06 Крамеровские СЛУ

Следствия 3 и 4

Из теоремы Крамера и следствий 1 и 2 непосредственно вытекает

Следствие 3

Крамеровская система линейных уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда 6= 0.

Следствие 4

Крамеровская однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Доказательство. В силу замечания 1 из лекции 3 любая однородная система совместна. Поэтому если = 0, то в силу следствия 3 наша система имеет более одного решения. Ясно, что все эти решения, кроме одного, ненулевые. Обратно, если крамеровская однородная система имеет ненулевое решение, то она имеет более одного решения (так как нулевое решение у нее есть всегда). Но тогда = 0 в силу теоремы Крамера.

Б.М.Верников

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений

Пример применения теоремы Крамера (1)

Теорема Крамера часто используется при решении задач, которые на первый взгляд никак не связаны с системами линейных уравнений. Приведем пример такой задачи.

Задача. Найти многочлен f (x) степени 3 такой, что f (1) = 0, f ( 1) = 4, f (2) = 2 и f ( 2) = 6.

Решение. Пусть f (x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0. Тогда:

	f (1) = a3 + a2 + a1 + a0;															f ( 1) = a3 + a2 a1 + a0;
	f (2) = 8a3 + 4a2 + 2a1 + a0; f ( 2) = 8a3 + 4a2 2a1 + a0:
Получаем крамеровскую систему линейных уравнений:																																				(4)
							8		a3			+		a2			a1		+ a0			= 4;
							>			a3		+		a2		+	a1		+ a0			=		0;
										8a3 + 4a2 + 2a1 + a0 = 2;
							>
							<
							>	8a3 + 4a2 2a1 + a0 = 6:
							:
Подсчитаем			определитель системы (4) методом приведения матрицы к
							>
треугольному виду:							= 0 2 0 2									=	0 2 0 2 =								0 2 0 2
=	11 1 1 1																																			= :
		1	1		1				1	1		1		1				1 1		1		1				1 1			1					1
											4		6								6									6						72
	8 4 2 1						0								7		0 0						3		0 0									3
		8 4
				2 1			0 12 6 9										0 0 6						3		0 0 0									6

Б.М.Верников

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений

Пример применения теоремы Крамера (2)

В частности, 6= 0, и потому мы можем применять теорему Крамера. Найдем определители 1, . . . , 4:

=		4 1			1 1		=		1		0		1		1		1		=		1			0		1	1			1			=
		0	1	1		1						4	1			1 1									4 1				1	1
1			4									0	9	3											0	0			6
									4												4
		2		2		1											3														6
		6	4									0	11												0	0
					2 1											7 5												18			6

4 1 1 1

				1					0	1		1	1
		= 4							0 0 6 6							= 72;
										0		0
				1				00		1 1					1	0 1 1												1 0 1					1
	2	=			1				4		1 1		=	0			4 0 2						=	1			0			4 0			2			=
																			6				4									12
				8 2 2 1										0 2							7						0 0							12
					8 6
											2 1			0 6 6 9													0 0 12 24

1 0 1 1

	1		0	4	0	2
=			0	0	12 12			= 144;
	4
			0	0	0	12

Б.М.Верников

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений

Пример применения теоремы Крамера (3)

=		11 1			4 1		=	0 2					4 2				=	0 2 4				2			=
			1	0		1			1	1		0		1					1 1	0		1
3																					6
		8 4		2		1		0			4 2				7			0 0					3
			8 4	6
						1		0 12 6						9				0 0 30					3

1 1 0 1

=	0 0	6	3		= 216;
	0 2	4	2

0 0 0 18

=			1 1			1	04 =		0 2			0		4 =		0 2 0					4 =
		1		1	1				1	1		1		0			1 1	1		0
4											4								6
		8		4	2		2		0				6 2			0 0					6
			8 4			2	6							6
									0 12 6							0 0 6				30

1 1 1 0

=	0 0 6 6				=		288:
	0 2	0	4
	0 0	0	24

Б.М.Верников

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений

Пример применения теоремы Крамера (4)

В силу теоремы Крамера имеем:

a3	= 1	=	7272	= 1; a2	= 2	= 14472 = 2;
a1	= 3	= 21672 = 3; a0			= 4	=	72288	= 4:

Ответ. f (x) = x3 + 2x2 + 3x 4.

Б.М.Верников

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений