ИДЗ 2_определенные интегралы

Вариант 1

1

4

dx

a

1. Вычислить интегралы:

а)

ln(x 1)dx;

б)

;

в)

x2

a x2 dx .

1

0

0

2x 1

0

2. Найти среднее значение функции

f (x) x2

на отрезке 0,1 .

2

dx

3. Оценить интеграл

.

10 3cos

3

0

x

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x 2y2,

x 1 3y2 .

5. Вычислить площадь фигуры, лежащей вне круга a и ограниченной кривой 2acos3 .

6. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями

y 1 2 x,

y 2,

x 0,

а) вокруг оси Oy ,

б) вокруг оси Ox .

7.

Вычислить длину одной арки циклоиды x a t sint ,

y a 1 cost .

Вариант 2

2

4

2 dx;

dx

3

dx

1.

Вычислить интегралы:

а)

x3ex

б)

;

в)

.

1

2

1 1 x2 3

1

1

x

2.

Найти среднее значение функции

f (x) sin2

x

на отрезке 0, .

10

x

1

3.

Оценить интеграл

dx .

3

2

8

x

4.

Вычислить площадь фигуры, заключенной между параболой

y x2

2x 3, касательной к ней в

точке M 2, 5 и осью ординат.

5.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностью a, кардиоидой

a 1 cos и

a

содержащей точку с декартовыми координатами

,0 .

2

6.

Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями

y sinx,

x

,

y 0 ,

а) вокруг оси Ox ,

б) вокруг оси Oy .

2

7.

Вычислить длину астроиды x a cos3 t,

y a sin3 t .

1.

Вычислить интегралы:

Вариант 3

12

4

2

4

lncos

x

2x 1

x

а)

dx ;б)

dx;

в)

8

dx .

2

4

0

cos

x

4

x

2

x

2

2.

Найти среднее значение функции

f (x) a bcosx

на отрезке , .

1

2

3.

Оценить интеграл

3 x

dx.

7

1

8 x

4.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y2 10x 25,

y2 6x 9 .

5.Вычислить площадь одного лепестка кривой 4sin2 .

6.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной полукубической параболой

y2 x3 , осью Ox и прямой x 1,	а) вокруг оси Ox
б) вокруг оси Oy .
7. Найти длину дуги кривой x t2	2 sint 2t cost,	y 2 t2 cost 2t sint , заключенной
между точками, соответствующими значениям параметра t1 0,			t2 .

Вариант 4

												29		3 x 2 2						2
																							2
					3		xsin			x												4 x
1.	Вычислить интегралы:			а)							dx;	б)							dx;	в)				dx .
							2															4
							cos			x		3 3 3 x 2 2								1		x
					3									на отрезке 1, 5 .
2.	Найти среднее значение функции f (x) 3x2											2x 1
		2	2	3	1			1
3.	Оценить интеграл			x		dx			.
				5
	5		1	x	1		2

4.Найти площадь фигуры, лежащей выше оси Ox и ограниченной линиями y2 4x , y 2x 4 .

5.Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли 2 a2 cos2 и лежащей

внутри окружности a .

2

6. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями

x2 y2 a2,	x 2a, а) вокруг оси Ox ,		б) вокруг оси Oy .
7. Найти длину дуги кривой x et cost,		y et	sint , заключенной между точками,
соответствующими значениям параметра t1 0,			t2 ln .

Вариант 5

			2																1
								ln5																1 x2
										x			x
			4						e			e		1
	1.	Вычислить интегралы: а) sin				x	dx; б)								dx;		в)									dx .
											x													x	2
			0					0			e	3
																			2			2
	2.	Найти среднее значение функции			f (x) cos3 x			на отрезке 0, .
		3
	3.	Оценить интеграл	3 x3 dx .
		1															x2
	4.	Найти площадь фигуры, заключенной между параболами y 4x2 ,														y			и прямой y 2.
																9

5.Вычислить площадь четырехлепестковой розы asin4 .

6.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями

y x2 1,

x 1,

x 1,

y 0,

а) вокруг оси Ox ,

б) вокруг оси Oy .

7.

Вычислить длину дуги кривой x 8at3,

y 3a 2t2

t4 ,

заключенной между точками,

соответствующими значениям параметра t1 0,

t2

.

