ИДЗ Векторная алгебра

4. Установить, какая линия определяется уравнением x = −4 + y − 2 . Построить

эту линию.

5. Определить тип поверхности, заданной уравнением

4x2 + y2 − 4z2 −8x + 2y + 9 = 0 и построить эту поверхность.

6. Составить уравнения прямой, если она проходит через точку M (− 4,− 5,3)

и

пересекает две прямые

x +1

=

y + 3

=

z − 2

и

x − 2

=

y +1

=

z −1

.

2

3

3

− 2

−1

− 5

1. Найти координаты

точки A , принадлежащей прямой 3x − y + z − 4 = 0,

и рав-

x − y + 6 = 0

ноудаленной от точек

B(5;0;1)

и C(2;4;8).

2. К окружности (x +1)2 + (y − 2)2 = 25

проведена касательная, составляющая угол

α = 450 с прямой AB , где A(−1;2), B(4;7). Написать уравнение касательной.

3. Составить уравнение гиперболы, если даны ее фокусы F1 (3;−1), F2 (7;−1)

и

длина мнимой полуоси, равная 1. Какой угол образуют асимптоты гиперболы с осью ординат?

4. Установить, какая линия определяется уравнением	y = −2 −	4 − x	. Построить
эту линию.
5. Определить тип поверхности, заданной уравнением 4x2	+ 4y2 − z2 + 8x −16y + 4 = 0 ,

и построить эту поверхность.

6. Найти проекцию точки C (3,− 4,− 2) на плоскость, проходящую через параллельные прямые x13− 5 = y 1− 6 = z−+43 и x13− 2 = y 1− 3 = z−+43 .

1.Найти координаты точки Q , симметричной точке P(0;1;5) относительно пря-

мой AB , если A(5;3;−1),B(7;0;0)

2.К окружности (x − 2)2 + (y −3)2 = 4 проведена касательная, составляющая угол

α = 300 с прямой AB , где A(5;1), B(5;9). Написать уравнение касательной.

3. Составить уравнение эллипса, если заданы точка A(2;6) эллипса и его фокусы

F1(2;−4), F2 (2;4).

4. Установить, какая линия определяется уравнением y =3+ 4x2 +4x+1. По-

строить эту линию.

5. Определить тип поверхности, заданной уравнением x2 + 4y2 + 4x − 8y − 4z + 8 = 0 и построить эту поверхность.

6. Составить уравнения прямой, проходящей через точку M (0,2,1) и образую-

щей равные углы с векторами
		a = (1,2,2), b	= 3i	, c = 3k .
1. Найти угол между	прямой	DB и проекцией прямой DA на плоскость ABC ,
если A(4;1;−1), B(1;1;1),C(0;2;1), D(6;0;1)

11

2.К окружности (x + 3)2 + (y − 2)2 =16 проведена касательная, составляющая угол

α= 600 с прямой AB , где A(4;0), B(4;6). Написать уравнение касательной.

3.Составить уравнение эллипса, если его малая полуось равна 3, а фокусы расположены в точках F1 (0;2), F2 (10;2) .

4. Установить, какая линия определяется уравнением y = −5− 1− 2x + x2 . По-

строить эту линию.

5. Определить тип поверхности, заданной уравнением x2 − 4y2 − 4x −16y − 4z −12 = 0 , и построить эту поверхность.

6. Треугольник ABC образован пересечением плоскости x + 2y + 4z − 8 = 0 с координатными плоскостями. Найти уравнения средней линии треугольника, параллельной плоскости Oxy .

x + 4y − 2z − 2 = 0,

1. Найти координаты точки A , принадлежащей прямой и рав-

2x − z = 0

ноудаленной от точек B(4;1;2) и C(0;0;3).

2. К окружности (x −1)2 + (y − 5)2 = 25 проведена касательная, составляющая угол α = 450 с прямой AB , где A(−1;1), B(3;5) . Написать уравнение касательной.

3. Точка A(2;0) принадлежит гиперболе, точки F1 (1;0), F2 (5;0) ─ ее фокусы. Со-

ставить уравнение гиперболы и выяснить какой угол образуют ее асимптоты с осью ординат.

4. Установить, какая линия определяется уравнением x = −3+ 4 − 4y + 2y2 . Построить эту линию.

5. Определить тип поверхности, заданной уравнением x2 + 4y2 − 24y + 20 = 0 , и построить эту поверхность.

6. В плоскости Oyz найти прямую, проходящую через начало координат и пер-
пендикулярную прямой 2x − y = 2,
	y + 2z = −2.
1. Написать уравнения	проекций прямой − 2x + y − z + 2 = 0,	на координатные
	x + 2y + 3z − 5 = 0

плоскости.

