Глава 7. Решение контрольных задач

7.1. Ответы и решения задач, приведенных в главе 2

Задача 2.1

	Скорость акустической волны в воздухе
		Vl = γRT ,	(1)
	где	γ - показатель адиабаты, из Прил.2 для воздуха γ =1,4;
	R –	универсальная газовая постоянная, значение которой для
	воздуха приведено в Прил.2, и составляет R = 287 Дж/(кг K);
	T – температура в кельвинах.		V 2
	Из формулы (1) находим температуру T =		l
			γ R

Скорость звука увеличится на треть: V1 = 43 V0 ,

где V0 – скорость звука при t = 00С, м/с. Вычислим эту скорость:

V1 = 43V0 = 43 330 = 440 м/с.

Температура воздуха в кельвинах для такой скорости распространения звука

	Т =		4402		= 481,8 K ,
		1,4		287
	или в градусах Цельсия
	t1 = T − 273 = 481,8 − 273 = 2090 С.								2 330
	Скорость звука станет на треть меньше: V2					=	2	V0 =		= 220
							3		3

м/с.

Температура воздуха в кельвинах для такой скорости распространения звука

	T =		2202		=120,5K ,
		1,4		287

106

или t2 =T − 273 =120,5 − 273 = −152,50 С.

Ответ. Скорость звука увеличивается на треть при температуре +2090С и уменьшается на треть при температуре –152,50С.

Задача 2.2

Скорость самолета равна скорости звука. Рассчитаем скорость звука по формуле

	Vl =V0 1+	t	,
		273

где V0 – скорость звука при t = 00С, м/с, где t – температура, в 0С.

Скорость звука при t = –500С

V1 = 331,6 1+ −27350 = 299,7 м/с =1078,9 км/ч.

Скорость звука при t = 00С

V2 = 331,6 1+ 2730 = 331,6 м/с =1193,8 км/ч.

Ответ. Скорость звука при температуре –500С равна 1079 км/ч, при температуре 00С – 1194 км/ч. Скорость звука в газообразных средах не зависит от давления, а зависит только от температуры.

Задача 2.3

Длина волны рассчитывается по формуле

λ = Vfl ,

(1)

107

где Vl – скорость звука, м/с; f – частота, Гц.

Скорость звука

V =	γ	р0		,
l		ρ	0

(2)

где γ - показатель адиабаты, для воздуха γ = 1,4; p0 – давление воздуха, Па; ρ0 – плотность воздуха, кг/м3.

Подставляя (2) в (1), получаем

		γ		р0
	λ =			ρ0			.
			f
Подставляем численные значения
λ =	1,4 105 /1,26				= 0,67 м.
	500

Ответ. Длина волны в воздухе на частоте 500 Гц составляет 0,67

м.

Задача 2.4

Из данного выражения u = 5 10−8 sin (1980t −6x),м, видно:

1)	что угловая частота ω =1980		с−1;
2)	волновое число k = 6 м-1	;

3)амплитуда смещения u0 = 5 10−8 м. Следовательно, можно найти частоту колебаний

f = 2ωπ = 219803,14 = 315,3 Гц,

108

вычислить скорость распространения волны

	Vl	=		ω	=	1980		= 330		м/с,
				k		6
	длину волны
			2 π				2 3,14
	λ =				=				=1,05		м.
				k		6

Амплитуда колебательной скорости каждой частицы

νm = u0ω= 5 10−8 1980 = 9,9 10−5 м/с.

Амплитуда звукового давления

pam = νmZa = 9,9 10−5 420 = 0,04 Па.

Ответ. Из анализа приведенного выражения следует, что частота колебаний равна 315 Гц, скорость распространения акустической волны 330 м/с, длина волны 1,05 м, амплитуда колебательной скорости частиц среды 9,9.10-5 м/с, амплитуда акустического давления

0,04 Па.

Задача 2.5

Амплитуда скорости частиц связана с акустическим давлением через акустический импеданс среды, в данном случае воздуха:

vm =	pam	=	pam	,
	Z a		ρ0Vl

где pam - амплитуда акустического давления, Па;

произведение Z a = ρ0Vl = 420 кг/(м2 с) – акустическое сопротивление для воздуха, тогда амплитуда колебательной скорости

vm = 2 10−5 = 4,76 10−8 м/с. 420

Амплитуда смещения частиц

	u	0	= vm =	vm	=	4,76 10−8	= 7,6 10−12 м.
				2π f		2 3,14
			ω

109

Ответ. Амплитуда колебательной скорости частиц среды составляет 4,76.10-8 м/с, амплитуда смещения частиц равна 7,6.10-12 м.

