c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
В тетраэдре ОАВС медиана AL грани АВС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
4 |
1.27 |
делится точкой М в отношении |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
, |
3 |
|
|
|
|
, |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
AM |
: |
ML |
3: 7 . Найти координаты вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
20 |
|
20 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
OM в базисе из ребер OA , OB , OC . |
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
Заданы векторы a 1,2,0 , a |
|
3,1,1 , |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
1.35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
а-г |
a3 2,0,1 и a |
a1 |
2a2 |
|
|
|
a3 . Вычислить: |
a1,0 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
,0 |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
105
|
|
а) |
a |
|
и координаты орта a |
вектора a ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) cos a1, |
|
j |
|
|
5 |
|
; |
||||||||||||||||||
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
cos a1 , j ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ax |
|
|
19 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
в) координату ax вектора a ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
г) пр j a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) пр j a ay 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Заданы векторы a 2i 3 j , |
b 3 j 2k , |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
j k . Найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) a0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
,0 ; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
c i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
а) координаты орта a0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
б) a |
|
|
b |
c |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6 |
1.39 |
б) координаты вектора a |
|
|
|
b |
c ; |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
3, |
|
|
|
|
|
,0 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
в) разложение вектора a |
2c по базису |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
B i , j,k ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) a b 2c |
2 j ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
г) прj a b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) прj a b 6 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Найти вектор x , коллинеарный вектору |
x 5i 10 j 10k |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
1.43 |
|
|
|
2 j 2k , образующий с ортом j |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
острый угол и имеющий длину |
|
x |
|
15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Найти вектор x , образующий со всеми тремя |
x 2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
8 |
1.44 |
базисными ортами равные острые углы, |
2 j 2k |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
если |
|
x |
|
2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
При каких значениях и векторы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
9 |
1.46 |
a 2i 3 j k и b i 6 j 2k |
1, 4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
коллинеарны? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Показать, что тройка векторов e1 1,0,0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
e2 1,1,0 и e3 1,1,1 образует базис в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
10 |
1.38 |
множестве всех векторов пространства. |
a 2e1 |
e2 e3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычислить координаты вектора a 2i k |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
в базисе B e1,e2 ,e3 и написать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
соответствующее разложение по базису. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
1.65в |
|
a1 |
|
|
3 , |
|
|
a2 |
|
|
4 , a1,a2 |
3 |
|
. Вычислить |
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
a |
a |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
12 |
1.66 |
|
a1 |
|
|
3 , |
|
|
a2 |
|
|
5. Определить, при каком |
|
3/5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
значении векторы a1 a2 и a1 a2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
будут перпендикулярны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Вычислить длину диагоналей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
13 |
1.67 |
параллелограмма, построенного на векторах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
15; |
|
|
593 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a p 3q , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
b 5p |
2q , если известно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
106
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
p |
|
|
2 2 |
, |
|
q |
3 |
и p,q |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
В треугольнике АВС |
AB 3e 4e , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
1.69 |
|
BC e1 5e2 . Вычислить длину его высоты |
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
CH , если известно, что e1 и e2 взаимно |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
перпендикулярные орты. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
Найти угол, образованный единичными |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
векторами e1 |
и e2 , если известно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
15 |
1.72 |
векторы |
a e 2e и b 5e |
4e |
|
|
|
e1 |
,e2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
перпендикулярны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Даны векторы a1 4, 2, 4 и a2 |
6, 3,2 . |
105 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Вычислить: г) |
|
2a1 a2 |
|
; ж) направляющие |
ж) cos 2/3, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 |
1.78 г, |
|
|
cos 1/3, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ж, з, и |
косинусы вектора a1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2/3; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
з) ďđa1 a2 |
|
a1 2a2 ; и) |
|
|
|
|
|
|
|
з) 84/ 129 ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
cos a1,a2 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и) 11/21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
17 |
1.79 |
Даны точки A 2,2 и B 5, 2 . На оси абсцисс |
|
|
M1 1,0 , |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
найти точку М, чтобы AMB |
. |
|
|
