09 Подпространства

Проекция вектора на подпространство

Определение

Предположим, что V = M1 M2 и x 2 V . В силу теоремы 2 существуют однозначно определенные векторы x1 2 M1 и x2 2 M2 такие, что

x = x1 + x2. Вектор x1 называется проекцией x на M1 параллельно M2, а вектор x2 проекцией x на M2 параллельно M1.

Алгоритм нахождения проекции вектора на подпространство

Пусть V = M1 M2 и x 2 V . Предположим, что нам известны базис a1; a2; : : : ; ak подпространства M1 и базис b1; b2; : : : ; b` подпространства

M2. В силу замечания 7 a1; a2; : : : ; ak ; b1; b2; : : : ; b` базис пространства V . Найдем координаты вектора x в этом базисе. Пусть они имеют вид (t1; t2; : : : ; tk ; s1; s2; : : : ; s`). Тогда t1a1 + t2a2 + + tk ak проекция x на M1 параллельно M2, а s1b1 + s2b2 + + s`b` проекция x на M2 параллельно M1.

Обоснование этого алгоритма очевидно: если, в указанных обозначениях, y = t1a1 + t2a2 + + tk ak и z = s1b1 + s2b2 + + s`b`, то y 2 M1, z 2 M2 и x = y + z.

Б.М.Верников

Лекция 9: Подпространства

Проекция вектора на подпространство: пример (1)

В качестве примера применения алгоритмов, указанных на двух предыдущих слайдах, рассмотрим следующую задачу.

Задача. Проверить, что пространство R4 является прямой суммой подпространства M1, порожденного векторами a1 = (1; 1; 2; 1),

a2 = (2; 0; 3; 2), a3 = (1; 1; 1; 1), и подпространства M2, порожденного векторами b1 = (2; 1; 3; 2), b2 = (2; 2; 2; 1), b3 = (2; 0; 4; 3), и найти проекцию вектора x = (0; 2; 1; 3) на M1 параллельно M2.

Решение. Найдем размерность и базис подпространства M1:

02	0	3 21 00		2	1 01 00		2	1 01		:
1	1 2 1		1	1 2 1		1	1	2	1
@1	1	1 1A @0		2	1 0A @0		0	0	0A

Таким образом, dim M1 = 2, а в качестве базиса пространства M1 можно взять векторы a1 и a02 = (0; 2; 1; 0). Найдем теперь размерность и базис

подпространства M2:		1	1 11 00 1 1 11					:
02 2 2 11 00
2 1 3 2	2	1	3	2	2 1	3	2
@2 0 4 3A @0 1 1				1 A @0 0		0	0 A

Таким образом, dim M2 = 2, а в качестве базиса пространства M2 можно взять векторы b1 и b02 = (0; 1; 1; 1). Мы видим, в частности, что

dim M1 + dim M2 = 4.

Б.М.Верников

Лекция 9: Подпространства

Проекция вектора на подпространство: пример (2)

Найдем теперь размерность пространства M1 + M2:																																	1 00 2 1 0 1:
00 2 1 0							1 00							2 1 0						1 00 2 1											0
1	1 2 1						C					1		1 2 1						C				1	1 2						1		C				1		1 2 1				C
B2 1 3 2									B0					3 1 0								B0 0 1									0			B0 0 1 0
B0 1				1		1C				B0				1			1		1C B0 0										1			2C B0 0 0										2C
@							A @													A @													A @										A
Мы видим, что dim(M1 + M2) = 4. С учетом сказанного ранее, отсюда
вытекает, что R4 = M1 M2. Объединяя найденные ранее базисы
подпространств M1 и M2, получаем, что векторы a1, a20 , b1, b20 образуют
базис пространства R4. Разложим вектор x по этому базису:
		0 1 2 1 1											2 1 0					0 2 3 1									2 1				0		0 2 3 1							2 1
		B		1		0		2		0			0		B			1		0		2		0				0		B			1 0 2				0			0
				2 1 3 1									1 C					0 1 1 1									1 C						0 0 1 1							4 C
		B		1 0 2							1		3 C B					0 0 0							1		3 C			B			0 0 0					1		3 C
		@												A		@												A			@									A
		0 0 2 3					0			5 1				0 0 2 0						0			2	1				0 0 1 0 0							1		1		:
	B		1 0 2 0							0				B		1 0 0				0			2	C		B			1 0 0 0						2		C
			0 0 1 0							1 C						0 0 1				0			1						0 0 1 0						1
		B	0 0 0						1	3 C				B		0 0 0					1		3	C B					0 0 0 1							3 C
		@									A			@										A				@									A

Итак, x = 2a1 + a02 + b1 3b02. Следовательно, проекцией вектора x на M1 параллельно M2 является вектор 2a1 + a02 = ( 2; 4; 5; 2).

Ответ: ( 2; 4; 5; 2).

Б.М.Верников

Лекция 9: Подпространства

¾Дополняющее¿ подпространство (1)

В дальнейшем нам пригодится следующее утверждение

Предложение 2

Для произвольного подпространства M векторного пространства V существует такое подпространство M0 в V , что V = M M0 .

Доказательство. Ясно, что если M = f0g, то в качестве M0 можно взять V , а если M = V , то достаточно положить M0 = f0g. Пусть теперь

f0g M V . Положим dim V = n и dim M = k. В силу сказанного

0 < k < n. Пусть a1; a2; : : : ; ak базис M. В силу теоремы 3 из лекции 8 существуют векторы ak+1; : : : ; an такие, что векторы a1; a2; : : : ; an образуют базис V . Положим M0 = hak+1; : : : ; ani. Проверим, что нулевой вектор единственным образом представим в виде суммы вектора из M и вектора из M0 . Существование такого представления очевидно, поскольку

0 = 0 + 0 (см. замечание 1). Предположим теперь, что 0 = x + y, где x 2 M, а y 2 M0 . Тогда

x = t1a1 + t2a2 + + tk ak и y = tk+1ak+1 + + tnan:

Следовательно, 0 = x + y = t1a1 + t2a2 + + tnan. Поскольку a1; a2; : : : ; anбазис пространства V , получаем, что t1 = t2 = = tn = 0. Но тогда

x = 0 и y = 0. Итак, вектор 0 единственным образом представим в виде суммы вектора из M и вектора из M0 . В силу теоремы 2 M + M0 = M M0 .

Б.М.Верников

Лекция 9: Подпространства

¾Дополняющее¿ подпространство (2)

Осталось доказать, что M + M0 = V . Пусть a произвольный вектор из V . Разложим его по базису a1; a2; : : : ; an: a = q1a1 + q2a2 + + qnan.

Положим b = q1a1 + q2a2 + + qk ak и c = qk+1ak+1 + + qnan. Тогда b 2 M, c 2 M0 и a = b + c. Следовательно, V M + M0 . Обратное

включение очевидно, и потому M + M0 = V .

Б.М.Верников

Лекция 9: Подпространства