03_05_Сл_вел_Часть_2_2005

Случайные величины

47

замена переменной t =

(x − m)

, x = tσ

2 + m , dx =

2σdt

σ

2

∞∫(σ

2 ∞∫te−t2 dt

∞∫e−t2 dt =...

... =

1

2t + m)e−t2 dt = σ

+

m

π −∞

π −∞

π −∞

∞∫te−t2 dt равен нулю, как интеграл от нечетной функции в симметричных

−∞

пределах;

∞∫e−t2 dt = 2∞∫e−t2 dt =

π - интеграл Пуассона, тогда

m

−∞

0

mx =

π = m - центр рассеивания случайной величины Х.

π

∞

2

∞

1

( x − m )2 e−

(x−m)2

Дисперсия Dx

= ∫( x − mx ) f ( x )dx = ∫

2σ2 dx =… заме-

2π

−∞

−∞ σ

на переменной …=

1

∞∫t2σ2 2e−t2

2σdt =

σ2

∞∫ 2t2e−t2 dt =... вычислим ин-

σ

2π −∞

π −∞

теграл по частям:

1

σ2

∞

∞

σ2

−t2

−t 2

−t2

∫e

−t2

2

t =u,te

dt = du

,ϑ = −

2

e

,

... =

−te

−∞

+

dt =

π

=σ

.

π

π

−∞

e−t2 приt →∞ убывает быстрее, чем любая степень t −te−t2

→0 ; D

x

=σ2 .

Таким образом, параметр m для нормального распределения случайной величины Х является ее математическим ожиданием, а параметр σ – среднеквадратическим отклонением.

Рассмотрим изменение кривой распределения, в зависимости от параметров распределения. При изменении m кривая смещается вдоль оси абсцисс. При увеличении σ кривая распределения становится более плоской, растягивается вдоль оси абсцисс, при уменьшении σ – вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков (площадь под кривой всегда равна 1).

На рисунке кривая I имеет σ=2/3, II - σ=1, III -

σ=3/2. ε	x	=	µ4				−3 = 0 , т.к. для нормального рас-
			σ		4
					x
пределения				µ4			= 3 .
			σ		4
					x

Вычислим вероятность попадания случайной величины Х на участок от α до β:

	β	1	β	( x−m)2
	P(α < X < β) = ∫ f (x)dx =		∫e−		dx =...
				2σ2
	α	σ 2π α

48	Лекции 3-5

					β−m		t2
		x −m		1	σ	e−
	Замена t =		, x=tσ+m, dx=σdt, ... =		∫		2 σdt =
		σ
				σ 2π α−m

σ

1

2π

β−m σ∫

α−m

σ

−t2

e 2 dt =...

Последний интеграл не выражается через элементарные функции, но его

		1	x	t2
	можно выразить через специальную функцию Ф(x) =		∫e−	2 dt - функцию
		2π
			0

Лапласа, для которой существуют специальные таблицы. Таким образом,

P{α < X < β} =Ф( β σ− m) −Ф(ασ− m) .

Свойства функции Лапласа:

1)Ф(0)= 0 ,

2)Ф(−x)= −Ф(x) (нечетная),

3)Ф(∞)= 0,5.

	Рассмотрим функцию распределения F(x):			1		х−m
	F (x)= P(X < x)= P(−∞< X < x)=
		α = −∞,β = х,Ф( −∞) = −0,5	=		+Ф
				2		σ

.

!В связи с широкой распространенностью нормального распределения для него часто используется специальное обозначение: нормальный за-

кон с математическим ожиданием m и среднеквадратическим отклонением σ обозначается N (m,σ ).

!Закон нормального распределения очень широко распространен в случайных явлениях природы. Он возникает в тех случаях, когда складываются много независимых случайных величин Х1 ,Х2 ,...,Хn .Какими бы ни были законы распределения величин Х1 ,Х2 ,...,Хn , закон распределения их суммы будет близок к нормальному.

Примеры нормальных распределений: ошибки «точных измерений», ошибки стрельбы, вызывающие отклонение снарядов от точки прицеливания, ошибки вывода космического корабля в заданную точку пространства и т.п.

5.1. Функции от случайной величины

ОСлучайная величина Y называется функцией от случайной величины X, Y =ϕ(X ), если задан закон, по которому каждому значению X постав-

лено в соответствие только одно значение Y.

В более сложных случаях Yi =ϕi (X1, X2 , X3,..., Xn ) при i=1, 2, …, k, k ≠ n .

Случайные величины

49

Сформулируем задачу для случая непрерывной с.в.: зная плотность распределения случайной величины X f (x) и связь Y =ϕ(X ), найти плотность распределения g(y) cлучайной величины Y. Вначале рассмотрим случай, когда Y =ϕ(X )- строго монотонна (возрастает или убывает).

ТПусть: 1) задана f (x) и 2) Y =ϕ(X ) строго монотонна и дифференцируема на интервале (a,b), который может быть и бесконечным.

Тогда g

(

y

)

(

(

y

))

ψ′

(

y

)

, где x =ψ

(

y

)

– обратная к y =ϕ

(

x

)

функ-

= f ψ

ция.

Доказательство:

т.е. y =ϕ(x)

Пусть Y =ϕ(X )

возрастает,

возрастает, тогда существует

x =ψ (y)

–

функция,

обратная функции

y =ϕ(x) и функция

x =ψ (y)

является возрастающей.

Вычислим вероятность попадания случайной величины Y в промежуток

[y; y + ∆y):

P(y ≤Y ≤ y + ∆y)= P(ψ (y)≤ X ≤ψ (y + ∆y))=

=F (ψ (y + ∆y))− F (ψ (y))= F′(ψ (y)) (ψ (y + ∆y)−ψ (y))+O1 (∆y)=

=F′(ψ (y)) ψ′(y) ∆y +O1 (∆y)+O2 (∆y)= f (ψ (y)) ψ′(y) ∆ +O(∆y).

Сдругой стороны,

P(y ≤Y ≤ y + ∆y)=G(y + ∆y)−G(y)= =G′(y) ∆ +O(∆y)= g (y) ∆y +O(∆y).

Следовательно, g( y) = f (ψ (y)) ψ′(y), если y =ϕ(x)возрастает.

Если y =ϕ(x) убывает,

g( y) = − f (ψ (y)) ψ′(y).

Объединяя, получаем

g (y)= f (ψ (y)) ψ′(y) .

В случае, если y =ϕ(x) немонотонна, для нахождения g (y) интервал (a,b) нужно разбить на промежутки монотонности y =ϕ(x), на каждом

участке найти обратную функцию, найти вклад в плотность вероятно-

50	Лекции 3-5

сти g (y) от каждого участка и результаты сложить:

n

g (y)= ∑f (ψi (y)) ψi′(y) .

i=1

Пример:

Случайная величина Х равномерно распределена на промежутке [0;2]; Y=X2. Определим закон распреде-

ления g(y). Решение:

0, x [0;2], f (x) =

1 , x [0;2].

2

По теореме g( y) =					′		2		,
			f (x( y)) | x ( y) | , Y=X
следовательно, у=х2, x=					y ; x′ =	1		,
						2
							y
0, y [0;4];
	1		1
g (y)=					, y [0;4].
	2
			2	y

Пример:

Случайная величина Х равномерно распределена на промежутке [-1;1]; Y=X2 Определить g (y).

Решение: y=x2.

Имеем 2 участка монотонности: [-1;0] и [0;1]

для 1-го x1 = −					y ; для 2-го x2 =								y .
g (y)=	1			1	+	1			1	=		1	, y [0;1].
	2			y		2			y			y
		2					2			2

Для дискретной случайной величины вычисление ряда распределения для функции также может измениться в зависимости от того, будут ли повторяться значения функции.

Пример:

Случайная величина Х задана рядом распределения

	X	1	2	3
	p	0,3	0,5	0,2
Y=X2. Найти ряд распределения Y.
Решение:
	Y	1	4	9
	p	0,3	0,5	0,2

Пример:

Случайная величина Х задана рядом распределения

Случайные величины									51
		X		-1		1			2
		p		0,3		0,5			0,2
	Y=X2. Найти ряд распределения Y.
	Решение: так как с.в. Y принимает значение y =1 при x =1 и при x = −1,
	соответствующие вероятности суммируются:
			Y		1		4
			p		0,8		0,2

5.2.Числовые характеристики функции случайной величины Математическое ожидание

Если Y =ϕ(X ) и случайная величина Х имеет плотность распределения f (x), то M (Y )= mY = ∞∫ϕ(x)f (x)dx . (следствие теоремы).

−∞

Доказательство:

(приведено

для случая

монотонно

возрастающей

y =ϕ(x))

( )

∞

( )

∞

(

( ))

( )

∞

( ) ( )

∫

∫

′

∫

M Y = y g y dy = y f ψ

y ψ

y dy = ϕ x f x dx , ч.т.д.

−∞

−∞

−∞

Дисперсия

Если Y =ϕ(X )

и случайная величина Х имеет плотность распределения

f (x), то D(Y )= ∞∫(ϕ(x))2 f (x)dx − ∞∫ϕ(x)f (x)dx 2 .