Задача 2.6

Амплитуда смещения частиц среды в воде и воздухе связана с их колебательной скоростью и частотой

		u	= vm =			vm	,
		0	ω			2π f
	где νm – амплитуда колебательной скорости, м/с; f – частота,
	Гц;
	u0 =	0,05 10−5			= 8 10 −10 м.
		2 3,14 100

Амплитуда давления

pam = vm (ρ0Vl ),

где νm – амплитуда колебательной скорости, м/с; произведение Za =ρ0Vl – акустическое сопротивление, которое для воздуха

Zaвоздуха =ρ0 Vl = 420 кг/(м2 с) ,

тогда

pam воздуха = vm Za воздуха

Амплитуда акустического давления волны в воздухе pam воздуха = 0,05 10−5 420 = 2,1 10−4 , Па Скорость распространения акустической волны в воде

	V l =	1	,
		χρ
		0

где χ – коэффициент сжимаемости воды; ρ0 – плотность воды. Из Прил.1 для воды: χ = 0,47 1/ГПа, ρ0 =103 кг/м3.

110

V l =		1		=1458	м/с,
		10−9	103
0,47

волновое сопротивление для воды

Zaводы = (ρ0 Vl )воды =103 1458 =1,458 106 кг/(м2 с).

Амплитуда акустического давления волны в воде pam воды = 0,05 10−5 1,458 106 = 0,73 Па.

Ответ. На частоте 100 Гц при равной амплитуде колебательной скорости для воды амплитуда смещения частиц среды составила 8.10- 10 м, акустическое давление 2,1.10-4 Па; для воздуха амплитуда смещения частиц среды составила бы также 8.10-10 м, а акустическое давление увеличилось бы до 0,73 Па.

Задача 2.7

Амплитуда колебательной скорости

vm =	pam	=	pam	,
	Z a		ρ0Vl

где pam – амплитуда звукового давления, Па; Z a =ρ0Vl – акустическое сопротивление среды, кг/(см2 · с);

vm = 2 10−4 = 4,76 10−7 м/с. 420

Амплитуда смещения

			u	= vm	=	vm	,
						2π f
		0		ω
	где f – частота, Гц;
	u0	=	4,76 10−7		= 7,58 10−11 м.
			2 3,14 103

111

Интенсивность волны ( средняя плотность потока энергии)

		p2		(2 10−4 )2	= 4,8 10−11
J =		am	=	2 420		Вт/м2.
	2
		ρ0Vl

Удельная плотность энергии волны w

wк = wп =	J		4,8 10−11		−13 Дж/м3,
		=		= 1,45 10
	V		331
	l

где Vl - скорость звука, м/с.

Ответ. Амплитуда колебательной скорости частиц среды составляет 4,76.10-7 м/с, амплитуда смещения частиц среды 7,6.10-11 м, средняя

интенсивность волны 4,8.10-11 Вт/м2, удельная плотность энергии акустической волны равна 1,45.10-13 Дж/м3.

Задача 2.8

В воде объёмная плотность энергии

w = J , Vl

где J - интенсивность акустической волны, Вт/м2, Vl - скорость распространения акустической волны, м/с;

w = 15000,1 = 6,7 10−5 Дж/м3.

Амплитуда акустического давления

pam = 2 J ρ0 Vl = 2 0,1 103 1500 = 548 Па.

Амплитуда колебательной скорости

112

vm =	pam	=	548	= 3,65 10−4	м/с.
	ρ0 Vl		103 1500

Амплитуда смещения частиц среды

			v		v		3,65 10−4	= 5,8 10−9
u	0	=	m	=	m	=			м.
					2π f		2 3,14 104
			ω

В воздухе объёмная плотность энергии

w = 3400,1 = 2,9 10−4 Дж/м3.

Амплитуда акустического давления

pam = 2 0,1 1,29 340 = 9,4 Па.

Амплитуда смещения частиц среды

u0	=			9,4		= 3,4	10−7 м.
			3,14	104	1,29 340
	2

Амплитуда колебательной скорости

vm = 1,299,4340 = 2,1 10−2 м/с.

Ответ. Для воды удельная плотность энергии составляет 6,7·10-5 Дж/м3, акустическое давление 548 Па, амплитуда смещения частиц среды 5,8.10-9 м, амплитуда колебательной скорости частиц среды 3,7.10-4 м/с; для воздуха при той же плотности потока мощности акустической волны удельная плотность энергии составляет 2,9.10-4 Дж/м3, акустическое давление 9,4 Па, амплитуда смещения частиц среды 3,4.10-7 м, амплитуда колебательной скорости частиц среды 2,1.10-2 м/с.

Задача 2.9

Уровень интенсивности звука относительно стандартного уровня

113

L =10 lg	J	,
	Jст

где J – интенсивность звука, Вт/м2; Jст -интенсивность относительно стандартного нулевого уровня, Вт/м2;

L =10 lg 2 10−4 = 83 дБ. 10−12

Ответ. Относительно стандартного уровень заданной интенсивности звука составляет 83 дБ.

Задача 2.10

Уровень интенсивности относительно стандартного уровня

	L = 10 lg	J	,
		Jст

где J – интенсивность звука, Вт/м2; Jст – интенсивность отно-

сительно стандартного нулевого уровня, Вт/м2, соответствующего порогу слышимости;

	lg	J	=		L	,
		Jст		10
	L			100

J = Jст 1010 = 10−12 10 10 = 10−2 Вт/м2.

Амплитуда колебательной скорости

	v	m	=	2 J	=	2 0,01	= 6,9 10−3	м/с.
				Za		420

Ответ. Амплитуда колебательной скорости частиц среды равна

6,9 10−3 м/с.