2

Вариант 6

1

ln2

2a

arcsin x

x2

a2

1.

Вычислить интегралы:

а)

dx ;

б)

ex 1dx;

в)

dx .

x

4

0

1 x

0

a

2.

Найти среднее значение функции

f (x) 10 2sin x 3cosx

на отрезке 0, 2 .

2

2

5

3.

Оценить интеграл

x

dx .

5

0

x

2

4.

Найти площадь фигуры, заключенной между линиями y 2x,

y 2 2x , x 0,

y 2.

5.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми 2cos ,

1 (вне круга

1).

6.

Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями

x2 y2 1,

y 0,

y

3x

,

а) вокруг оси Ox ,

б) вокруг оси Oy .

2

7.

Найти длину дуги кривой x 8sint 6cost,

y 6sint 8cost ,

заключенной между точками,

соответствующими значениям параметра t

0,

t

2

.

1

2

Вариант 7

										1														5																		2											x2dx
																											xdx																2
1.	Вычислить интегралы:						а)			x 1 e xdx ;												б)												;			в)																					.
										0														1			4x 5															0									2 x2 3
2.	Найти среднее значение функции																f (x) 3x 2x 3 на отрезке 0, 2 .
			3
3.	Оценить интеграл		ex2 x dx .
			1																																						y x, y 2x x 0 ,.
4.	Найтиплощадь фигуры, заключенноймеждулиниями y x3,
5.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностью a, кардиоидой a 1 cos																																																														и
				a
содержащей точку M							,0			.
			2
6.	Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями
x2 y2 4,		y 2,	x 0,							а) вокруг оси Oy ,																		б) вокруг оси Ox .
	Вычислить длину дуги полукубической параболы x t																																				2		,			y		2						t	3
7.																																																					,		заключенной между точками,
																																												3
соответствующими значениям параметра t1 0,																									t2 2								2		.
																						Вариант 8
																																	12																							6
																																																													2
										2																													x 4																					x
1.	Вычислить интегралы:						а)					x2 sin xdx;																			б)															dx;												в)			9	dx.
																																									x																				4
										0																							5																							3				x
2.	Найти среднее значение функции f (x)																							на отрезке												0,100 .
																						x
			1
								1 x4
3.	Оценить интеграл													dx .
			0					4 5x3
4.	Найти площадь фигуры, заключенной между линиями x y																																							2		,			x							3		y	2	1.
																																																			4
5.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностью a, кардиоидой a 1 cos																																																														и
			3
содержащей точку M							a, 0 .
			2
6.	Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y ex,																																																												x 0,		x 2,
	а) вокруг оси Ox ,							б) вокруг оси Oy .
7.	Найти длину дуги логарифмической спирали x et																														sint,									y et									cost , заключенной между
точками, соответствующими значениям параметра t																														0,					t	2									.
																									1																	2
																						Вариант 9																																		1
										1															6							x 4
															x
1.	Вычислить интегралы:						а)													dx ;				б)														dx;																		в) (x 4) arctgxdx .
																			2
										0 1 3																			x2 2
																x																																								0
																												3
																										на отрезке 0,1 .
2.	Найти среднее значение функции																f (x)				4 x2

2x5 1

3.Оценить интеграл dx .

1 x3 1

4.	Найти площадь фигуры, заключенной между линиями y x,				y x,	2x2 y2 1.
5.	Вычислитьплощадьфигуры,ограниченнойлиниями 2 1 cos , 2					исодержащейточку M 1,0 .
6.	Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y3 y x,						x 0,
	а) вокруг оси ox,	б) вокруг оси oy.
7.	Найти длину дуги кривой x 2 cos3 t,		y sin3 t ,	0 t /2 .