M2 6,0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Для заданных векторов a , b и c вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
18 |
1.81 |
|
ďđń 2a 3b : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
41 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
а) a i 2 j k , b 3i j k , c 4i 3 j ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
19 |
1.83 |
Найти косинус угла между диагоналями АС |
|
|
43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и BD параллелограмма, если заданы три его |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
25 |
|
13 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
вершины А(2,1,3), В(5,2,-1) и С(-3,3,-3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Найти координаты вектора x , коллинеарного |
|
1, |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
20 |
1.88 |
вектору a |
|
2,1, 1 и удовлетворяющего |
|
|
, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
условию ax 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Вектор x перпендикулярен векторам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
21 |
1.89 |
|
a1 2,3, 1 и a2 1, 2,3 и удовлетворяет |
|
|
3,3,3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
условию |
|
2i j k 6 . Найти координаты |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
вектора x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
a |
|
1, |
|
a |
|
|
2 , (a ,a ) |
2 |
|
. Вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
22 |
1.98 в |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
в) 10 |
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
a1 3a2 ,3a1 a2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
23 |
1.100 г |
|
Упростить выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) 3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2i j,k |
|
3j i,k |
4k |
i, j . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
107
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
5, a,b |
|
. Вычислить площадь |
|
|
|
24 |
1.102 |
4 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
50 2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
треугольника, построенного на векторах a 2b |
и 3a 2b .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|||||||||||
25 |
1.106 в |
Заданы векторы a |
|
3, 1,2 и a |
|
|
1,2, 1 . |
12,20,28 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Найти координаты вектора 2a1 a2 ,2a1 |
a2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
26 |
1.108 |
В треугольнике с вершинами А(1,-1,2), В(5,- |
|
|
5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
6,2) и С(1,3,-1) найти высоту h |
BD |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
Определить, при каких значениях и |
|
6, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
27 |
1.109 |
вектор i |
3 j k |
|
будет коллинеарен |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
вектору |
a,b |
, если a |
3, 1,1 , |
b 1,2,0 . |
|
21 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для заданных векторов a 2,1, 1 , b 1,2,1 , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
28 |
1.111 |
|
c 2, 1,3 , d 3, 1,2 вычислить проекцию |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
вектора a c на вектор |
b d,c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
29 |
1.113 |
Найти вектор AB AC, BC, |
AB , если |
|
5,16,7 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
А(2,2,3), В(1,0,4), С(2,3,5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
Найти координаты вектора x , если известно, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
что он перпендикулярен векторам |
|
|
|
|
|
6, 24,8 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
30 |
1.118 |
|
a1 4, 2, 3 и a2 |
0,1,3 , образует с ортом |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
j |
тупой угол и |
|
x |
|
|
26. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Векторы a,b,c |
|
|
|
образуют левую тройку |
|
a |
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
31 |
1.125 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
b |
2, |
c |
3 и |
|
|
|
c |
a, |
c |
b . Найти |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a,b |
|
30 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
abc . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Заданы векторы a1 1, 1,3 , |
a2 2,2,1 и |
- 7; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a3 3, 2,5 . Вычислить a1a2a3 . Какова |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
32 |
1.126 |
|
|
|
|
|
а) левая, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ориентация троек: а) a1 |
, a2 , a3 ; б) a2 , a1 , a3 ; |
б) правая, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
в) a1 , a3 , a2 ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) правая |
|||||||||||||||
|
|
Установить, образуют ли векторы a1 , a2 , a3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
33 |
1.127 б |
базис в множестве всех векторов, если |
|
|
|
|
|
б) да |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a1 3, 2,1 , |
a2 2,1,2 , |
a3 3, 1, 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
В тетраэдре с вершинами в точках А(1,1,1), |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
34 |
1.134 |
В(2,0,2), С(2,2,2) и D(3,4,-3) вычислить высоту |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
h |
DE |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
108
|
|
При каком векторы a,b,c будут |
|
|
|
|
|
|
б) при |
|
|
|
|
|
|
||||
35 |
1.136 б |
компланарны, если a 1,2 ,1 , b 1, ,0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
любом |
|
||||||||||||
|
|
c 0, ,1 ? |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Найти координаты четвертой вершины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
1.138 б |
тетраэдра АВСD, если известно, что она лежит |
|
|
б) 0,1,0 |
|
|||||||||||||
|
|
на оси ОУ, А(0,1,1), В(4,3,-3), С(2,-1,1), а объем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
V тетраэдра равен двум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЗ № 2. Прямая и плоскость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
№ по |
Задание |
|
|
|
|
|
|
Ответ |
|
|
|
|
|
|
||||
п/п |
Еф. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Заданы плоскость Р и точка М . Написать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнение плоскости Р ', проходящей через |
|
2х у z 2 0 |
|
||||||||||||||
1 |
1.180 а |
точку М параллельно плоскости Р , и |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
