12. Векторное произведение векторов

Вычисление векторного произведения в координатах (в правом ортонормированном базисе)

Предположим теперь, что (~e1,~e2 ,~e3 ) правый ортонормированный базис. Используя равенства (1), получаем, что формула (2) приобретает вид

~x × ~y = (x2 y3 − x3 y2 )~e1 − (x1 y3 − x3 y1 )~e2 + (x1 y2 − x2 y1 )~e3.							(3)
Правую часть этого равенства удобно представлять как результат
разложения по первой строке символического определителя
	~e2	~e3
~e1
	x2	x3
x1				.
	y2	y3
y1
С учетом этой договоренности, окончательно имеем
	~e1 ~e2 ~e3
~x × ~y =			x2		x3		(4)
	x1					.
			y2		y3
	y1

§ 12. Векторное произведение векторов

Приложениявекторногопроизведения(1)

~	~	~	, x2	, x3 ) и
Пусть (b1	, b2	, b3) правый ортонормированный базис, а (x1

(y1 , y2 , y3 ) координаты векторов ~x и ~y в этом базисе соответственно. Используя векторное произведение, можно

1)вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах ~x и ~y: из геометрического смысла векторного произведения и формулы

(3) вытекает, что

p

S = (x2 y3 − x3 y2 )2 + (x1 y3 − x3 y1 )2 + (x1 y2 − x2 y1 )2;

(5)

2)вычислить синус угла между ненулевыми векторами ~x и ~y : из определения векторного произведения и формулы (3) вытекает, что

x2 y3

− x3 y2 )2 + (x1 y3

− x3 y1 )2 + (x1 y2 − x2 y1 )2

sin(~x, ~y ) = p(

p

p

.

2

2

2

·

2

2

2

d

x1

+ x2

+ x3

y1

+ y2

+ y3

§ 12. Векторное произведение векторов

Приложениявекторногопроизведения(2)

Наряду с формулой (5), можно указать еще одну формулу для вычисления площади параллелограмма. Предположим, что мы знаем только координаты векторов, на которых построен параллелограмм, в базисе той плоскости, в которой эти векторы лежат. А именно, пусть параллелограмм построен на неколлинеарных векторах ~x и ~y , а (~e1,~e2) ортонормированный базис плоскости π, в которой лежат ~x и ~y . Обозначим координаты векторов ~x и ~y в базисе (~e1,~e2) через (x1 , x2 ) и (y1 , y2 ) соответственно. Пусть ~e3 вектор единичной длины, перпендикулярный плоскости π и направленный так, что (~e1 ,~e2,~e3 ) правая тройка векторов. Ясно, что эта тройка образует правый ортонормированный базис пространства, в котором векторы ~x и ~y имеют координаты (x1, x2 , 0) и (y1 , y2 , 0) соответственно. В силу (4) имеем

y1

y2

~e1

~e2

~e3

~x × ~y =

y1

y2

0

= 0, 0,

x1

x2

.

x1

x2

0

Учитывая геометрический

смысл смешанного произведения, имеем

x2

x1

S = mod

y2

(6)

y1

(символом mod мы обозначили модуль определителя, поскольку стандартное обозначение модуля числа было бы здесь неудобочитаемым).

§ 12. Векторное произведение векторов