114

Задача 2.11

Коэффициент затухания плоской акустической волны, распространяющейся в воде, вычисляется по формуле, м-1,

α		=		(2 π f )2		4	η
				ρ0водыVa3воды
	воды	2				3	воды ,

где ρ0воды - удельная плотность воды; Vl - скорость распространения звуковой волны в воде; ηводы - коэффициент вязкости воды

(Прил.2).

	V l =	1			=	1					=	1458 м/с,
							0,47 10−9		103
			χρ0
	αводы =	(2 3,14 500 103 )2							4	10−3		= 2 10−3 м-1.
		2		103		14583			3

Амплитуда акустической волны, бегущей, например, вдоль оси z , изменяется с пройденным расстоянием по формуле

pa (z)= pame−αводы z .

Амплитуда волны на искомом расстоянии уменьшается в 10 раз, следовательно, принимая за начальное сечение точку z = 0 , можно записать

pa (z) = 0,1,

pam

откуда искомое расстояние

	z = −	1	ln	pa (z)	= −	1	ln 0,1	=1151	м.
		αводы		pam		2 10−3

Ответ. Амплитуда акустической волны частотой 500 кГц при распространении в воде уменьшится в 10 раз на расстоянии 1,15 км.

Задача 2.12

115

Интенсивность звука плоской волны в воздухе вследствие поглощения имеет вид

Jвозд = J0 e−2αвозд lвозд .

Интенсивность плоской акустической волны в воде вследствие поглощения примет вид

Jводы = J0 e−2αводы lводы .

Одинаковое уменьшение интенсивности в воздухе и воде происходит за счет разных расстояний, тогда можем приравнять экспоненты, уменьшающие интенсивность:

e−2αвозд lвозд = e−2αводы lводы ,

следовательно,

−2αвозд lвозд = −2αводы lводы,

l

=

αвозд

l

возд.

воды

αводы

Затухание воздуха

α

=

(2 π f )2

4

η

возд

2

ρ0воздVl3возд

3

возд.

Затухание воды

α

=

(2 π f )2

4 η

2ρ0водыVl3воды

воды

3

воды ,

l

=

(2 π f )2

4

η

2ρ0водыVl3воды

3 1

l

=

4 ηводы

воды

2ρ0воздVl3возд

3

возд

(2 π f )2

возд

=

ρ

0воды

V 3

η

,

a воды

возд l

ρ

0возд

V 3

ηводы

возд

a возд

lводы =

1000 15003

0,19 10−4

lвозд =1372,59 lвозд.

1,3 3303

10−3

116

Ответ. Поскольку коэффициент затухания акустической волны в воздухе больше, чем в воде, то расстояние равного уменьшения амплитуды звука в воде будет в 1372, 6 раза больше, чем в воздухе.

Задача 2.13

Коэффициент затухания звука определяется

α		=			(2 π f )2		4	η
					ρ0водыVl3воды
	воды		2				3	воды,
где f – частота, Гц; ρ		0	– плотность, кг/м3; V						– скорость распро-
								l

странения акустической волны, м/с; η – вязкость, Па.с. Для воды из Прил.2 вязкость η =10−3 Па.с.

	α =	(2 3,14 2 106 )2		4	10−3	= 3 10−2	м-1.
		2 1000 (1500)3		3

Ослабление амплитуды поля акустической волны, например амплитуды акустического давления, на расстоянии r рассчитывается по формуле

pa (r)= pam e−αr , поэтому на расстоянии r относительное изменение амплитуды поля может быть определено как

L = pa (r) = e−α r = e−3,116 10−4 100 = 0,05, pam

L[дБ]= 20lg L = 20lg0,05 = −26 дБ.

Ответ. На расстоянии 100 м амплитуда акустической волны частотой 2 МГц уменьшится в воде на 26 дБ.

7.2. Ответы и решения задач, приведенных в главе 3

117

Задача 3.1

Коэффициент отражения звука, падающего из воздуха на поверхность воды равен

R p = Z 2 − Z1 , Z 2 + Z1

где Z1, Z2 – акустическое сопротивление первой (воздуха) и

второй (воды) сред, которые могут быть определены из формулы,

кг/(м2 ·с),

Z a =ρ0Vl ,

где ρ0 – удельная плотность среды, кг/м3; Vl – скорость распро-

странения акустической волны в данной среде, м/с.

Тогда, полагая, что скорость звука в воздухе равна 340 м/с, а в воде 1480 м/с, получим

Z a воздуха = ρ0Vl =1,29 340 = 439 кг/(м2.с),

Z a воды =ρ0Vl =103 1480 =1,48 106 кг/(м2.с).

Коэффициент отражения при падении волны из воздуха в воду

	R p =	1,48		106	−439	= 0,9994	,
		1,48		106	+ 439

т.е. давление на границе оказывается удвоенным по сравнению с давлением в падающей волне. Коэффициент отражения при падении акустической волны из воды в воздух равен R p = −0,9994 .

Коэффициент передачи энергии (3.13)

TJ =1−		R p		2 =1−0,99942 = 0,0012 .

