18 Ортонормированный базис

Процесс ортогонализации Грама–Шмидта: пример (2)

Разделив каждый из векторов b1, b2 и b3 на его длину, найдем ортонормированный базис пространства M:

c1

= jb1j

= p2b1

=

p2

;

p2; 0; 0 ;

b1

1

1

1

= jb2j

p6; 0 ;

c2

= p6b2

=

p6

; p6;

p

b2

1

1

1

2

c3

= jb3j

= p3b2

=

2p3

; 2p3; 2p3;

:

2

b3

2

1

1

1

3

1

1

1

1

2

c3 =

1

;

1

; 3 .

=

;

1

Ответ: c1

=

p2 ;

p2 ; 0; 0 , c2

p6 ; p6 ; p6 ; 0 ,

2p

2p

2p

p

2

3

3

3

Б.М.Верников

Лекция 18: Ортонормированный базис

Дополнение до ортогонального базиса (1)

Теорема 4

Любую ортогональную систему ненулевых векторов евклидова пространства V можно дополнить до ортогонального базиса этого пространства.

Доказательство. Пусть a1; a2; : : : ; ak ортогональный набор ненулевых векторов пространства V . Обозначим размерность пространства V через n. Нам достаточно найти ортогональный набор из n ненулевых векторов пространства V , содержащий векторы a1; a2; : : : ; ak . В самом деле, в силу теоремы 1 такой набор векторов будет линейно независимым, и потому, в силу замечания 8 из лекции 8, он будет базисом пространства V .

Если k = n, то, в силу сказанного выше, уже сам набор векторов

a1; a2; : : : ; ak является ортогональным базисом пространства V . Поэтому далее можно считать, что k < n. Пусть b1; b2; : : : ; bn ортонормированный базис пространства V , существующий в силу теоремы 3. Пусть вектор ai имеет в этом базисе координаты (ai1; ai2; : : : ; ain) (для всякого i = 1; 2; : : : ; k).

Б.М.Верников

Лекция 18: Ортонормированный базис

Дополнение до ортогонального базиса (2)

Рассмотрим следующую однородную систему линейных уравнений:

8 a21x1	+ a22x2	+ + a2nxn = 0;
a11x1	+ a12x2	+ + a1nxn = 0;
> . . . . . .	. . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
>
<
> ak1x1	+ ak2x2	+ + aknxn = 0:
>

:

В силу замечания 3 из лекции 4 эта система имеет по крайней мере одно ненулевое решение. Обозначим его через (c1; c2; : : : ; cn) и положим

ak+1 = c1b1 + c2b2 + + cnbn. В силу теоремы 2

a1ak+1 = c1a11 + c2a12 + + cna1n = 0

и аналогично a2ak+1 = = ak ak+1 = 0. Следовательно, a1; a2; : : : ; ak ; ak+1ортогональный набор ненулевых векторов. Если k + 1 = n, то он является ортогональным базисом пространства V . В противном случае, рассуждая так же, как выше, при построении вектора ak+1, мы дополним набор a1; a2; : : : ; ak+1 еще одним вектором ak+2 так, что набор

a1; a2; : : : ; ak+2 будет ортогональным набором ненулевых векторов. Продолжая этот процесс, мы через конечное число шагов построим ортогональный базис a1; a2; : : : ; ak ; ak+1; : : : ; an пространства V , являющийся расширением исходного набора векторов a1; a2; : : : ; ak .

Б.М.Верников

Лекция 18: Ортонормированный базис

Дополнение до ортогонального базиса (3)

Из теоремы 4 вытекает

Следствие 1

Любую ортонормированную систему векторов евклидова пространства можно дополнить до ортонормированного базиса этого пространства.

Доказательство. Все векторы ортонормированной системы ненулевые (поскольку их длины равны 1). В силу теоремы 4 нашу ортонормированную систему можно дополнить до ортогонального базиса. Разделим каждый из найденных при этом новых векторов на его длину. В силу замечания 1 из лекции 17 мы получим ортонормированный базис.

Б.М.Верников

Лекция 18: Ортонормированный базис