vektor
.pdf2.a b a b ;
3.a b c a c b c ;
4. |
a a 0 для любого вектора a ; |
||||
5. |
|
|
0 , если векторы |
a и b |
коллинеарны или хотя бы один является |
a,b |
|||||
|
|
|
|
|
|
нулевым.
Приведем некоторые схемы для вычисления различных векторных произведений векторов базиса i , j , k :
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
k , |
i i |
|
j j |
|
k k |
|
i j |
|
j i |
|
i k k i j, j k k j i .
Выражение векторного произведения векторов в декартовых координатах
Теорема. Если два вектора a и b заданы своими декартовыми прямоугольными
координатами |
|
|
|
|
|
|
|
,by ,bz , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a ax ,ay ,az , b bx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
y |
|
a |
z |
|
a |
z |
|
a |
x |
|
|
|
a |
x |
a |
y |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
aybz azby , |
azbx axbz , |
axby aybx |
|
by |
|
bz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bx |
by |
|
. |
|||||||||||||||||||||||
a b |
|
|
, |
b b |
|
|
, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
axbx |
|
|
axby |
|
|
axbz |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
a b |
axi ay j azk bxi by j bzk |
i i |
i j |
i k |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a b |
j i a b |
j j |
a b |
j k |
a b |
k i |
a |
b |
y |
k j |
a b |
k k |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
y x |
|
y y |
|
|
y z |
|
|
|
|
z |
x |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
z z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
i (aybz azby ) j(azbx axbz ) k (axby aybx ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Если записать векторное произведение в виде определителя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
a |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
a |
b |
x |
y |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bx |
by |
bz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11
то его координаты получаются при разложении определителя по элементам первой строки.
1.6. Смешанное произведение векторов
Смешанным произведением a b c |
векторов a , b , c называется ска- |
|||
лярное произведение вектора c на векторное произведение векторов a и b : |
||||
|
|
|
|
|
abc |
|
c . |
||
a b |
|
|||
Смешанное произведение обладает свойствами: |
1) a b c = b c a = c a b = – b a c = – c b a = – a c b ;
2) a b c = 0, если a 0 или (и) b 0 , или (и) c = 0, или a , b , c компланарны;
смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю.
Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов
|
|
|
|
|
|
является равенство нулю их смешанного произведения: abc 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема. Абсолютная величина смешанного произведения |
|
b |
c равна |
||
a |
|
объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a , b и c как на ребрах. Смешанное произведение положительно, если тройка a b c правая, и отрицательно, если тройка a b c левая. Если же векторы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c равно нулю. |
||||
b , c компланарны, то смешанное произведение a b |
|
|||||||||||||||
Доказательство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1). Если векторы a , b коллинеарны, то векторы a , |
b и c компланарны и |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b 0 |
a |
b c 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2). Пусть векторы a , |
b и c |
|
некомпланарны. |
|
|
|
|
|||||||
Построим параллелепипед на векторах a , b , |
c . |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Обозначим через S площадь параллелограм- |
|
|
|
|
||||||||||
ма, построенного на векторах a и b ,отложив их от |
|
|
|
|
||||||||||||
общего начала, а через e - единичный вектор направления |
|
. |
||||||||||||||
a b |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
c с точностью |
|||||||
|
|
Тогда a |
|
S e |
a b |
|
c |
S e |
c |
S прec , но прe |
||||||
до знака равна h - |
высоте параллелепипеда, |
опущенной из конца вектора c на |
||||||||||||||
плоскость, определенную векторами a и b . |
|
|
|
|
|
|
12
|
|
Очевидно, |
пр |
c = h , если e |
и c |
|
лежат по одну сторону от плоскости, в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которой лежат вектора a и b , и пр c |
= – |
|
h , если e |
и c |
лежат по разные сто- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
роны |
|
от |
плоскости, в |
которой |
лежат |
|
вектора |
a |
и |
b . |
Таким |
образом, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a , |
|
c и |
|||||||
|
|
c |
при |
правой |
|
|
ориентации |
тройки |
векторов |
b , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
a b |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 при левой ориентации тройки векторов a , |
b , c . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Если же векторы a , b и c компланарны, то вектор c лежит в плоскости, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
определенной векторами a , b |
|
|
|
|
c = |
0 |
|
|
|
|
c 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
прe |
a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Выражение смешанного произведения в декартовых координатах |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Если три вектора a , b и c заданы своими декартовыми прямоугольными |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
координатами |
|
|
|
,az , |
b bx ,by ,bz , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
a ax ,ay |
|
c cx ,cy ,cz , то смешанное про- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
изведение a b c |
равняется определителю, строки которого соответственно рав- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ны координатам перемножаемых векторов, т.е., |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b c |
ax |
ay |
|
az |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bx |
by |
|
bz |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cx |
|
cy |
|
cz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Доказательство. Вычислим |
|
|
|
c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
ay |
az |
|
|
|
|
ax |
|
az |
|
|
|
|
|
|
ax |
ay |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ax |
ay |
az |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
a b |
|
i |
|
|
by |
|
bz |
|
j |
|
bx |
|
bz |
|
|
k |
|
bx |
by |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
bx |
by |
bz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
i ay bz azby j azbx axbz k axby aybx ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cx ay bz |
azby cy |
az bx ax bz cz ax by ay bz |
|
ax |
ay |
az |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
c |
|
bx |
by |
bz |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a b |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cx |
cy |
cz |
|
|
(последнее равенство очевидно, если разложить определитель по элементам третьей строки).