Ответ. Коэффициент отражения при нормальном падении акустической волны из воздуха в воду равен 0,9994, при падении из воды в воздух коэффициент отражения составляет –0,9994. Коэффициент передачи энергии равен 0,0012 независимо от направления распространения волны.

118

Задача 3.2

Коэффициент отражения по акустическому давлению

	R p =			Z 2		− Z1		,
				Z 2		+ Z1
по колебательной скорости
	Rv =			Z1		− Z 2		,
				Z 2		+ Z1
где Z1 – акустическое сопротивление воздуха; Z2 – акустическое
сопротивление углекислоты;
R p = 510 −420 = 0,1										,
510 + 420
Rv =		420 −510					= −0,1.
510 + 420
Коэффициент прохождения
T p =	2 Z 2		=			2 510				=1,1.
	Z 2 + Z1				510 +420

Полученное значение коэффициента прохождения по акустическому давлению (больше единицы) свидетельствует о том, что акустическое давление прошедшей волны больше акустического давления падающей волны. Это не означает, что интенсивность прошедшей волны больше интенсивности падающей волны, так как колебательная скорость частиц во второй среде меньше. Действительно, коэффициент передачи по колебательной скорости

T v =	vпр	=	2 Z1	=	2 420	= 0,9 .
					510 + 420
	vпад		Z 2 + Z1

119

Отношение амплитуд суммарного поля по акустическому давлению падающей и отраженной волн в воздухе в точках минимума и максимума может быть определено по формуле

	d =	1		+ Rp	=	1 + 0,1				=1,2.
		1		− Rp		1		− 0,1

Ответ. Коэффициент отражения на границе раздела воздуха и углекислоты по акустическому давлению равен 0,1, по колебательной скорости составляет –0,1. Амплитуда прошедшей волны по акустическому давлению в 1,1 раза больше. Амплитуда прошедшей волны по колебательной скорости составляет 0,9 от амплитуды падающей волны. Амплитуда суммарного поля в воздухе в точках максимума в 1,2 раза больше, чем в точках минимума.

Задача 3.3

Наилучшую звуковую прозрачность обеспечивает слой вещества с минимальной толщиной в четверть длины волны, рассчитанной

для материала слоя, lтр = λ4тр , т.е. четвертьволновый трансформа-

тор. Акустическое сопротивление материала трансформирующего слоя должно удовлетворять условию

Zтр = Z1 Z2 ,

где Z1 и Z2 - акустическое сопротивление материала слева и

справа от трансформирующего слоя.

Акустическое сопротивление воздуха вычисляется с использованием удельной плотности (см. Прил. 2) и скорости распространения звуковой волны в нем. Пусть эта скорость равно 340 м/с, тогда

Z a воздуха = ρ0Vl =1,29 340 = 439 кг/(м2.с).

120

Акустическое сопротивление воды с учетом, что скорость распространения звуковой волны в ней равна 1500 м/с, составит

Z a воды =ρ0Vl =103 1500 =1,5 106 кг/(м2.с).

Акустическое сопротивление трансформирующего слоя должно быть

Zтр = 439 1,5 106 = 2,7 104 кг/(м2.с).

В реальных условиях по полученному значению акустического сопротивления трансформирующего слоя по соответствующим таблицам подбирают материал, акустические свойства которого оказываются наиболее близкими к полученному значению. После этого проводят расчет требуемой толщины трансформирующего слоя.

Ответ. Акустическое сопротивление трансформирующего слоя для границы воды и воздуха составляет 2,7.104 кг/(м2.с).

Задача 3.4

Коэффициент отражения для жидких сред

R p = Z 2 cosθ− Z1cosψ , Z1cosψ+ Z 2 cosθ

где Z1 – акустическое сопротивление воды; Z2 – акустическое сопротивление ртути.

Направления падающего и прошедшего лучей связаны отношением

		sin ψ = V l 2 sin θ,
			V l1
или
cosψ =	1−sin2 ψ =		2		2	(1−cos2 θ).
		1− V l2 sin θ =		1− V l2
		V l1		V l1

121

Акустическое сопротивление жидких сред

Z a =ρ0Vl ,

скорость распространения акустической волны в жидкости

Vl = χρ1 0 ,

где χ – коэффициент сжимаемости и ρ0 – удельная плотность определяются из Прил.2.

Для воды

Vl1	=V l воды =		1		=1458	м/с,
			10−9	103
	0,47

Z1 = Z a воды =103 1458 =1,46 106 кг/(м2.с).

Для ртути

V	=V	=		1		=1396	м/с,
				10−9	13,5 103
l2	l ртути	0,038
Z2 =Za ртути		=13,5 103 1396 =1,88 107 кг/(м2.с).

Ответ. После вычисления на компьютере получены следующие зависимости модулей коэффициентов отражения (рис.7.1) и прохождения (рис.7.2) на границе вода – ртуть от угла падения.