2. К окружности (x + 4)2 + y2 =1 проведена касательная, составляющая угол α = 600 с прямой AB , где A(0;1), B(4;1). Написать уравнение касательной.

3. Составить уравнение параболы, если ее фокус F (4;3)	и уравнение директри-
сы y + 2 = 0 .
4. Установить, какая линия определяется уравнением	x = 1+		. Построить
		y − 2
эту линию.

12

5. Определить тип поверхности, заданной уравнением x2 − 4y2 − 6x − 7 = 0 , и построить эту поверхность.

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плос-

костей 2x − y −12z − 3 = 0, 3x + y − 7z − 2 = 0		и перпендикулярной плоскости
x + 2y + 5z −1 = 0 .
1. Написать уравнения	проекций прямой	3x − 2y − z +1 = 0,	на координатные
		− x + y − 3z + 4 = 0

плоскости.

2. К окружности x2 + (y − 5)2 = 25 проведена касательная, составляющая угол α = 300 с прямой AB , где A(5;4), B(7;4). Написать уравнение касательной.

3. Составить уравнение эллипса, если точки F1 (2;3), F2 (2;7) ─ его фокусы, и эллипс проходит через точку A(2;2) .

Составить уравнение эллипса с фокусами F1(2;3), F2 (2;7), проходящего через точку A(2;2).

4.Установить, какая линия определяется уравнением y = 4 − 4x2 − 8x . Построить эту линию.

5.Определить тип поверхности, заданной уравнением y2 − 4x −8y + 28 = 0, и по-

строить эту поверхность.

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей (1+ 2)x + 2y + 2z − 4 = 0, x + y + z +1= 0, и образующей с координатной

плоскостью XOY угол 60°.

1.Найти координаты точки Q , симметричной точке P относительно плоскости

ABC , если P(− 3;4;0), A(1;1;0), B(6;8;0),C(7;1;3).

2.К окружности (x −3)2 + (y −1)2 = 4 проведена касательная, составляющая угол

α = 450 с прямой AB , где A(4;1), B(5;1) . Написать уравнение касательной.

3. Составить уравнение гиперболы, если даны ее фокусы F1 (−3;4), F2 (−3;10) и

длина мнимой полуоси, равная 1. Какой угол образуют асимптоты гиперболы с осью ординат?

4. Установить, какая линия определяется уравнением y = 4 − 2 − 2x + x2 . Постро-

ить эту линию.

5. Определить тип поверхности, заданной уравнением

4x2 + y2 +16z2 −8x − 4y − 96z +151= 0, и построить эту поверхность.

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей x + 2y + 3z − 5 = 0, 3x − 2y − z +1 = 0 и отсекающей равные отрезки на осях

Ox и Oz .

13

1.Найти координаты точки Q , симметричной точке P(2;2;2) относительно пря-

мой AB , если A(4;0;3),B(1;4;10).

2.К окружности (x − 2)2 + (y − 3)2 =16 проведена касательная, составляющая угол

α = 450 с прямой AB , где A(8;0), B(1;−7). Написать уравнение касательной.

3. Точка A(1;1) принадлежит гиперболе, точки F1 (0;1), F2 (−8;1) ─ ее фокусы. Со-

ставить уравнение гиперболы и выяснить какой угол образуют ее асимптоты с осью ординат.

4. Установить, какая линия определяется уравнением y = 3 − 5x − x2 + 1 . По-

строить эту линию.

5. Определить тип поверхности, заданной уравнением

4x2 + y2 + 4z2 −8x − 4y + 8z +16 = 0, и построить эту поверхность.

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей x + y + 5z −1 = 0 , 2x + 3y − z + 2 = 0 и через точку M0 (3,2,1).

1.Найти угол между прямой DB и проекцией прямой DA на плоскость ABC ,

если A(1;−1;0), B(4;3;4),C(0;0;2),D(7;0;0).

2.К окружности (x −1)2 + (y +1)2 = 4 проведена касательная, составляющая угол

α = 300 с прямой AB , где A(5;3), B(0;3). Написать уравнение касательной.

3. Составить уравнение эллипса, если его малая полуось равна 2, а фокусы расположены в точках F1 (−1;3), F2 (5;3) .

4. Установить, какая линия определяется уравнением x = −2 + 3y + y2 − 2 . По-

строить эту линию.

5. Определить тип поверхности, заданной уравнением 9x2 + 4y2 − 54x + 32y +125 = 0, и построить эту поверхность.