13
2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Аналитическая геометрия – раздел геометрии, в котором геометрические объекты описываются алгебраическими уравнениями в декартовых (иногда иных) координатах и затем исследуются методами алгебры и анализа.
В рамках координатного метода геометрические свойства объектов выясняются путем изучения аналитическими и алгебраическими средствами свойств уравнений, описывающих геометрические объекты.
2.1. Уравнения поверхностей и линий
Уравнением поверхности называется такое уравнение, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой поверхности, и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на ней:
F(x, y, z) = 0.
Сама поверхность в этом случае будет являться геометрическим образом соответствующего уравнения. В общем случае, если на три декартовы координаты точки наложено одно условие связи, у точки остаются две степени свободы, т.е., геометрический образ такого уравнения является двумерным многообразием. Одну из координат в этом уравнении, например z, можно рассматривать как неявную функцию двух других.
В частных, так называемых вырожденных случаях, геометрическим образом этой зависимости могут быть точка, линия, пустое множество. Так, образ
уравнения x2 y2 z2 R2 – сфера радиуса R с центром в точке O 0, 0,0 , об-
раз уравнения |
x2 y2 0 – координатная ось |
Oz , образ уравнения |
x2 y2 z2 0 |
– точка O 0, 0,0 , уравнению x2 y2 z2 |
1 не удовлетворяют |
координаты ни одной точки пространства.
Возможно другое, параметрическое выражение функциональной зависимости между несколькими переменными с помощью вспомогательных переменных – параметров. В этом случае говорят, что поверхность задана параметрически. Так, чтобы определить положение точки на сфере, нужны два параметра, например, широта и долгота точки, лежащей на сфере. Тогда декартовы координаты точки на сфере: x R cos cos , y R cos sin , z Rsin , где R – радиус сферы.
Если уравнения F1(x, y, z) = 0 и F2(x, y, z) = 0 являются уравнениями двух поверхностей, пересекающихся по линии L, то линия L есть геометрическое место общих точек этих поверхностей, координаты которых удовлетворяют системе уравнений:
L: F1 (x, y, z) 0,
F2 (x, y, z) 0.
Вслучае двух переменных зависимость между ними F(x, y) 0 может
быть геометрически истолкована как уравнение плоской кривой. Любую величину t, определяющую положение точки (x, y) на этой кривой, можно принять за параметр. Тогда x x t , y y t дадут параметрические уравнения кривой.
14
2.2. Плоскость в пространстве Общее уравнение плоскости
Возьмем на плоскости P произвольную точку M0 (x0 , y0 , z0 ) . Выберем вектор
n {A, B,C}, |
перпендикулярный плоскости. Пусть |
M x, y, z |
– произвольная |
|
|
тогда уравнение плоскости |
|
точка, она лежит на плоскости P , если M0M n , |
|||
определяется |
|
|
векторов равны |
условием (M0M n) 0 . Так как координаты |
n {A, B,C}и M0 M {x x0 , y y0 , z z0 }, то их скалярное произведение равно
(n M0M ) A(x x0 ) B(y y0 ) C(z z0 ) .
Уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (x0 , y0 , z0 ) и имеющей нормальный вектор n {A, B,C}, имеет вид
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 .
Раскрыв скобки, и обозначив Ax0 By0 Cz0 D , получим общее уравнение плоскости:
Ax By Cz D 0 .
Итак, в декартовых координатах плоскость может быть задана уравнением первой степени и представляет собой алгебраическую поверхность первого порядка.
ПРИМЕР: Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M (1,1,1) перпендикулярно к вектору n {2,2,3}.
Искомое уравнение примет вид: 2 x 1 2 y 1 3 z 1 0, 2x 2 y 3z 7 0 .
Если два уравнения A1x B1 y C1z D1 0 и A2 x B2 y C2 z D2 0 определяют одну и ту же плоскость, то их отличные от нуля коэффициенты пропорциональны
A1 B1 C1 D1 .
A2 B2 C2 D2
Неполные уравнения плоскостей
Рассмотрим частные случаи уравнения первой степени
Ax By Cz D 0 .
1.D = 0: Ax + By + Cz = 0.
Это уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат.
2.A = 0: By + Cz + D = 0. B = 0: Ax + Cz + D = 0.
C = 0: Ax + By + D = 0.
Эти уравнения определяют плоскости, параллельные соответственно координатным осям OX, OY, OZ, так как соответствующие компоненты нормального вектора плоскости равны нулю.
3.A = 0, B = 0: Cz + D = 0.
15
A = 0, C = 0: By + D = 0.
B = 0, C = 0: Ax + D = 0.
Эти уравнения определяют плоскости, параллельные соответственно координатным плоскостям OXY, OXZ, OYZ.
4.A = 0, B = 0, D = 0: Cz = 0. A = 0, C = 0, D = 0: By = 0.
B = 0, C = 0, D = 0: Ax = 0.
Эти уравнения определяют координатные плоскости XOY, XOZ,YOZ.
Уравнение плоскости «в отрезках»
Пусть коэффициенты в общем уравнении плоскости отличны от нуля. Преобразуем общее уравнение плоскости:
Ax By Cz D 0 Ax By Cz D,
A |
x |
B |
y |
C |
z 1. |
|
D |
|
|||
D |
|
D |
Если обозначить a D ,b D ,c D , получим
A B C
уравнение плоскости «в отрезках»:
x y z 1, a b c
где a,b, c представляют собой отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях.
ПРИМЕР: Какие отрезки отсекает на осях координат плоскость
2x – 4y + 6z –12 = 0 ?
Приведем общее уравнение плоскости к виду уравнения «в отрезках»
2x 4y 6z 1 x y z 1.
12 |
12 |
12 |
6 |
3 |
2 |
Отрезки, отсекаемые на осях, равны |
a = 6, b = –3, c = 2. |
||||
Нормальное уравнение плоскости |
Пусть дана плоскость. Проведем через начало координат прямую, перпендикулярную к плоскости (нормаль), и обозначим через P точку пересечения плоскости и нормали. Обозначим углы, которые составляет нор-
маль с осями |
координат через , , , тогда |
n0 {cos ,cos cos } |
- единичный вектор в направлении |
OP . На плоскости возьмем произвольную точку |
|
M(x, y, z), OM {x, y, z}. |
|
Проекция вектора OM на нормаль равна |
ďđn OM OM n0 x cos y cos z cos .
Если известна длина отрезка OP = p, то уравнение x cos y cos z cos p
задает нормальное уравнение плоскости в виде
16
x cos y cos z cos p 0 ,
где cos ,cos ,cos - направляющие косинусы нормали к плоскости, а p – расстояние от плоскости до начала координат.
Приведем общее уравнение плоскости Ax By Cz D 0 к нормальному виду.
Так как эти уравнения определяют одну и ту же плоскость, то их коэффи-
циенты пропорциональны: cos |
A, |
cos B, cos C, p D . |
||||
Из условия cos2 cos2 cos2 |
1, |
|
которому удовлетворяют направляющие |
|||
косинусы вектора, следует, что 2 (A2 B2 C2 ) 1. Введем так называемый |
||||||
нормирующий множитель |
|
|
1 |
|
|
, знак которого определяется из ус- |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
A2 B2 C2
ловия D 0 , то есть должен быть противоположен знаку свободного члена нормируемого уравнения. Умножением на нормирующий множитель общее уравнение плоскости приводится к нормальному виду:
Ax By Cz D 0.