122

1
0.8
0.6
0.4
0.2
20	40	60	80

Рис.7.1. Зависимость коэффициента отражения по акустическому давлению волны, падающей из воды на границу с ртутью

2
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
20	40	60	80

Рис.7.2. Зависимость коэффициента прохождения по акустическому давлению волны, падающей из воды на границу с ртутью

Из рис.7.1 видно, что при угле падения 88,5 град., коэффициент отражения равен нулю и имеет место эффект полного прохождения.

Задача 3.5

123

Коэффициент отражения по акустическому давлению от границы раздела двух сред

R p = Z 2 cosθ− Z1cosψ . Z1cosψ+ Z 2 cosθ

Если падающий угол θ→ 90o , то

R p = 0 − Z1cosψ = −1.

Z1cosψ + 0

Ответ. Коэффициент отражения по акустическому давлению от границы раздела двух сред при угле падения, стремящемся к 90 град. равен –1.

Задача 3.6

Критический угол полного отражения

θкр = arcsin Vl1 ,

Vl2

где Vl1 – скорость распространения акустической волны в воде; Vl 2 – скорость распространения акустической волны в анилине;

θкр = arcsin 16591480 = 63 град.

Ответ. В диапазоне углов падения от 63 до 90 град. прошедшей во вторую среду волны не будет и границу воздуха с анилином можно рассматривать как полностью отражающую.

7.3. Ответы и решения задач, приведенных в главе 4

124

Задача 4.1

Скорость распространения продольной упругой волны в металлическом стержне рассчитывается по формуле, м/с,

Vl = ρE0 ,

где E модуль продольной упругости (модуль Юнга). Из Прил. 2 для алюминия E = 7,1 1010 н/м2 = Па, ρ0 = 2,71 103 кг/м3.

	Vl =	7,1 1010	= 5,12 103 м/с.
		2,71 103

Время пробега акустической волной стержня длиной 3 м

t =	L	=	3	= 0,59 мс.
			5,1 103
	Vl

Ответ. Поскольку скорость распространения акустической волны от частоты не зависит, время пробега стержня длиной 3 м для обеих частот составит 0,59 мс.

Задача 4.2

В среде алюминия скорость распространения продольной акустической волны

Vl =		E (1−σ)
			,
		ρ0 (1+ σ)(1− 2σ)
где E – модуль продольной упругости (модуль Юнга); σ – ко-
эффициент Пуассона; ρ0 –	плотность. Из Прил.2 для алюминия

E = 7,1 1010 Н/м2 = Па, σ = 0,34 , ρ0 = 2,71 103 кг/м3.

125

V =		7,1 1010 (1 − 0,33)						= 6,23 103	м/с.
l	2,71	103 (1 + 0,33)(1 − 2					0,33)
Скорость распространения сдвиговой волны
			Vt =		µ	,
					ρ
				0
где µ – модуль сдвига. Из Прил.2 µ = 2,6 1010 Па;
		V = 2,6 1010		= 3,10 103				м/с.
		t	2,71 103

Ответ. Скорость распространения продольной упругой волны в алюминии равна 6,23 км/с, сдвиговой – 3,1 км/с.

Задача 4.3

Скорость распространения продольной волны в изотропном твердом теле

Vl =	E (1−σ)
		,
	ρ0 (1+ σ)(1− 2σ)

где E – модуль продольной упругости (модуль Юнга); σ – коэффициент Пуассона; ρ0 – плотность. Из Прил.2 для плавленого кварца E = 7,2 1010 Н/м2 = Па, σ = 0,17 , ρ0 = 2,2 103 кг/м3.

V =		7,2 1010 (1 − 0,17)					= 5,93 103	м/с.
l	2,2	103 (1 + 0,17)(1 − 2 0,17)
Длина продольной волны
		λ =	Vl	=	5,93 103	=1,98 10−4 м.
			f
					30 106

126

Если считать, что упругая продольная волна распространяется вдоль оси x, то деформация связана со смещением частиц среды вдоль этой оси выражением

S xx =

∂ux

.

∂ x

Для гармонической волны смещение

r

r

umx e

− j kx

,

u

(x)= x0

&

где k - постоянная распространения,

k = 2 π =

2 3,14

= 3,17 104 м-1,

тогда

λ

1,98 10−4

.

S xx

=

∂(umx e− j k x )

= − j k u e− j k x

.

∂ x

mx

Амплитуда смещения частиц среды

S xx

S xx

umx

=

e

j k x

=

.

− j k

k

Здесь S xx - деформация;

umx =

10−9

= 3,2 10−14 м.

3,17 104

Амплитуда колебательной скорости для гармонической волны vmx = ωumx = 2 π f umx = 2 3,14 30 106 3,2 10−14 = 6 10−6 м/с.

Интенсивность акустической волны

Jср = 12 vm2 ρ0Vl = 0,5 (6 10−6 )2 5,93 103 =1 10−7 Вт/м2.

Ответ. Скорость распространения акустической волны 5,93.103 м/с, длина волны 1,98.10-4 м, амплитуда смещения частиц среды

127

3,2.10-14 м, амплитуда колебательной скорости 6.10-6 м/с, средняя интенсивность 1.10-7 Вт/м2.

Задача 4.4

Акустическое сопротивление воздуха

Za воздуха =Vl воздуха ρ0 воздуха = 340 1,29 = 439 кг/(м2.с).

Акустическое сопротивление сапфира

Za сапфира =Vl сапфираρ0сапфира =11,1 103 3,97 103 = 4,4 107 кг/(м2.

с).

Коэффициент отражения при падении акустической волны из воздуха на поверхность сапфира

	Rp =	Za сапфира − Za воздуха	=	4,4 107		−439	= 0,99998 .
		Za сапфира + Za воздуха		4,4	107	+ 439

Ответ. Коэффициент отражения акустической волны при падении по нормали из воздуха на поверхность сапфира составляет

0,99998.

Задача 4.5

Углы падения, отражения и преломления связаны между собой соотношением

sin θt пад = sin θt отр = sin θl отр = sin θl пр .
Vt пад	Vt отр	Vl отр	Vl пр

При заданной поляризации акустической волны может наблюдаться эффект расщепления отраженной волны, распространяющейся в алюминии, на продольную и сдвиговую. Скорость распространения продольной волны больше скорости распространения сдвиговой вол-

128

ны, поэтому угол отражения продольной волны будет больше угла падения.

Расчет скорости распространения продольной и сдвиговой волн в алюминии приведен в решении задачи 4.2:

Vl Al =Vl отр = 6,23 103 м/с, Vt Al =Vt отр = 3,10 103 м/с.

Скорость распространения акустической волны в воде (см. задачу

2.11)

Vl воды =Vl пр =	1	=	1		=1458	м/с.
			0,47 10−9	103
	χ ρ0

Угол отражения сдвиговой волны равен углу падения:

θt пад = θt отр =10

град.

Угол отражения продольной волны

sin θt пад

103

sin10o

θ

= arcsin V

= arcsin

6,23

3

= 20,4

l отр

l отр

Vt пад

3,1 10

град.

Угол преломленной в воду волны

sin θt пад

3

sin10o

V

θ

= arcsin

пр

= arcsin 1,458

10

= 4,7

3

l пр

l

Vt пад

3,1 10

град.

Ответ. При падении сдвиговой волны вертикальной поляризации под углом 10 град из алюминия на поверхность воды отраженная сдвиговая волна в алюминии пойдет под тем же углом 10 град, появится отраженная под углом 20,4 град продольная волна в алюминии. Прошедшая в воду акустическая волна пойдет под углом 4,7 град относительно нормали к границе.

129

Задача 4.6

Скорость поверхностной волны Рэлея рассчитывается по форму-

ле

	V R ≈	0,875 +1,125σ
		1+ σ
	V t

	где Vt =	µ	– скорость сдвиговой волны в плавленом кварце; µ –
		ρ
		0

модуль сдвига; ρ0 – удельная плотность материала; σ – коэффициент Пуассона (Прил.2).

V =

3,1 1010

=1,2 104

м/с,

t

2,2 102

V

R

≈

0,875 +1,125σ

V =

0,875 +1,125 0,17

1,2 104 =1,09 104

1

+ σ

t

1

+ 0,17

м/с.

Время пробега поверхностной волной отрезка 10 мм

t =

S

=

10−2

= 0,92 10−6

с.

VR

1,09 104

Ответ. Время прохождения поверхностной волной Рэлея отрезка 10 мм на границе плавленый кварц – воздух составляет 0,92 мкс.

Задача 4.7

Критический угол падения продольной волны, при котором в сапфире распространяется только сдвиговая волна, определяется из формулы

130

sin θкр1 = Vl1 ,

Vl2

где Vl1 – скорость распространения продольной волны в полиэтилене; Vl2 – скорость распространения продольной волны в сапфире;

θкр1	= arcsin	Vl1	= arcsin	1950	=10,12 град.
				11100
	Vl2

Критический угол падения, при котором при падении продольной волны в сапфире перестает распространяться объемная сдвиговая волна, определяется из формулы

sin θкр2 = Vl1 ,

Vt2

где Vt2 – скорость распространения сдвиговой волны в сапфире.

θкр2 = arcsin Vl1 = arcsin 1950 =18,8 град. Vt2 6040

Ответ. В диапазоне углов падения менее 10,12 град в сапфире распространяются продольная и сдвиговая волны. В диапазоне углов падения от 10,12 до 18,8 град в сапфире распространяется только сдвиговая волна. При углах падения от 18,8 до 90 град относительно нормали к границе полиэтилена с сапфиром поверхность сапфира можно рассматривать как полностью отражающую.

7.4. Ответы и решения задач, приведенных в главе 5

Задача 5.1

Интенсивность сферической волны в воздухе от пульсирующей сферы малого радиуса рассчитывается по формуле (5.10):

	1		1			2 a 2 (k a)2
J =		&			ρ0Vl	v0		.
	2	Re(pa vr )=		2			1+(k a)2
						r

131

Излучаемая мощность определяется интегрированием плотности потока энергии акустической волны по сфере, окружающей источник:

P = ∫ J dS .

s

С учетом того, что амплитуда акустической волны от пульсирующей сферы от угла не зависит,

P = J (r)4 πr2 .

Отсюда
	J (r)=		P	=	5		= 4 10−3 Вт/м2.
			πr2		4 3,14 102
	4
Для	других		расстояний:			J (50)=1,6 10−4		Вт/м2,
J (100)= 4 10−5 Вт/м2,			J (500)=1,6 10−6 Вт/м2.

Ответ. Интенсивность акустической волны на расстояниях от пульсирующей сферы 10, 50, 100 и 500 м составляет соответственно

4 10−3, 1,6 10−4 , 4 10−5 и 1,6 10−6 Вт/м2.

Задача 5.2

Мощность, излученная пульсирующей сферой:

	P = 2 πρ0 V l3ξ02	(k a)4	,
		1+(k a)2

132

где ρ0 – удельная плотность среды; Vl – скорость распространения акустической волны в среде; ξ0 – амплитуда смещения поверхно-

сти колеблющейся сферы; a – радиус сферы в состоянии покоя; k – постоянная распространения;

k =	ω	=	2 π f	.
	Vl		Vl

Скорость распространения акустической волны в воздухе 330 м/с (см. задачу 2.1), в воде – 1485 м/с (см. задачу 2.6). Тогда постоянная распространения

kвоздух	=	2 3,14 100 =1,9 м-1,
		330
kвода =	2 3,14 100 = 0,42 м-1.
		1485
Излучаемая мощность							(1,9 10−2 )4
Pвоздух = 2 3,14 1,29 3303 (10−2 )			2
								=1,15 10−5 Вт,
						1+(1,9 10−2 )2
Pвода = 2 3,14 103 14853		(10−2 )		2			(0,42 10−2 )4
									= 0,64 Вт.
							1+(0,42 10−2 )2

Ответ. Излучаемая мощность для воздуха равна 1,15 10−5 Вт, для воды – 0,64 Вт.

Задача 5.3

Длина поверхностной волны Рэлея λ = 2kπ ,

k = ω , VR

133

где k – постоянная распространения; VR нения поверхностной волны Рэлея.

Следовательно,

λ =	2 π	=	2 πVR	=	VR	=	3,3 103
	k		2 π f		f		30 106

–скорость распростра-

=1,1 10−4 м.

Период следования пар стержней равен длине поверхностной волны Рэлея:

S = λПАВ =1,1 10−4 м.

Если, например, считать, что ширина планарного металлизированного стержня на подложке равна зазору между стержнями, то расстояние между соседними стержнями должно быть

	∆S =	S	=	1,1 10−4		= 2,75 10−5 м.
		4			4

Ответ. Период стержневой структуры равен 110 мкм, расстояние между стержнями при условии равенства ширины стержня и зазора между ними на частоте 30 МГц составляет 27,5 мкм.

7.5. Ответы и решения задач, приведенных в главе 6

Задача 6.1

Уровень интенсивности относительно стандартного

L =10lg J ,

Jст

где J – уровень интенсивности звука, Вт/м2; Jст – интенсив-

ность относительно стандартного нулевого уровня, Вт/м2, соответствующего порогу слышимости. Следовательно, с учетом того, что

Jст =10−12 Вт/м2, интенсивность звука

L

120

J = Jст 1010 =10−12 10 10 =1 Вт/м2.

интенсивности звука в гармонической волне

134

J = pam2 ,

2ρ0 Vl

где pam – амплитуда звукового давления, Па, ρ0 – удельная плотность воздуха, кг/м3; Va – скорость распространения акустической волны в воздухе, м/с;

pam = 2 J ρ0 Va = 2 1 1,29 340 = 29,6 Па.

Мощность акустической волны, проходящей через площадь S :

P = J S =1 4 10−4 = 4 10−4 Вт.

Ответ. Звуковое давление на заданной интенсивности равно 29,6 Па, мощность звука, попадающего в ухо человека, 4 10−4 Вт.

Задача 6.2

Акустическое давление 2 10−3 Па на частоте 1 кГц соответствует уровню громкости 40 фон (см. рис.6.4). На частоте 1 кГц абсолютный уровень акустической громкости 40 дБ. На частоте 20 Гц графику 40 фон соответствует абсолютный уровень акустической громкости примерно 85 дБ. Следовательно, акустическая система должна излучать мощность на 85 – 40 = 35 дБ больше.

Ответ. Акустическая система должна излучать на 35 дБ больший уровень мощности.

135

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Элементы векторного анализа

Если в каждой точке пространства M ставится в соответствие скалярная величина ψ, то говорят о скалярном поле ψ(M ), напри-

мер поле давлений или поле упругих напряжений. Если точка М имеет декартовы координаты (x, y, z), скалярное поле можно записать в виде ψ = ψ(x, y, z). Поле акустических волн является скалярным по-

лем.

Наглядно скалярное поле можно изобразить с помощью поверхностей равного уровня.

Еrсли в каждой точке пространства M ставится в соответствие вектор A, то говорят о векторном поле A(M ). Например, электрическое

поле имеет векторный характер.

Наглядно векторное поле можно изобразить с помощью силовых линий.