6. Составить канонические уравнения прямой, которая проходит через точку

	M0 (3,− 2,− 4)				параллельно плоскости 3x − 2y − 3z − 7 = 0 и			пересекает прямую
	x − 2	=	y + 4	=	z −1	.
3					2
			− 2
1. Найти координаты							точки A , принадлежащей прямой	2x + y + 4z − 2 = 0,	и
								2x − y − 4z − 2 = 0

равноудаленной от точек B(8;0;0) и C(− 4;−1;3).

2. К окружности (x + 3)2 + (y −1)2 = 25 проведена касательная, составляющая угол α = 450 с прямой AB , где A(7;4), B(3;0). Написать уравнение касательной.

3. Составить уравнение гиперболы, если даны ее фокусы F1 (5;4), F2 (5;−4) и длина действительной полуоси, равная 2. Какой угол образуют асимптоты гиперболы с осью ординат?

14

4. Установить, какая линия определяется уравнением y = 2 + x2 − 2x + 4 . Постро-

ить эту линию.

5. Определить тип поверхности, заданной уравнением

25x2 + 4y2 −100z2 −150x + 8y + 229 = 0, и построить эту поверхность.

6. Составить уравнения проекций линии пересечения плоскостей 2x − y + 3z −1 = 0 и 2x + y − z +1 = 0 на координатные плоскости.

1. Написать уравнения проекций прямой

плоскости.

4x − y + z − 3 = 0,		на координатные
	+ y + z +1 = 0
x

2.К окружности x2 + y2 =1 проведена касательная, составляющая угол α = 600 с прямой AB , где A(5;0), B(5;2). Написать уравнение касательной.

3.Составить уравнение параболы, если ее фокус F (2;0) , а вершина A(2;−2) .

4.Установить, какая линия определяется уравнением x = −1− − y2 +1 . Построить эту линию.

5. Определить тип поверхности, заданной уравнением x2 − 4y2 − 2x − 24y −16z − 35 = 0, и построить эту поверхность.

6. Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоско-

сти 2x − y + 3z −1 = 0 с прямыми x + y − z − 2 = 0,	и	x − 2	=	y +1		=	z −1	.
y − 4z + x − 2 = 0		2		3			−1

1. Найти координаты точки Q , симметричной точке P(4;−1;2) относительно пря-

мой AB , если A(3;5;0),B(7;−1;−2).

2.	К окружности (x −1)2 + y2 = 36 проведена касательная, составляющая угол
α = 450 с прямой AB , где A(9;3), B(4;8). Написать уравнение касательной.
3.	Точка A(3;2) принадлежит гиперболе, точки F1 (0;2), F2 (4;2) ─ ее фокусы.

Составить уравнение гиперболы и выяснить какой угол образуют ее асимптоты с осью ординат.

4.Установить, какая линия определяется уравнением y = −3− x2 − 2 . Построить эту линию.

5.Определить тип поверхности, заданнойуравнением 4x2 + 4y2 − z2 − 24x + 4y + 44 = 0, и построить эту поверхность.

6. Определить угол между прямой x + y − z + 2 = 0,			и плоскостью, проходящей
	y + 4z − 3 = 0
через точку A(4,−1,0)	перпендикулярно прямой	x + 4	=	y − 2	=	z −1
							.
		5		4		1
1. Найти угол между	прямой DB и проекцией прямой DA на плоскость ABC ,
если A(2;1;1), B(5;0;3),C(3;−1;0), D(0;0;8).

15

2. К окружности (x = 5)2 + (y − 6)2 =1 проведена касательная, составляющая угол

α = 300 с прямой AB , где A(2;0), B(2;9). Написать уравнение касательной.
3. Составить уравнение эллипса, если точки F1 (4;5), F2 (4;−7)	─ его фокусы, и
эллипс проходит через точку A(4;7) .
4. Установить, какая линия определяется уравнением y = 4 +		4x − 2x2 + 3 . По-

строить эту линию.

5. Определить тип поверхности, заданной уравнением x2 + 4y2 − 4z2 − 4x +8y −8 = 0, и

построить эту поверхность.
6.		Составить				уравнение плоскости, проходящей перпендикулярно прямой
	x + 4		=	y −10	=	z −1	на расстоянии			от точки A(2,3,− 5).
									14
3		2				−1
1.		Написать уравнения						проекций прямой 2x + y − 2z + 2 = 0, на координатные
										2x − y + 3z −1 = 0
плоскости.
2. К окружности (x −1)2 + (y −1)2 = 4									проведена касательная, составляющая угол

α = 600 с прямой AB , где A(3;−1), B(−3;−1). Написать уравнение касательной.