Расстояние от точки до плоскости
Отклонением точки M1 (x1 , y1 , z1 ) от плоскости называется число, равное длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость, взятое со знаком «-» или «+» в зависимости от того, по одну или по разные стороны от плоскости находится начало координат и точка M1 .
Пусть M1 (x1 , y1 , z1 ) . Спроектируем точку M1 на нормаль к плоскости n. Отклонение PQ OQ OP.
O Q ďđn O M 1 , O P p , ďđn O M 1 p ,
ďđn OM1 x1 cos y1 cos z1 cosx1 cos y1 cos z1 cos p ,
то есть чтобы найти отклонение какой-либо точки от плоскости, нужно в левую часть нормального уравнения этой плоскости под-
ставить координаты точки. |
|
|
|||||||
|
Если |
плоскость задана общим уравнением, то отклонение точки |
|||||||
M1 (x1 , y1 , z1 ) |
от |
|
плоскости Ax By Cz D 0 |
вычисляется |
по формуле |
||||
|
Ax1 By1 |
Cz1 |
D |
. Отклонение положительно, |
если точка M1 |
и начало коор- |
|||
|
|
|
|
|
|||||
A2 B2 C2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
динат лежат по разные стороны от плоскости, и отрицательно, если по одну сторону.
Расстояние от точки M1 (x1 , y1 , z1 ) до плоскости вычисляется по формуле:
d |
|
|
|
|
|
Ax1 |
By1 |
Cz1 |
D |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
A2 B2 C 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
ПРИМЕР: Найдите расстояние точки M (4, 3, 1) от плоскости
3x 4y 12z 14 0 .
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
; |
|
|
1 |
|
(3x 4y 12z 14) 0, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
32 42 |
122 13 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
(3 4 4 3 12 1 14) 2, откуда d 2. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Расстояние между параллельными плоскостями |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Пусть даны |
две |
параллельные |
плоскости, |
уравнения |
которых |
|||||||||||||||||||||||||||
Ax By Cz D1 0 |
и Ax By Cz D2 |
0. Умножим их на единый норми- |
||||||||||||||||||||||||||||||
рующий множитель |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
подставим |
координаты |
начала |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
A2 B2 C2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
O 0,0,0 , в результате получатся отклонения начала координат от этих плос- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
костей: 1 |
|
D1 |
|
|
|
, |
2 |
|
|
|
|
D2 |
|
|
. Расстояние между плоскостями рав- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
A2 B2 C2 |
|
|
|
|
|
A2 B2 C2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
но модулю разности этих отклонений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
D1 D2 |
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 B2 C2
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
Пусть даны три точки M1 (x1 , y1 , z1 ), M 2 (x2 , y2 , z2 ), M3 (x3 , y3 , z 3 ) . Введем текущую точку плоскости M x, y,z
и рассмотрим три вектора: M1M {x x1 , y y1 , z z1},
M1M2 {x2 x1, y2 y1, z2 z1}, M1M3 {x3 x1, y3 y1, z3 z1} .
Точка M x, y,z лежит на плоскости M1M2 M3 в том и
только в том случае, если эти векторы компланарны. Условие компланарности трех векторов определяет плоскость, проходящую через три данные точки:
|
|
x x1 |
y y1 |
z z1 |
|
|
|
||||
M1M M1M2 M1M3 |
|
x2 x1 |
y2 y1 |
z2 z1 |
0. |
|
|
x3 x1 |
y3 y1 |
z3 z1 |
|
|
|
|
|
|
|
Угол между двумя плоскостями
Пусть плоскости P1 и P2 заданы уравнениями:
A1x B1 y C1z D1 0, A2 x B2 y C2 z D2 0.
Нормальные векторы этих плоскостей задаются координатами:
18
|
|
|
|
|
|
|
cos . |
n1 |
{A1, B1,C1}, n2 |
{A2 , B2 ,C2}, (n1 |
n2 ) |
n1 |
|
n2 |
Один из двугранных углов между плоскостями равен острому углу между их нормальными векторами и определяется из равенства
cos |
|
|
|
A1 A2 B1B2 |
C1C2 |
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
A2 |
B2 |
C 2 |
|
A2 |
B2 |
C 2 |
||||
1 |
1 |
1 |
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
ПРИМЕР: Найдите угол между плоскостями |
|
|
x y |
|
2z 6 0, y 0. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2} , n2 {0,1,0}. |
|
||||||||||||||||
Нормальные векторы плоскостей n1 {1, 1, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cos |
|
|
1 0 1 1 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
60 . |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
12 12 2 02 12 02 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Плоскости P1 и P2 |
параллельны, если их нормальные векторы n1 {A1, B1,C1} и |
||||||||||||||||||||||||||||||||
n2 {A2 , B2 ,C2} |
коллинеарны, то |
|
есть |
|
их |
координаты пропорциональны: |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
B1 |
|
|
C1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
B2 |
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Замечание. Любую пропорцию |
a |
|
c |
|
понимают как равенство ad cb . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
d |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Плоскости P1 и P2 |
перпендикулярны, |
если их нормальные векторы перпенди- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
кулярны, (n1 n2 ) 0 : |
A1 A2 B1 B2 |
C1C2 |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ПРИМЕР: Составьте уравнение плоскости, которая проходит |
через точку |
||||||||||||||||||||||||||||||||
M(7, -2, 3) параллельно плоскости y – 3z + 5 = 0. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Нормальные |
векторы |
данной |
|
и |
|
искомой |
|
плоскостей |
n {0,1, 3} и |
n {A, B,C}. Из условия параллельности плоскостей:
A B C , получим A = 0, B = 1, C = - 3 и уравнение искомой плоскости
0 1 3
0 (x 7) 1 (y 2) 3 (z 3) 0 y 3z 11 0 .
ПРИМЕР: Составьте уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям:
x – y + 2z – 5 = 0, 2x + y – 3z + 1 = 0.
Нормальные векторы данных плоскостей: n1 {1, 1,2}, n2 {2,1, 3} . РЕШЕНИЕ 1:
Нормальный вектор искомой плоскости перпендикулярен к нормальным векторам данных плоскостей, т.е.
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n |
1 |
2 |
|
1 |
1 |
2 |
||||
|
n |
n |
|
1,7,3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и уравнение искомой плоскости: x + 7y + 3z = 0.
19
РЕШЕНИЕ 2:
Нормальный вектор искомой плоскости перпендикулярен к нормальным векторам данных плоскостей. Из условия перпендикулярности можно найти координаты вектора n {A, B,C} из системы:
|
|
0 |
n1 |
n |
|
|
|
|
n2 |
n 0 |
|
A B 2C 0 |
|
A 1, B 7,C 3. |
2A B 3C 0
2.3. Прямая линия в пространстве
Общие уравнения прямой
Прямая линия в общем виде определяется как линия пересечения двух плоскостей, то есть системой уравнений:
A1x B1 y C1z D1 0,A2 x B2 y C2 z D2 0.
Канонические уравнения прямой
Любой ненулевой вектор раллельный ей, называется направляющим вектором прямой. Пусть - текущая точка прямой, а
Вектор M 0 M {x x0 , y y0 , z z0 } коллинеарен вектору a , следовательно, их координаты пропорциональны.
Канонические уравнения прямой, проходящей через
точку M 0 (x0 , y0 , z0 ) и |
имеющей |
направляющий вектор |
||||||
a {l, m, n}, имеют вид: |
|
x x0 |
|
y y0 |
|
z z0 |
. |
|
l |
m |
|
||||||
|
|
|
|
n |
|
Параметрические уравнения прямой
Обозначим отношения, входящие в канонические уравнения прямой, через t:
x x0 y y0 z z 0 t |
|
||
l |
m |
n |
. |
Отсюда получаем параметрические уравнения прямой в виде:
x x0 lt, |
y y0 mt, |
z z0 nt, |
t , |
. |
Уравнения прямой в виде проекций на координатные плоскости
x x |
|
|
y y |
, |
||
|
0 |
|
|
0 |
||
l |
m |
|
||||
|
|
|
|
|
||
x x |
|
|
z z |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
, |
|
|
l |
|
n |
|
||
|
|
|
|
|
mx ly mx0 ly0 ,
nx lz nx0 lz0 .
20