Представление вектора в ортогональной системе координат

r

r

r

r

А = q01A1 + q02 A2

+ q03 A3 ,

где

Ai

– проекция вектора A

на координатные оси qi ;

qr0i – орты вдоль координатных осей qi .

Скалярное произведение векторов A и B

r

r

r r

r

r

cosα ,

A B = (A, B)=

A

B

где α – угол между векторами A и B .

В декартовой системе координат

r

r

= Ax Bx

+ Ay By + Az Bz ,

A

B

где

Аx, Bx, Ay, By, Az, Bz – проекции векторов A и Br на оси x, y, z

.

Векторное произведение векторов A и B

r

r

r r

r

r

r

sin α,

A × B

= A, B

= n

A

B

где α – угол между векторами A и B ;

nr

– единичный вектор нормали к плоскости векторов A и B ,

r

r

r

причём A, B и n образуют правую тройку векторов.

136

В декартовой системе координат

r	r		xr0	yr0	zr0
A × B		=	Ax	Ay	Az		,
			Bx	By	Bz
где xr0 , yr0 , zr0 – орты декартовой системы координат
								r r
Векторно-скалярное (смешанное) произведение векторов A, B,C
r r	r	r r r			r r			r
A B,C = B C, A = C A,								B .
Двойное векторное произведение векторов A, B,Cr
r r	r		r	r r	r r r
A, B,C		= B (A,C )−C (A, B) .

Уравнение поверхностей равного уровня

Ψ(q1,q2,q3,)= const

Уравнение силовых линий

h1dq1

=

h2dq2

=

h3dq3

,

A

A

A

1

2

3

где hi

– коэффициенты Лямэ.

Коэффициенты Лямэ для трёх координатных систем:

1. Декартова система координат r

r

r

r

r

q1 = x,

q2 = y,

q3 = z,

q10 = x0

,

q20 = y0

,

q30

= z0

,

h x = hy = hz =1;

2. Цилиндрическая система координат

qr30 = zr0 ,

q1 = r,

q2 = ϕ,

q3 = z,

q10 = rr0,

qr20 = ϕ0,

hr =1, hϕ = r, hz =1;

3. Сферическая система координат

r

r

r

q1 = r,

q2 = θ,

q3 = ϕ,

r

r

= θ0,

q10

= r0,

q20

q30 = ϕ0 ,

hr =1, hθ = r, hϕ = r sin θ.

137

Поток векторного поля A через поверхность S

∫ AdSr = ∫ AndS ,

r

r

r

s

s

где

и

dS

= ndS

n – единичный вектор внешней нормали к пло-

щадке dS;

An – проекция вектора A на нормаль n .

Дивергенция (или расходимость) векторного поля

Ar

r

r

1

∂(A1h2h3 )

∂(A2h1h3 )

∂(A3h1h2 )

divA = A =

+

+

.

h h h

∂q

∂q

∂q

1 2 3

1

2

3

Теорема Гаусса-Остроградского:

r

r

∫ div AdV = ∫ Ads ,

V

S

где замкнутая поверхность S охватывает объем V. Циркуляция вектора Ar вдоль замкнутого контура l.

∫ Adl = ∫ Aτdl ,

		r	r	l	l
	где			и τr – единичный вектор, касательный к контуру
		d l	= τd l

(направление обхода правовинтовое). Ротор (или вихрь) векторного поля A

qr10

qr20

qr30

h2h3

h1h3

h1h2

r

∂

∂

∂

.

rot A =

∂q

∂q

∂q

1

2

3

h1A1

h2 A2

h3 A3

Теорема Стокса:

r	r
∫rot Ad s	= ∫ Adl ,
s	l

где поверхность S опирается на замкнутый контур l. Градиент от скалярной функции

138

r 1 ∂ψ

r 1

∂ψ

r 1

∂

grad ψ = q10

+ q20

+ q30

.

h

∂q

h

∂q

2

h

∂q

1

1

2

3

3

Дифференциальный оператор – набла (оператор Гамильтона)

r 1

∂

r 1

∂

r 1

∂

= q10

+ q20

+ q30

.

h

∂q

h

∂q

h

∂q

1

1

2

2

3

3

Дифференциальные операции с использованием оператора набла

grad ψ = ψ ,

r

rot A

r

div A = ( , A),

= , A .

Скалярное произведение

( , )= 2 – оператор Лапласа.

r

r

r

2 A = grad div A − rot rot A,

2ψ = ∆ψ = div grad ψ =

1

∂

h2h3 ∂ψ

∂

h1h3 ∂ψ

∂

h1h2 ∂ψ .

=

∂q

+

∂q

+

q

h h h

∂q

h

∂q

h

∂q

h

1 2 3

1

1

1

2

2

2

3

3 3

Некоторые формулы векторного анализа

div rot A = 0 , rot grad ψ = 0,

rot rot A = grad div Ar − 2 Ar,

	r	r r	r
div A, B	= B rot A − Arot B ,
r		r	r

Agrad ψ+ ψdiv A = div (ψ A).

Векторное поле без источников, т.е. с нулевой дивергенцией, называется соленоидальным. Векторное поле A , для которого во всех

точках удовлетворяется условие rot A = 0, называется потенциаль-

ным.

139