3.Составить уравнение эллипса, если его малая полуось равна 1, а фокусы расположены в точках F1 (3;2), F2 (3;−4).

4.Установить, какая линия определяется уравнением y = 5 + 5+ 5x + x2 . Постро-

ить эту линию.

5. Определить тип поверхности, заданной уравнением

9x2 + 4y2 − 36x −16y − 36z + 52 = 0, и построить эту поверхность.

6.

Составить

уравнение

плоскости, проходящей параллельно прямым

x − 2

=

y +1

=

z −1

и

x − 3

=

y +1

=

z +1

на равном расстоянии от них.

4

3

2

3

1

1

1.

Найти координаты

точки

A, принадлежащей прямой − x + 3y + 2z − 6 = 0,

и

x − y + 3z + 2 = 0

равноудаленной от точек

B(− 3;0;1) и C(2;1;3).

2. К окружности (x −1)2 + (y − 4)2 =16 проведена касательная, составляющая угол α = 450 с прямой AB , где A(4;8), B(0;4). Написать уравнение касательной.

3. Составить уравнение гиперболы, если даны ее фокусы F1 (2;4) , F2 (2;−2) и

длина действительной полуоси, равная 2. Какой угол образуют асимптоты гиперболы с осью ординат?

4. Установить, какая линия определяется уравнением x = 6 − y2 − 2y +10 . Построить эту линию.

16

A(0;1;0),B(10;−3;4),C(3;3;5)

5. Определить тип поверхности, заданной уравнением 4x2 − y2 +16x − 4y + 8 = 0, и построить эту поверхность.

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Ox и проекцию точки B(2,− 3,6) на плоскость 2x + y − z +1 = 0.

1. Найти координаты точки Q, симметричной точке P(7;1;5) относительно плоскости ABC если

	(x +1)2 + (y −1)2 = 4
2. К окружности		проведена	касательная, составляющая угол

α = 300 с прямой AB , где A(−3;−1), B(5;−1). Написать уравнение касательной.

3. Найти координаты фокуса параболы, если ее вершина A(6;−3) , уравнение директрисы параболы 3x − 5y +1= 0 .

4.	Установить, какая линия определяется уравнением			x = −3+					5+10y + 5y2 . По-
строить эту линию.
5.	Определить тип поверхности, заданной уравнением 9x2 + 4y2 − 54x + 45 = 0 и
построить эту поверхность.
6.	Найти уравнения проекции прямой	x − 4	=	y +1		=	z		на плоскость
		3		− 2
						4

x − 3y − z + 8 = 0 .

1.Найти угол между прямой DB и проекцией прямой DA на плоскость ABC ,

если A(1;0;2),B(4;5;6),C(− 2;−1;0), D(10;−5;1)

2.К окружности (x − 2)2 + (y − 2)2 = 4 проведена касательная, составляющая угол

α = 450 с прямой AB , где A(0;8), B(−3;5). Написать уравнение касательной.

3. Составить уравнение гиперболы, если даны ее фокусы F1 (4;−3), F2 (4;1) и дли-

на мнимой полуоси, равная 1. Какой угол образуют асимптоты гиперболы с осью ординат?

4.Установить, какая линия определяется уравнением y =1− 1− 4x2 . Построить эту линию.

5.Определить тип поверхности, заданной уравнением 9x2 − y2 + 6y − 45 = 0, и построить эту поверхность.

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую x2−1 = y +3 2 = z 1+1

и основание перпендикуляра, опущенного из точки P(4,6,8) на плоскость Oyz.

17

1. Найти координаты точки Q, симметричной точке P(1;5;4) относительно пря-

мой AB , если A(1;8;0), B(2;2;3)

2. К окружности (x − 4)2 + (y +1)2 =1 проведена касательная, составляющая угол α = 450 с прямой AB , где A(5;7), B(3;5) . Написать уравнение касательной.

3. Составить уравнение эллипса, если точки F1 (1;0), F2 (1;5) ─ его фокусы, и эллипс проходит через точку A(1;1).

Составить уравнение эллипса с фокусами F1(1;0), F2 (1;5), проходящей через точку A(1;1). Какой угол образуют асимптоты гиперболы с осью ординат?

4.Установить, какая линия определяется уравнением x = − 8 + y2 + y . Построить эту линию.

5.Определить тип поверхности, заданной уравнением x2 −8x − 6y + 22 = 0, и построить эту поверхность.

6.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A(2,3,− 5) и B(1,0,4)

перпендикулярно плоскости Oxy .