Вариант 10

											2															0
			2													dx
1.	Вычислить интегралы: а)		ctg x ln(sin x)dx;						б)															;		в) (x2		1) cosxdx .
																			2			2
			6								2 3 4 x
																											1
					1					на отрезке 3,													0 .
2.	Найти среднее значение функции			f (x)
						x2 4x 5
		2
3.	Оценить интеграл	x4 e x2dx .
		0
4.	Найти площадь фигуры, заключенной между линиями y3 y x ,																				y 1 x 2 ,							y 0.
5.	Вычислитьплощадьфигуры,ограниченнойлиниями 2 1 cos ,																		2							исодержащейточку M 1,0 .
6.	Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y x 3 x ,																												y x,
	а) вокруг оси Ox ,	б) вокруг оси Oy .
7.	Найти длину дуги кривой x 6at5,			y 5at 1 t8 ,							0 t 1 .
							Вариант 11
											4															0
			4													dx
1.	Вычислить интегралы: а)		tg x ln(cos x)dx;						б)													;				в) (x2		4) cos(3x)dx .
																		3
			0								0 (16 x2)									2							2
					1						на отрезке 31, .
2.	Найти среднее значение функции			f (x)
							x2 2x 5
		4
3.	Оценить интеграл	x2 ex2dx .
		1																								2
4.	Найти площадь фигуры, заключенной между линиями y															1		,			y				x		.
													1 x2										2
5.	Вычислитьплощадьфигуры,ограниченнойлинией 2 cos2															и лежащейвнелинии 2 sin .
6.	Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями 2y x2, 2x 2y 3 0 ,
	а) вокруг оси Ox ,	б) вокруг оси Oy .
7.	Найти длину дуги кривой x et cost,				y et sint ,						0 t 1 .

Вариант 12

	1. Вычислить интегралы:		3	x arctg		4 x
			а)				dx ;
				2
			0		1 x
	2.	Найти среднее значение функции f (x) ln2 x
		1
	3.	Оценить интеграл ex	1 x2dx .
		1

4
			2
б)	16 x2dx;		в) (1 5x2) sin xdx .
0			0

на отрезке 1, e .

	4.	Найти площадь фигуры, заключенной между линиями y2 2x 1, y x 1.
	5.	Вычислить площадь общей части фигур, ограниченных линиями 3 cos4 ,							2 cos4 .
										x2
	6.	Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y									2x 2 и
										2
		y 2,
		а) вокруг оси Ox ,	б) вокруг оси Oy
	7. Найти длину дуги кривой x a(3cost cos3t),			y a(3sint sin3t), заключенной между точками,
		соответствующими значениям параметра t 0,		t	2			.
			1			2

Вариант 13

2

2

dx

2

dx

1.

Вычислить интегралы:

а)

(2x 5) e 3xdx ;

б)

;

в)

.

0

1

x2 x

0 5 3cosx

f

(x) arccos 2x

1

2.

Найти среднее значение функции

на отрезке

0,

.

4

1

arcsin

x2

3.

Оценить интеграл

dx.

3

0

1 x

4.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x (y 2)2 ,

x 4y 8.

5.

Вычислить площадь части фигуры,

ограниченной лемнискатой Бернулли 2

a2 cos2

и лежащей

вне окружности

a

.

2

1

6.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y

(e

x

e

x

) ,

y 2,

2

x 0,

x 1,

а) вокруг оси Ox ,

б) вокруг оси Oy .

7. Найти длину дуги кривой x et (cost sint),

y et (cost sint),

0 t 1

Вариант 14

3

0

x

dx

3

dx

1. Вычислить интегралы:

а)

;

б)

;

в) (x2 2) e

2dx.

2

2 3cosx

1

x

6x 5

0

2

f

(x) x cos

2x

2.

Найти среднее значение функции

на отрезке

0,

.

2

2

e

x2

3.Оценить интеграл

dx .

1 x

2

5

4.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x 4 y2 ,

x y2

2y .

5.

Найти площадь фигуры,

ограниченной кривой asin5

и лежащей вне круга

a

.

2

6.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y sin x,

y 0,

x 0,

x ,

а) вокруг оси Ox ,

б) вокруг оси Oy .

7. Найти длину петли линии

x t2,

y t

t3

.

3

1.

Вычислить интегралы:

Вариант 15

1

2

e

3

6

dx

x

dx

ln

xdx

а)

;

б)

;

в)

.

2

x sin

4

2

4 x2

1 sin

x

0

1

x

f

(x) cos3 x

2.

Найти среднее значение функции

на отрезке

0,

.

2

1

8 x3

3.

Оценить интеграл

dx.

3 x

5

1

x2

4.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y

27

,

y

.

x2

9

6

5.

Найти площадь фигуры,

ограниченной кривой 4cos3 и лежащей вне круга 2 .

6.

Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y 2x x2 ,

y x 2 ,

а) вокруг оси Ox ,

б) вокруг оси Oy .

7.

Найти длину дуги кривой x 3sint

4cost,

y 4sint 3cost , /2 t

Вариант 16

									3							10
				4		x cos2					dx						dx
1.	Вычислить интегралы:				а)			x dx ;	б)				;			в)				.
										x	3						4
				0					1		x					1	x	x
2.	Найти среднее значение функции f (x) x3 5x								на отрезке 2, 3 .
3.Оценить интеграл		2		3 sin2 x			dx .
					5 2sin x
		0
4.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 4x ,											y		x2	.
												4

5. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой 1 sin и лежащей внутри круга 1 .

2

2

6. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y x2 , y sin x , 2

а) вокруг оси Ox ,	б) вокруг оси Oy .
7. Найти длину дуги кривой x 2cost cos2t,		y 2sint sin2t, заключенной между точками,
соответствующими значениям параметра t 0,		t	2			.
	1			2

Вариант 17

1

1. Вычислить интегралы: а) 4x arcsin x dx ;

0

2. Найти среднее значение функции f (x)

1

1 x2

1	27 x3
3. Оценить интеграл			dx.
	1 x	2
2

6		dx								1		xdx
б)									;	в)				.
	1										(x	2	2
1			3x 2							0		1)
					3
на отрезке 1,							.
				3

4.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y x2					8 x2 , y 0, x 0,	x 2	2	.
5.	Найти площадь фигуры, ограниченной линиями sin ,					sin 2 , содержащей точку с
		1	,	1
	декартовыми координатами				.

2 2

6.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y2 x 2 ,

y x3 , y 0 ,

y 1,

а) вокруг оси Ox ,

б) вокруг оси Oy .

7. Найти длину дуги кривой x cost tsint,

y sint tcost ,

0 t /4

1

Вариант 18

8

ln8

dx

dx

1.

Вычислить интегралы

а) arcsin2 x dx ;

б)

;

в)

.

2

ex 1

0

ln3

2 x

6x 8

2.

Найти среднее значение функции

f (x) x

4

на отрезке

1

, 1 .

2x 1

2

2

2

3x2

12

3.

Доказать неравенство

0 x

e

dx 16e .

2

4.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x

4 y2 ,

x 0,

y 0 ,

y 1.

5.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривой 1

cos и лежащей вне круга 1.

2

6.

Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y x2 1,

y x ,

x 0, x 1,

а) вокруг оси Ox ,

б) вокруг оси Oy .

t6

t4

7.

Найти длину дуги кривой x

,

y 4

между точками пересечения с осью Ox .

6

4

Вариант 19

3

3

x

dx

1

1.

Вычислить интегралы:

а) x2

9 x2 dx ;

б)

;

в) x2 3x dx.

2

01

x

1

x

3x

0

2.

Найти среднее значение функции

f (x)

на отрезке 1,

9 .

2x 7

0

arccosx2

3.

Оценить интеграл

dx.

3

1

3 x

1

4.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y

, y 0,

x

,

x

.

1 cosx

2

2

5.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривой 2sin 4

и лежащей внутри круга

1.

6.

Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y x2 ,

y 1,

x 2,

а) вокруг оси Ox ,

б) вокруг оси Oy .

7.

Найти длину части кривой, ограниченной линией x 2cos

3 t

,

y 2sin

3

t

, заключенной между

4

4

точками, соответствующими значениям параметра t1 0,

t2 .

Вариант 20

2

7

3

dx

dx

1.

Вычислить интегралы:

а) ln x2 4 dx ;

б)

;

в)

.

0

3 1 x2 3

11 3 x 1

3

f (x)

1

2.

Найти среднее значение функции

на отрезке 0,

.

2 ln x3 2

3 2cosx

2

3.

Оценить интеграл

dx .

x3 2

1

4.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x 4 y 1 2 , x y2

4y 3.

5.Найти площадь фигуры, ограниченной кривой

2sin 4

и

лежащей вне круга 1.

6.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линией

x2 (y 2)2 1,

а) вокруг оси Oy ,

б) вокруг оси Ox .

7.

Найти длину дуги кривой x 3 t sint ,

y 31 cost ,

заключенной между точками,

соответствующими значениям параметра t1 , t2

2 .