вычислить расстояние Р, Р ' , если Р : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2х у z 1 0 , M 1,1,1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Написать уравнение плоскости Р ', проходящей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
1.181 а |
через заданные точки M1 и M2 |
|
|
|
|
|
|
x y 3 0 |
|
|||||||||
перпендикулярно заданной плоскости Р , если |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Р : х у 1 0 , M1 1,2,0 , M2 2,1,1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Написать уравнение плоскости, проходящей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1.184 а |
через три заданные точки M1 , M2 и M3 , если |
|
x y 3 0 |
|
||||||||||||||
|
|
M1 1,2,0 , M2 2,1,1 , M3 3,0,1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследуйте взаимное расположение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскостей Р1 : х 2у z 1 0 , |
|
Пересекаются, |
|
||||||||||||||
|
|
Р2 : у 3z 1 0 . Если плоскости |
|
|
|||||||||||||||
4 |
1.185 |
параллельны, найдите расстояние между |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
cos P1 , P2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
ними, если они пересекаются по |
|
15 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
некоторой прямой, то найдите косинус |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
угла между плоскостями. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследуйте взаимное расположение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскостей Р1 : 2х у z 1 0 , Р2 : |
|
Параллельны, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
4х 2 у 2z 1 0 . Если плоскости |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5 |
1.186 |
параллельны, найдите расстояние между |
|
P1 |
|
, P2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
ними, если они пересекаются по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
некоторой прямой, то найдите косинус |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
угла между плоскостями. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить объем пирамиды, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
1.189 |
ограниченной плоскостью Р : |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2х 3у 6z 12 0 и координатными |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскостями. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
109
|
|
|
|
Написать уравнения плоскостей, делящих |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
пополам двугранные углы, образованные |
|
|
|
|
|
|
3x 6y 7z 4 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
|
1.192 б |
плоскостями Р1 |
и Р2 , если Р1 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2х у 5z 3 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 y 3z 2 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Р2 : 2х 10у 4z 2 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Составить уравнение плоскости, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
8 |
|
1.196 |
проходящей через точку A 1,1, 1 и |
|
2x y z 2 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
перпендикулярной к плоскостям |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2x y 5z 3 0 и x 3y z 7 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Написать канонические уравнения прямой, |
а) |
|
x 2 |
|
|
|
|
|
y |
|
z 3 |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
проходящей через точку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
M0 2,0, 3 параллельно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
x 2 |
|
y |
|
|
z 3 |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
а) вектору q 2, 3,5 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
б) прямой |
|
x 1 |
|
|
|
y 2 |
|
z 1 |
; |
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
x 2 |
|
y |
|
|
z 3 |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 |
|
1.198 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
в) оси Ох; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
|
|
|
|
x 2 |
|
y |
|
|
z 3 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
г) оси Оz; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
3x y 2z 7 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 y |
|
|
z 3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
д) прямой x 3y 2z 3 0 |
; |
|
|
|
|
|
д) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
е) прямой x 2 t , y 2t , z 1 |
1 |
t . |
|
е) |
|
|
|
|
x 2 |
|
y |
|
|
|
z 3 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1/ 2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
Заданы прямая L : |
|
x 1 |
|
|
y |
|
z 1 |
и точка |
а) x 2 y z 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
M 0,1,2 L (проверить!). Требуется: |
|
б) |
|
|
|
2x y 1 0 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
а) написать уравнение плоскости, |
|
в) |
x 2y z 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
проходящей через прямую L и точку M ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x y 1 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10 |
|
1.200 |
б) написать уравнение плоскости, |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
проходящей через точку M |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
y 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
перпендикулярно прямой L ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
в) написать уравнения перпендикуляра, |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
опущенного из точки M на прямую L ; |
|
г)18/ |
30 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
г) вычислить расстояние M , L ; |
|
д) M ' 3/5, 1/5, 1 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
д) найти проекцию точки M на прямой L . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Заданы плоскость Р : х у z 1 0 и |
|
а) 1/ |
|
|
|
, M 1, 6, 4 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
прямая L : |
x 1 |
|
y |
|
|
z 1 |
, причем |
|
15 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
3x y 2z 1 0 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
|
1.201 |
L P (проверить!). Требуется: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и координаты |
|
|
x y z 1 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
а) вычислить sin P, L |
|
в) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
точки пересечения прямой и плоскости; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3x y 2z 1 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
б) написать уравнение плоскости, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
110