1. Написать уравнения	проекций	прямой x + 2y − z −1 = 0,	на координатные
		x − 3y + 2z +1 = 0
плоскости.
2. К окружности (x +1)2 + (y − 3)2 = 36		проведена касательная, составляющая угол
α = 450 с прямой AB , где A(2;4), B(5;7). Написать уравнение касательной.
3. Точка A(2;0) принадлежит гиперболе, точки F1 (1;0), F2 (4;0)			─ ее фокусы. Со-

ставить уравнение гиперболы и выяснить какой угол образуют ее асимптоты с осью ординат.

4. Установить, какая линия определяется уравнением x = 2 + 2y2 − 4y . Построить эту линию.

5. Определить тип поверхности, заданной уравнением 3x2 + 2y2 + 6z2 +18x − 4y + 20 = 0, и построить эту поверхность.

6. Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоско-

сти x − 3y + 2z +1 = 0 с прямыми

x − 5

=

y +1

=

z − 3

и

x − 3

=

y + 4

=

z − 5

.

− 2

4

− 6

5

−1

2

1. Найти координаты точки

A, принадлежащей прямой

3x + 5y − z = 0,

и рав-

и C(4;3;0).

x + 2y − z −1 =

0

ноудаленной от точек B(1;1;1)

2. К окружности (x + 3)2 + y2 = 9

проведена касательная, составляющая угол

α = 450 с прямой AB , где A(3;5), B(0;8). Написать уравнение касательной.

18

3. Составить уравнение гиперболы, если даны ее фокусы F1 (5;4), F2 (5;0) и дли-

на мнимой полуоси, равная 1. Какой угол образуют асимптоты гиперболы с осью ординат?

4. Установить, какая линия определяется уравнением x = −7 + 1− y − 4y2 . По-

строить эту линию.

5. Определить тип поверхности, заданной уравнением

25x2 +100y2 + 4z2 + 50x + 400y + 525 = 0, и построить эту поверхность.

6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(1,2,7) параллельно плоскости Oxy и пересекающей ось Oz .

1. Найти координаты точки Q, симметричной точке P относительно плоскости

ABC , если P(3;2;5), A(2;4;1),B(− 3;5;0),C(1;2;1).

2. К окружности (x + 2)2 + (y −1)2 =1 проведена касательная, составляющая угол α = 600 с прямой AB , где A(5;5), B(3;5). Написать уравнение касательной.

3.Составить уравнение эллипса, если его малая полуось равна 2, а фокусы расположены в точках F1 (−2;−4), F2 (−2;2) .

4.Установить, какая линия определяется уравнением y = 6 −10x + 5x2 . Построить эту линию.

5. Определить тип поверхности, заданной уравнением	16x2 − 9y2 − 64x −36y + 28 = 0,
и построить эту поверхность.
6. Определить угол между прямой x + y + z − 2 = 0,	и плоскостью, проходящей
2x + y − z −1 = 0
через точки A(1,1,1), B(2,0,2), C (2,2,2).

1.Найти координаты точки Q, симметричной точке P относительно плоскости

ABC , если P(4;0;1), A(1;2;3),B(0;1;3),C(−1;−3;1).

2.К окружности (x −1)2 + (y − 4)2 = 25 проведена касательная, составляющая угол

α = 450 с прямой AB , где A(0;3), B(4;−1). Написать уравнение касательной.

3. Точка A(2;2) принадлежит гиперболе, точки F1 (2;5), F2 (2;1) ─ ее фокусы. Со-

ставить уравнение гиперболы и выяснить какой угол образуют ее асимптоты с осью ординат.

4. Установить, какая линия определяется уравнением x = 4 + 5− y . Построить

эту линию.

5. Определить тип поверхности, заданной уравнением

25x2 − 9y2 −100x + 54y − 225z +19 = 0, и построить эту поверхность.

6. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точки (1,0,0) и (0;1;0)

и образует угол 45 с прямой	x − 4	=	y + 3	=	z			.
	1		1
					2

19

1.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике/Д.Т. Письменный. Ч.1. М.: Айрис-пресс, 2003. 288 с.

2.Краснов М.Л. Вся высшая математика/М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. Ч.1. М.: Эдиториал УРСС, 2001. 352 с.

3.Высшая математика/Под ред. Г.Н. Яковлева. М.: Высшая школа, 2004. 584 с.

4.Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии/Д.В. Клетеник: уч.пособие для втузов. 17-е изд. СПб.: Изд-во «Профессия», 2003. 200 с.

5.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах/П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова: Ч. 1. М.: Изд-во «Оникс 21 век», 2005. 416 с.

6.Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа/ под ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича. М.: Наука, 1996. 464 с.

7.Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. Т.1. С-Птб. Изд-во «Политехника», 2003. 476 с.

20