vektor
.pdfII. Аналитическая геометрия в пространстве
Плоскость в пространстве
1.Ax By Cz D 0 - общее уравнение плоскости в декартовой системе
A2 B2 C 2 0
координат;
2. A(x x0 ) B(y y0 ) C(z z0 ) 0 - уравнение плоскости, проходящей через заданную точку (x0 , y0 , z0 ) и перпендикулярной вектору n {A, B,C};
3. x y z 1, abc 0 - уравнение плоскости, отсекающей на осях ко- a b c
ординат Ox , Oy , Oz отрезки a, b и c соответственно;
4. x cos y cos z cos p 0 - нормальное уравнение плоскости, где |
р – расстояние от начала координат до плоскости, а единичный вектор, перпендикулярный плоскости, имеет координаты {cos ,cos ,cos };
5. |
Ax By Cz D 0 |
- нормальный вид общего уравнения плоскости |
|
|
|
A2 B2 C 2 |
|
(знак нормирующего множителя противоположен знаку D);
6. |
d |
|
Ax0 |
By0 |
|
Cz0 |
D |
|
|
|
|
|
- расстояние от точки (x0 , y0 , z0 ) до плоскости, за- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
A2 B2 |
C 2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
данной общим уравнением; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
7. |
|
x x1 |
|
y y1 |
z z1 |
|
|
|
|
- уравнение плоскости, проходящей через три |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x2 x1 |
|
y2 y1 |
z2 z1 |
|
|
0 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
x3 x1 |
|
y3 y1 |
z3 z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
не лежащие на одной прямой; |
|||||||||||||
|
точки (xi , yi , zi ) |
(i=1,2,3), |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
8. |
cos |
|
|
|
|
A1 A2 B1B2 |
C1C2 |
|
|
|
- угол между плоскостями |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
A2 B2 |
C 2 |
A2 |
B2 C 2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
||||
|
|
Ai x Bi y Ci z Di |
0 ( i 1,2) ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
9. |
|
A1 |
|
B1 |
|
|
C1 |
|
- необходимое и достаточное условие параллельности плос- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
C2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
A2 B2 |
|
|
|
B y C z D 0 |
|
(i 1,2 ); |
|||||||||||||||||||
|
костей |
A x |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
155 |
10.A1 A2 B1B2 C1C2 0 - необходимое и достаточное условие перпен-
дикулярности плоскостей Ai x Bi y Ci z 0 (i 1,2) ;
11. |
|
|
d |
|
|
|
D1 D2 |
|
|
|
- расстояние между двумя параллельными плос- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
A2 B2 C 2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
костями Ax By Cz D1 0 |
и Ax By Cz D2 0 . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прямая в пространстве |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
12. |
|
|
|
A x B y C z D 0 |
- общее уравнение прямой как линии пере- |
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
A2 x B2 y C2 z D2 0 |
|
||||||||||||||||
|
сечения |
|
двух параллельных плоскостей; |
|||||||||||||||||
13. |
|
|
x x0 |
|
y y0 |
|
|
|
z z0 |
|
|
- канонические уравнения прямой, проходя- |
||||||||
|
|
|
m |
|
|
|
||||||||||||||
|
щей |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
n |
и имеющей направляющий вектор с компонен- |
||||||||
|
через точку (x0 , y0 , z0 ) |
|||||||||||||||||||
|
тами {l, m, n} ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
14. |
|
|
mx ly mx |
ly , |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
- уравнения прямой в виде проекций на коорди- |
||||||||||
|
|
|
nx lz nx0 lz0. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
натные плоскости; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x x0 |
lt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
15. |
|
|
|
|
|
|
|
mt |
|
- |
параметрические уравнения прямой, проходящей |
|||||||||
|
|
y y0 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
nt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
z z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
через точку (x0 , y0 , z0 ) и имеющей направляющий вектор с компонентами
{l, m, n} ;
|
|
l B1C2 B2C1 |
|
|
|
|
|
||||||
16. |
|
|
|
|
|
C2 A1 |
|
- соотношения между компонентами направ- |
|||||
|
m C1 A2 |
|
|||||||||||
|
|
n A B |
2 |
A B |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
2 1 |
|
|
|
|
|
||||
|
ляющего вектора прямой и координатами общего уравнения прямой; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. |
|
|
x x1 |
|
|
|
y y1 |
|
|
z z1 |
|
- канонические уравнения прямой, про- |
|
|
|
x2 x1 |
|
y2 y1 |
z2 z1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ходящей через точки с координатами (xi , yi , zi ) (i 1,2);
156