−∞

−∞

Доказательство: (приведено для случая монотонно возрастающей

y =ϕ(x)).

D(Y )= M ((Y − M (Y ))2 )= M (Y 2 )−(M (Y ))2 = ∞∫ y2 g (y)dy − ∞∫

yg (y)dy =

−∞

−∞

∞

( ( ))

( )

∞

( ( ))

( )

2

∫

2

′

∫

′

=

y

f

ψ y ψ

y dy

−

y f ψ y ψ

y dy

=

−∞

−∞

= ∞∫(ϕ(x))2 f (x)dx − ∞∫ϕ(x)f (x)dx 2 .

−∞

−∞

Моменты

Начальный момент порядка k случайной величины Y:

k

(

)

∞

∞

(

)

∞

(

)

∫

∫

∫

′

k

α

= M Y

k

=

y

k

g (y)dy = y

k

f ψ (y)

ψ

(y)dy =

ϕ(x) f (x)dx .

−∞

−∞

−∞

52	Лекции 3-5
Центральный момент порядка k случайной величины Y:
µk = M ((Y − M (Y ))k )= ∞∫(y − M (Y ))k g (y)dy =
−∞

= ∞∫(y − mY )k f (ψ (y)) ψ′(y)dy = ∞∫(ϕ(x)− mY )k f (x)dx.

−∞

−∞

5.3. Распределения, связанные с нормальным

Рассмотрим некоторые распределения, функционально связанные с нормальным, которые далее будут широко использоваться в задачах математической статистики.

5.3.1. Распределение χ2 (Пирсона)
Рассмотрим совокупность независимых случайных	величин
Х1 ,Х2 ,...,Хn , у которых математическое ожидание равно нулю,	а среднее

квадратическое отклонение – единице. Сумма квадратов этих величин распределена по закону, называемому «хи – квадрат с n степенями свободы»:

χ2 = ∑Xi2 . i=1n

Если эти величины связаны одним линейным соотношением, например,

n
∑Xi = n		, число степеней свободы уменьшается, k = n −1.
	X
i=1
Плотность этого распределения
		0,							x ≤ 0,
				1
		f (x)=				−x 2	x	−1
					e		x2		, x > 0,
			2n 2 Γ(n 2)

Распределение Пирсона зависит от одного параметра – числа степеней свободы. С увеличением числа степеней свободы распределение приближается к нормальному, что можно наблюдать на приведенных ниже графиках.

Случайные величины			53
5.3.2. t – распределение Стьюдента
Пусть Z – стандартная нормальная величина (т.е. M (Z )= 0 , σ (Z )=1, а
V – независимая от Z случайная величина, распределенная по закону χ2			с k
степенями свободы. Величина	Z
T =
	χ2

k

распределена по закону, называемому t – распределением Стьюдента с k степенями свободы. Очевидно, распределение Стьюдента зависит от одного параметра – числа степеней свободы k . Плотность t – распределения Стьюдента выражается формулой

		k +1							−k +1
		Γ				x	2
	f (x,k )=	2							2
				1	+			.
		k				k
		πkΓ
			2

С увеличением числа степеней свободы распределение быстро приближается к нормальному, что можно наблюдать на приведенных ниже графиках.

Важная роль распределения Стьюдента в математической статистике объясняется следующим фактом: если случайные величины Х1 ,Х2 ,...,Хn незави-

симы и одинаково распределены по нормальному закону N (a,σ ), то величи-

на	(		−a)
tn−1 =				n , где X = 1 ∑Xi , s2 =			1 ∑(Xi − X )
		X
						n		n	2
			s			n i=1		i=1
							n −1

подчиняется распределению Стьюдента с n −1 степенями свободы.

54	Лекции 3-5

5.3.3. F – распределение Фишера – Снедекора

Если независимые случайные величины U и V распределены по закону χ2 с k1 и k2 степенями свободы соответственно, то величина

F= U k1V k2

распределена по закону, называемому распределением Фишера – Снедекора

со степенями свободы k1 и k2 .

Плотность этого распределения

0,

x ≤ 0,

k1

−1

f (x)=

x 2

−x 2

C

e

, x > 0,

(k

+ k x)

k1 +k2

2

2

где

1

k

+ k

k1

k2

2

(k1 )2

(k2 )2

Γ

1

2

C =

.

k

k

2

Γ

1

Γ

2

2

С увеличением числа степеней свободы распределение приближается к нормальному, что можно наблюдать на приведенных графиках.